Mécanique quantique, sujets d'examen & corrigés r. mezhoud -

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Recueil de Sujets d'Examen en Mécanique Quantique

Ce document constitue un recueil de sujets d'examen en Mécanique Quantique, destiné aux étudiants de Licence (L2 et L3) et de Master de Physique. Il a été préparé par M. R. MEZHOUD, Maître de Conférences (MCA) au Département de Physique de la Faculté des Sciences, Université de Boumerdès.

Avant-propos

Ce document constitue un recueil de sujets d’examens des modules de mécanique quantique (pour les étudiants de licence de physique L2 et L3 ainsi que ceux des masters de physique) proposés au département de physique de l’université M’hammed Bougara de Boumerdes (UMBB) et dont les programmes sont décrits succinctement plus loin. Le but ici est d’offrir aux étudiants un support pédagogique leur donnant une idée sur le type d’exercices et de problèmes pouvant être rencontrés durant cette partie de leur cursus universitaire. L’auteur ne prétend nullement aborder tous les aspects du programme et ne considère pas ce document comme complet et suffisant. Il appartient aux étudiants, et c’est même un conseil, de consulter le cours ainsi que leurs travaux dirigés pour en avoir un aperçu plus large. De nombreux supports pédagogiques sont disponibles à la bibliothèque du département ainsi que sur internet et qui peuvent constituer un bon complément aux cours enseignés. De nombreux ouvrages ainsi qu’un effort personnel sont à l’origine des exercices proposés dans ces sujets d’examens. J’ai donc choisi de ne pas mettre de références puisque la plupart des exercices sont des classiques qu’on retrouve dans plusieurs livres et supports de cours. Certains des sujets de L2 ont été proposés en collaboration avec mon collègue N. Zaiman du département de physique à l’UMBB que je remercie. D’autre part, il est possible que des erreurs, notamment dues à la saisie se soient glissées dans ce document. En cas de doute, et pour toute remarque ou suggestion, se rapprocher de l’auteur au niveau du département de physique.

Boumerdes, le 28 Février 2017

Partie I : Introduction à la Mécanique Quantique (L2)

Programme

• Dualité onde-corpuscule, effet photoélectrique.
• Équation de Schrödinger à une dimension, potentiels carrés.
• Formalisme mathématique de Dirac.
• Les postulats de la mécanique quantique.
• L’oscillateur harmonique à une dimension.

Département de Physique SM Chimie (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2009/2010) - Test 1

Exercice 1

Une cellule photoélectrique ayant un potentiel d’extraction W = 1.2 eV est éclairée avec une radiation λ = 5000Å. 1. Déterminer le seuil photoélectrique. 2. Calculer l’énergie cinétique et la vitesse des électrons arrachés.

Exercice 2

Une particule de masse m est confinée dans le puits infini décrit par V(x) = 0 pour 0 < x < 2b et V(x) = ∞ ailleurs. 1. Écrire l’équation de Schrödinger dans les différentes régions de l’espace. 2. Déterminer les expressions de l’énergie et de la fonction d’onde correspondant à chaque état.

Solution Exercice 1

1. Seuil photoélectrique : W = hν_s ⇒ ν_s = W/h = 1.82×10¹⁴ Hz.

2. Énergie cinétique T = hc/λ - W = 1.28 eV. Vitesse : v = √(2T/m) = 6.7×10⁵ m/s.

Solution Exercice 2

L'équation de Schrödinger dans les différentes régions de l'espace (pour un puits infini de 0 à 2b):

Dans les régions I (x ≤ 0) et III (x ≥ 2b), où V(x) = ∞ : ψ(x) = 0. La particule reste confinée dans la boite.

Dans la région II (0 < x < 2b), où V(x) = 0 : -(ħ²/2m) d²ψ/dx² = Eψ.

Ce qui donne : d²ψ/dx² + (2mE/ħ²)ψ = 0. En posant k² = 2mE/ħ², l'équation devient : d²ψ/dx² + k²ψ = 0.

Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : ψ_II(x) = A cos(kx) + B sin(kx).

Conditions aux limites (continuité de la fonction d'onde, puisque le potentiel subit une discontinuité infinie) :

En x = 0 : ψ_II(0) = ψ_I(0) = 0 ⇒ A cos(0) + B sin(0) = 0 ⇒ A = 0. Ainsi, ψ_II(x) = B sin(kx).

En x = 2b : ψ_II(2b) = ψ_III(2b) = 0 ⇒ B sin(2kb) = 0.

Pour que B ne soit pas nul (sinon ψ(x) = 0, solution triviale), nous devons avoir sin(2kb) = 0, ce qui implique 2kb = nπ, où n = 1, 2, 3,... (n=0 est rejeté car ψ(x)=0).

Donc, k = nπ/(2b).

L'énergie est quantifiée : E_n = ħ²k²/(2m) = ħ²(nπ/(2b))²/(2m) = n²π²ħ²/(8mb²).

La fonction d'onde correspondante est : ψ_n(x) = B sin(nπx/(2b)).

Département de Physique SM Physique (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2009/2010) - Test 1

Exercice 1

Une cellule photoélectrique ayant un potentiel d’extraction W = 1.5 eV est éclairée avec une radiation de longueur d’onde λ. Le potentiel d’arrêt capable d’arrêter les électrons arrachés vaut 1.1 Volts. 1. Déterminer l’énergie cinétique et la vitesse des électrons arrachés. 2. Calculer la longueur d’onde de la radiation excitatrice.

Exercice 2

On considère le potentiel décrit par : V(x) = -αδ(x-a). α et a sont des constantes positives. 1. Écrire l’équation de Schrödinger dans les différentes régions de l’espace. 2. En considérant le cas des états liés (E < 0), donner la forme des fonctions d’onde. Établir les conditions de continuité de la fonction d’onde.

Solution Exercice 1

1. Énergie cinétique T = e V_arrêt = 1.1 eV. Vitesse : v = √(2T/m) = 6.22×10⁵ m/s.

2. Longueur d'onde de la radiation excitatrice : T = hc/λ - W ⇒ hc/λ = W + T ⇒ λ = hc/(W+T) = hc/(1.5 eV + 1.1 eV) = hc/(2.6 eV) ≈ 4770 Å.

Solution Exercice 2

Pour les états liés (E < 0), le potentiel est un puits de potentiel de type fonction delta de Dirac situé en x=a. On peut diviser l'espace en deux régions : x < a et x > a.

L'équation de Schrödinger indépendante du temps est : -(ħ²/2m) d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ.

En réarrangeant pour E < 0 : d²ψ/dx² = (2m(V(x)-E)/ħ²)ψ. Posons κ² = -2mE/ħ² (avec κ > 0 puisque E < 0).

Pour x < a, V(x) = 0 : d²ψ₁/dx² - κ²ψ₁ = 0. Les solutions sont ψ₁(x) = A e^κx + B e^-κx. Pour que ψ₁ reste finie quand x → -∞, nous devons avoir B=0. Donc ψ₁(x) = A e^κx.

Pour x > a, V(x) = 0 : d²ψ₂/dx² - κ²ψ₂ = 0. Les solutions sont ψ₂(x) = C e^κx + D e^-κx. Pour que ψ₂ reste finie quand x → +∞, nous devons avoir C=0. Donc ψ₂(x) = D e^-κx.

Conditions de continuité de la fonction d'onde en x = a :

ψ₁(a) = ψ₂(a) ⇒ A e^κa = D e^-κa.

Conditions de continuité de la dérivée de la fonction d'onde en x = a (en présence d'une fonction delta, la dérivée n'est pas continue, il y a un saut) :

Le saut de la dérivée est donné par : [dψ/dx]_a+ - [dψ/dx]_a- = -(2mα/ħ²)ψ(a).

dψ₂/dx|_x=a = -κD e^-κa.

dψ₁/dx|_x=a = κA e^κa.

Ainsi : -κD e^-κa - κA e^κa = -(2mα/ħ²) A e^κa.

Département de Physique SM Chimie (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2009/2010) - Test 2

Exercice 1

1. On rappelle que P_z = -iħ ∂/∂z. Établir l’expression des commutateurs [X, P_z], [Y, P_z], [Z, P_z], en calculant leurs actions sur un ket quelconque |ψ⟩.

Exercice 2

2. Vérifier si l’opérateur suivant : A(ψ)(x) = sin(x)ψ(x) est linéaire.

Exercice 3

3. Soit la matrice B :

2	0	0
0	-i	0
0	1	1

Dire si B est hermitique, justifier. Écrire la matrice représentant B^†. Calculer les valeurs propres de B.

Solution Exercice 1

1. Commutateurs :

[X, P_z] = 0 (X et P_z opèrent sur des dimensions différentes, ils commutent).

[Y, P_z] = 0 (Y et P_z opèrent sur des dimensions différentes, ils commutent).

[Z, P_z] = iħ (relation de commutation fondamentale).

Solution Exercice 2

2. Linéarité de l'opérateur A :

Un opérateur A est linéaire si pour tous vecteurs |ψ₁⟩, |ψ₂⟩ et scalaires λ₁, λ₂ : A(λ₁ψ₁ + λ₂ψ₂) = λ₁A(ψ₁) + λ₂A(ψ₂).

Ici, A(ψ)(x) = sin(x)ψ(x).

A(λ₁ψ₁(x) + λ₂ψ₂(x)) = sin(x)(λ₁ψ₁(x) + λ₂ψ₂(x)) = λ₁sin(x)ψ₁(x) + λ₂sin(x)ψ₂(x) = λ₁A(ψ₁)(x) + λ₂A(ψ₂)(x).

Conclusion : L'opérateur A est linéaire.

Solution Exercice 3

3. Analyse de la matrice B :

2	0	0
0	-i	0
0	1	1

B n'est pas hermitique. Une matrice est hermitique si elle est égale à sa propre adjointe (B = B^†), c'est-à-dire si ses éléments diagonaux sont réels et si a_ij = a_ji^* pour tous i, j. Ici, l'élément B₂₂ = -i n'est pas réel.

Matrice adjointe B^† : (B^†)_ij = (B_ji)^*.

2	0	0
0	i	1
0	0	1

Calcul des valeurs propres de B : det(B - λI) = 0

2-λ	0	0
0	-i-λ	0
0	1	1-λ

= (2-λ)((-i-λ)(1-λ) - 0) = 0

Donc, les valeurs propres sont λ₁ = 2, λ₂ = -i et λ₃ = 1.

Département de Physique SM Physique (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2009/2010) - Test 2

Exercice 1

1. On rappelle que P_x = -iħ ∂/∂x et P_y = -iħ ∂/∂y. Établir l’expression des commutateurs [X, P_x], [Y, P_x], [P_x, P_y], en calculant leurs actions sur un ket quelconque |ψ⟩.

Exercice 2

2. Vérifier si l’opérateur suivant : A(ψ) = ∫ ψ(x') dx' est linéaire.

Exercice 3

3. Soit la matrice B :

2	0	0
0	i	1
-1	1	1

Dire si B est hermitique, justifier. Écrire la matrice représentant B^†. Calculer les valeurs propres de B.

Solution Exercice 1

1. Commutateurs :

[X, P_x] = iħ.

[Y, P_x] = 0.

[P_x, P_y] = 0.

Solution Exercice 2

2. Linéarité de l'opérateur A :

A(λ₁ψ₁ + λ₂ψ₂) = ∫ (λ₁ψ₁(x') + λ₂ψ₂(x')) dx' = λ₁∫ ψ₁(x') dx' + λ₂∫ ψ₂(x') dx' = λ₁A(ψ₁) + λ₂A(ψ₂).

Conclusion : L'opérateur A est linéaire.

Solution Exercice 3

3. Analyse de la matrice B :

2	0	0
0	i	1
-1	1	1

B n’est pas hermitique. Certains éléments symétriques par rapport à la diagonale ne sont pas complexes conjugués. Par exemple, B₁₃ = 0 et B₃₁ = -1 (0^* = 0 ≠ -1).

Matrice adjointe B^† :

2	0	-1
0	-i	1
0	1	1

Calcul des valeurs propres de B : det(B - λI) = 0

2-λ	0	0
0	i-λ	1
-1	1	1-λ

= (2-λ)((i-λ)(1-λ) - (1)(-1)) = (2-λ)(λ² - (1+i)λ + (1+i)) = 0.

Les valeurs propres de B sont λ₁ = 2 et les deux racines de l'équation quadratique λ² - (1+i)λ + (1+i) = 0.

Département de Physique SM (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2009/2010) - Examen de Type Longue Durée (ETLD)

Exercice 1 (6 pts)

1) Calculer le commutateur [X, P_x] dans la représentation {P} sachant que l’action de l’opérateur X dans cette représentation s’écrit : X = iħ ∂/∂P_x.

2) Montrer que l’opérateur T définit par :

cosθ	-sinθ
sinθ	cosθ

est unitaire.

3) Sachant que pour l’oscillateur harmonique : a = (1/√(2ħmω)) (mωX + iP_x) et a^† = (1/√(2ħmω)) (mωX - iP_x), calculer [X, P_x] et [a, a^†].

Exercice 2 (4 pts)

Soient ψ₁ et ψ₂ deux états orthogonaux et normalisés d’un système physique. Soit A une observable du système et considérons une valeur propre non dégénérée de A notée α_n, associée à l’état normé φ_n. On définit : P₁(α_n) = |⟨φ_n|ψ₁⟩|² et P₂(α_n) = |⟨φ_n|ψ₂⟩|².

1. Donner l’interprétation de P₁(α_n) et P₂(α_n).

2. Une particule se trouve dans l’état ψ = 3ψ₁ - 4iψ₂.

a) Normer cet état.

b) Quelle est la probabilité de trouver α_n lors de la mesure de A.

Exercice 3 (5 pts)

On considère deux kets ψ et ψ' tels que : ψ' = e^iθψ, où θ est réel.

1. Montrer que si ψ est normé, alors ψ' est aussi normé.

2. Montrer que la probabilité de prédire une mesure arbitraire est la même pour ψ et ψ'.

Exercice 4 (5 pts)

Une particule est décrite par la fonction d’onde normée suivante : ψ(x) = (α/π)^1/4 e^-αx2/2. α est une constante positive.

Calculer Δx sachant que : ∫_-∞^+∞ x e^-αx2 dx = 0 et ∫_-∞^+∞ x² e^-αx2 dx = (1/2α)√(π/α).

Solution Exercice 1

1) Calcul du commutateur [X, P_x] dans la représentation des impulsions {P} :

L'opérateur X est X = iħ ∂/∂P_x.

[X, P_x] f(P_x) = (X P_x - P_x X) f(P_x)

= iħ ∂/∂P_x (P_x f(P_x)) - P_x (iħ ∂/∂P_x f(P_x))

= iħ (f(P_x) + P_x ∂/∂P_x f(P_x)) - iħ P_x ∂/∂P_x f(P_x)

= iħ f(P_x).

Donc, [X, P_x] = iħ.

2) Montrer que T est unitaire :

Un opérateur T est unitaire si T^†T = TT^† = I.

T^† =

cosθ	sinθ
-sinθ	cosθ

T^†T =

cosθ	sinθ
-sinθ	cosθ

cosθ	-sinθ
sinθ	cosθ

=

cos2θ + sin2θ	-cosθsinθ + sinθcosθ
-sinθcosθ + cosθsinθ	sin2θ + cos2θ

=

1	0
0	1

= I.

Conclusion : T est unitaire.

3) Calcul des commutateurs pour l'oscillateur harmonique :

[X, P_x] = iħ (c'est une relation fondamentale, indépendante du contexte de l'oscillateur harmonique).

[a, a^†] = [(1/√(2ħmω))(mωX + iP_x), (1/√(2ħmω))(mωX - iP_x)]

= (1/(2ħmω)) [mωX + iP_x, mωX - iP_x]

= (1/(2ħmω)) ( [mωX, mωX] - [mωX, iP_x] + [iP_x, mωX] - [iP_x, iP_x] )

= (1/(2ħmω)) ( 0 - mωi[X, P_x] + mωi[P_x, X] - 0 )

= (1/(2ħmω)) ( -mωi(iħ) + mωi(-iħ) )

= (1/(2ħmω)) ( mωħ + mωħ )

= (1/(2ħmω)) (2mωħ) = 1.

Conclusion : [a, a^†] = 1.

Solution Exercice 2

1. Interprétation de P₁(α_n) et P₂(α_n) :

D’après les postulats de la mécanique quantique, P₁(α_n) représente la probabilité d’obtenir la valeur propre α_n lors de la mesure de l’observable A lorsque le système est dans l’état ψ₁. De même, P₂(α_n) est la probabilité d'obtenir α_n lorsque le système est dans l'état ψ₂.

2. Analyse de l'état ψ = 3ψ₁ - 4iψ₂ :

a) Normalisation de ψ :

⟨ψ|ψ⟩ = ⟨3ψ₁ - 4iψ₂ | 3ψ₁ - 4iψ₂⟩ = 3*3⟨ψ₁|ψ₁⟩ + (-4i)^*(4i)⟨ψ₂|ψ₂⟩

= 9 + 16 = 25. L'état n'est pas normé.

L'état normalisé est ψ_normé = (1/√25)ψ = (1/5)(3ψ₁ - 4iψ₂).

Nous utiliserons désormais cet état normé pour la suite.

b) Probabilité de trouver α_n lors de la mesure de A :

La probabilité d'obtenir α_n lors de la mesure de A est P(α_n) = |⟨φ_n|ψ_normé⟩|².

P(α_n) = |⟨φ_n| (1/5)(3ψ₁ - 4iψ₂) ⟩|²

= (1/25) |3⟨φ_n|ψ₁⟩ - 4i⟨φ_n|ψ₂⟩|²

= (1/25) [ |3⟨φ_n|ψ₁⟩|² + |-4i⟨φ_n|ψ₂⟩|² + (3⟨φ_n|ψ₁⟩)^*(-4i⟨φ_n|ψ₂⟩) + (-4i⟨φ_n|ψ₂⟩)^*(3⟨φ_n|ψ₁⟩) ]

= (1/25) [ 9|⟨φ_n|ψ₁⟩|² + 16|⟨φ_n|ψ₂⟩|² + 12i (⟨ψ₁|φ_n⟩⟨φ_n|ψ₂⟩ - ⟨φ_n|ψ₁⟩⟨ψ₂|φ_n⟩) ]

= (1/25) [ 9 P₁(α_n) + 16 P₂(α_n) + 12i (⟨ψ₁|φ_n⟩⟨φ_n|ψ₂⟩ - ⟨φ_n|ψ₁⟩⟨ψ₂|φ_n⟩) ]

Solution Exercice 3

1. Normalisation de ψ' :

Si ψ est normé, alors ⟨ψ|ψ⟩ = 1.

⟨ψ'|ψ'⟩ = ⟨e^iθψ | e^iθψ⟩ = (e^iθ)^* e^iθ ⟨ψ|ψ⟩ = e^-iθ e^iθ ⟨ψ|ψ⟩ = 1 * 1 = 1.

Donc, ψ' est aussi normé.

2. Probabilité de prédire une mesure arbitraire :

Soit O un opérateur représentant une mesure arbitraire, et |u_n⟩ un de ses vecteurs propres. La probabilité d’obtenir la valeur propre o_n associée à |u_n⟩ est donnée par |⟨u_n|ψ⟩|² pour l’état ψ, et |⟨u_n|ψ'⟩|² pour l’état ψ'.

|⟨u_n|ψ'⟩|² = |⟨u_n|e^iθψ⟩|² = |e^iθ⟨u_n|ψ⟩|² = (e^iθ)^*(e^iθ) |⟨u_n|ψ⟩|² = e^-iθe^iθ |⟨u_n|ψ⟩|² = |⟨u_n|ψ⟩|².

Donc, les prédictions des mesures sont les mêmes pour ψ et ψ'.

Solution Exercice 4

La fonction d’onde est ψ(x) = (α/π)^1/4 e^-αx2/2.

Rappel : Δx = √(⟨X²⟩ - ⟨X⟩²).

Calcul de la valeur moyenne de X :

⟨X⟩ = ∫_-∞^+∞ ψ^*(x) x ψ(x) dx = ∫_-∞^+∞ (α/π)^1/2 x e^-αx2 dx.

Puisque la fonction x e^-αx2 est impaire et l'intégration est sur un intervalle symétrique, ⟨X⟩ = 0.

Calcul de la valeur moyenne de X² :

⟨X²⟩ = ∫_-∞^+∞ ψ^*(x) x² ψ(x) dx = ∫_-∞^+∞ (α/π)^1/2 x² e^-αx2 dx.

Utilisant la relation donnée : ∫_-∞^+∞ x² e^-αx2 dx = (1/2α)√(π/α).

Donc, ⟨X²⟩ = (α/π)^1/2 * (1/2α)√(π/α) = (α/π)^1/2 * (1/2α)π^1/2/α^1/2 = (1/2α).

Calcul de l'incertitude Δx :

Δx = √(⟨X²⟩ - ⟨X⟩²) = √((1/2α) - 0²) = √(1/(2α)).

Département de Maintenance Industrielle MI (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2009/2010) - Examen de Type Longue Durée (ETLD)

Exercice 1 (9 pts)

Considérons la marche de potentiel décrite par : V(x) = 0 si x < 0 et V(x) = V₀ si x ≥ 0.

Considérons un courant de particules d’énergie E > V₀ arrivant de x = -∞ et se déplaçant vers la droite (comme indiqué sur la figure).

- Écrire l’équation de Schrödinger à une dimension pour les deux régions de l’espace.

- Utiliser les conditions de continuité ainsi que le fait qu’il ne peut y avoir de particule venant de x = +∞ pour exprimer les amplitudes des ondes transmise et réfléchie en fonction de celle de l’onde incidente.

- En déduire les coefficients de transmission et de réflexion.

Exercice 2 (9 pts)

Considérons un système physique dans un espace à trois dimensions. Son Hamiltonien est représenté, dans une base orthonormée {|1⟩, |2⟩, |3⟩}, par :

H = ħω

2	1	0
1	2	0
0	0	3

1 – Est-ce que H est hermitique ? Justifier.

2 – Quelles sont les valeurs possibles de l’énergie du système ?

3 – Une particule se trouve dans l’état ψ, représentée dans cette base par : |ψ⟩ =

1

-i

3

. Déterminer ⟨H⟩, ⟨H²⟩ et ΔH.

Exercice 3 (2 pts)

1) Calculer le commutateur [X, P_x] dans la représentation {P} sachant que l’action de l’opérateur X dans cette représentation s’écrit : X = iħ ∂/∂P_x.

Solution Exercice 1

Équation de Schrödinger dans les deux régions de l’espace :

Région I (x < 0, où V(x)=0) : d²ψ/dx² + (2mE/ħ²)ψ = 0. Posons k₁² = 2mE/ħ².

Région II (x ≥ 0, où V(x)=V₀) : d²ψ/dx² + (2m(E-V₀)/ħ²)ψ = 0. Posons k₂² = 2m(E-V₀)/ħ².

Les solutions générales sont de la forme :

• ψ_I(x) = A₁ e^ik₁x + B₁ e^-ik₁x (Onde incidente + Onde réfléchie)
• ψ_II(x) = A₂ e^ik₂x + B₂ e^-ik₂x (Onde transmise + Onde venant de +∞)

Puisqu'il ne peut y avoir d'onde venant de x = +∞ et se déplaçant vers la gauche, B₂ = 0. Donc, ψ_II(x) = A₂ e^ik₂x.

Conditions de continuité en x = 0 :

Continuité de la fonction d'onde : ψ_I(0) = ψ_II(0) ⇒ A₁ + B₁ = A₂ (1)

Continuité de la dérivée de la fonction d'onde : dψ_I/dx|_x=0 = dψ_II/dx|_x=0

⇒ ik₁(A₁ - B₁) = ik₂A₂ (2)

À partir de (1) et (2) :

En divisant (2) par ik₁ : A₁ - B₁ = (k₂/k₁)A₂ (3)

Additionnant (1) et (3) : 2A₁ = (1 + k₂/k₁)A₂ ⇒ A₂ = (2k₁/(k₁+k₂))A₁.

Soustraire (3) de (1) : 2B₁ = (1 - k₂/k₁)A₂ ⇒ B₁ = ((k₁-k₂)/(k₁+k₂))A₁.

Coefficients de réflexion R et de transmission T :

R = |B₁/A₁|² = |(k₁-k₂)/(k₁+k₂)|².

T = (k₂/k₁)|A₂/A₁|² = (k₂/k₁) |2k₁/(k₁+k₂)|² = (k₂/k₁) (4k₁²/(k₁+k₂)²) = 4k₁k₂/(k₁+k₂)².

On peut vérifier que R + T = 1.

Solution Exercice 2

1) H est hermitique. Les éléments diagonaux (2, 2, 3) sont réels. Les éléments symétriques par rapport à la diagonale sont complexes conjugués (par exemple, H₁₂ = 1 et H₂₁ = 1, donc 1 = 1^*).

2) Les valeurs possibles de l'énergie du système sont les valeurs propres de H. det(H - λI) = 0.

2ħω-λ	ħω	0
ħω	2ħω-λ	0
0	0	3ħω-λ

= (3ħω-λ)[(2ħω-λ)² - (ħω)²] = 0

= (3ħω-λ)[(2ħω-λ - ħω)(2ħω-λ + ħω)] = 0

= (3ħω-λ)[(ħω-λ)(3ħω-λ)] = 0

Donc, les valeurs propres (énergies possibles) sont : E₁ = ħω, E₂ = 3ħω, E₃ = 3ħω.

L'énergie E = 3ħω est dégénérée d'ordre 2.

3) Calcul de ⟨H⟩, ⟨H²⟩ et ΔH pour l'état |ψ⟩ = (1, -i, 3)^T :

D'abord, normalisons |ψ⟩ : ⟨ψ|ψ⟩ = 1² + |-i|² + 3² = 1 + 1 + 9 = 11. Donc l'état normalisé est |ψ_normé⟩ = (1/√11) |ψ⟩.

⟨H⟩ = ⟨ψ_normé|H|ψ_normé⟩ = (1/11) ⟨ψ|H|ψ⟩.

H|ψ⟩ = ħω

2	1	0
1	2	0
0	0	3

1

-i

3

= ħω

2(1) + 1(-i) + 0(3)

1(1) + 2(-i) + 0(3)

0(1) + 0(-i) + 3(3)

= ħω

2-i

1-2i

9

⟨ψ|H|ψ⟩ = ⟨1, i, 3 | ħω (2-i, 1-2i, 9)^T⟩

= ħω [ 1*(2-i) + i*(1-2i) + 3*9 ]

= ħω [ 2 - i + i - 2i² + 27 ]

= ħω [ 2 + 2 + 27 ] = 31ħω.

Donc, ⟨H⟩ = (31/11)ħω.

Calcul de ⟨H²⟩ :

H²|ψ⟩ = H (H|ψ⟩) = ħω H (2-i, 1-2i, 9)^T

= (ħω)²

2	1	0
1	2	0
0	0	3

2-i

1-2i

9

= (ħω)²

2(2-i) + 1(1-2i) + 0(9)

1(2-i) + 2(1-2i) + 0(9)

0(2-i) + 0(1-2i) + 3(9)

= (ħω)²

4-2i + 1-2i

2-i + 2-4i

27

= (ħω)²

5-4i

4-5i

27

⟨ψ|H²|ψ⟩ = ⟨1, i, 3 | (ħω)² (5-4i, 4-5i, 27)^T⟩

= (ħω)² [ 1*(5-4i) + i*(4-5i) + 3*27 ]

= (ħω)² [ 5-4i + 4i-5i² + 81 ]

= (ħω)² [ 5 + 5 + 81 ] = 91(ħω)².

Donc, ⟨H²⟩ = (91/11)(ħω)².

Calcul de l'incertitude ΔH :

ΔH = √(⟨H²⟩ - ⟨H⟩²)

= ħω √((91/11) - (31/11)²)

= ħω √((91/11) - (961/121))

= ħω √((1001/121) - (961/121))

= ħω √(40/121) = (2√10/11)ħω.

Solution Exercice 3

1) Calcul du commutateur [X, P_x] dans la représentation des impulsions {P} :

L'opérateur X est X = iħ ∂/∂P_x.

[X, P_x] f(P_x) = (X P_x - P_x X) f(P_x)

= iħ ∂/∂P_x (P_x f(P_x)) - P_x (iħ ∂/∂P_x f(P_x))

= iħ (f(P_x) + P_x ∂/∂P_x f(P_x)) - iħ P_x ∂/∂P_x f(P_x)

= iħ f(P_x).

Donc, [X, P_x] = iħ.

Département de Physique SM (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2009/2010) - Rattrapage

Problème

Soit un système physique dans l’espace des états à trois dimensions. On choisit dans cet espace une base orthonormée de 3 kets notés : {|1⟩, |2⟩, |3⟩}. Ces kets sont les vecteurs propres de deux opérateurs indépendants du temps A et B. L’action de A et de B sur ces kets est la suivante :

• A|1⟩ = a|1⟩ ; B|1⟩ = b|1⟩
• A|2⟩ = a|2⟩ ; B|2⟩ = -b|2⟩
• A|3⟩ = 0|3⟩ ; B|3⟩ = -b|3⟩

a et b étant des constantes réelles non nulles. Le hamiltonien H du système (également indépendant du temps) est décrit par sa matrice représentative donnée dans la question 4.

1) Écrire les matrices représentant les deux opérateurs A et B.

2) A et B forment-elles un ECOC dans l’espace des états ?

3) À l’instant t = 0, l’état quantique du système est décrit par le ket : ψ(0) = |1⟩ + 2|2⟩ - i|3⟩.

a) Normer ce vecteur.

b) À l’instant t = 0, on mesure A. Quels résultats peut-on obtenir et avec quelles probabilités ? Préciser l’état du système immédiatement après ces mesures.

c) Immédiatement après la mesure de A, on mesure B. Mêmes questions que précédemment.

d) Mêmes questions si on inverse l’ordre de mesure des observables.

4) Écrire la matrice représentative du hamiltonien H dans la base {|1⟩, |2⟩, |3⟩}.

5) A et B sont-elles des constantes du mouvement ?

6) Quelles sont les valeurs possibles de l’énergie ?

Solution

1) Les matrices représentant les opérateurs A et B :

A =

a	0	0
0	a	0
0	0	0

B =

b	0	0
0	-b	0
0	0	-b

2) A et B forment-elles un ECOC (Ensemble Complet d'Observables qui Commutent) dans l’espace des états ?

A et B sont hermitiques (leurs matrices sont diagonales avec des éléments réels). Elles sont donc des observables.

Vérifions le commutateur [A, B] :

AB =

ab	0	0
0	-ab	0
0	0	0

BA =

ab	0	0
0	-ab	0
0	0	0

Puisque AB = BA, alors [A, B] = 0. A et B commutent, ce qui signifie qu'il existe une base commune de vecteurs propres.

Les vecteurs propres de A et B sont :

• |1⟩ avec valeurs propres (a, b)
• |2⟩ avec valeurs propres (a, -b)
• |3⟩ avec valeurs propres (0, -b)

Chaque couple de valeurs propres est associé à un seul ket propre (pas de dégénérescence pour les couples). Donc, {A, B} est un ECOC.

3) Analyse de l'état quantique à t=0 : ψ(0) = |1⟩ + 2|2⟩ - i|3⟩.

a) Normalisation du vecteur :

⟨ψ(0)|ψ(0)⟩ = ⟨1|1⟩ + 2^*2⟨2|2⟩ + (-i)^*(-i)⟨3|3⟩ = 1 + 4 + 1 = 6.

L'état normalisé est |ψ_normé(0)⟩ = (1/√6)(|1⟩ + 2|2⟩ - i|3⟩).

b) Mesure de A à t=0 :

Les résultats possibles de la mesure de A sont ses valeurs propres : a et 0.

Probabilités d'obtenir ces valeurs :

P(A=a) = |⟨1|ψ_normé(0)⟩|² + |⟨2|ψ_normé(0)⟩|²

= (1/6) (|⟨1|1⟩|² + |⟨2|2⟩|²) = (1/6) (1² + 2²) = (1/6) (1 + 4) = 5/6.

P(A=0) = |⟨3|ψ_normé(0)⟩|² = (1/6) |-i|² = (1/6) * 1 = 1/6.

Vérification : P(A=a) + P(A=0) = 5/6 + 1/6 = 1.

État du système immédiatement après les mesures (projecteur sur le sous-espace propre correspondant, puis renormalisation) :

Si on trouve a : L'état collapsé est P_a|ψ_normé(0)⟩ = (1/√6)(|1⟩ + 2|2⟩). Cet état doit être renormalisé.

Norme = √(1² + 2²) = √5. L'état après mesure est |ψ'_a⟩ = (1/√5)(|1⟩ + 2|2⟩).

Si on trouve 0 : L'état collapsé est P₀|ψ_normé(0)⟩ = (1/√6)(-i|3⟩). Cet état doit être renormalisé.

Norme = |-i| = 1. L'état après mesure est |ψ'₀⟩ = (-i|3⟩).

c) Immédiatement après la mesure de A, on mesure B :

Premier cas : On a mesuré A=a, et le système est dans l'état |ψ'_a⟩ = (1/√5)(|1⟩ + 2|2⟩).

Les résultats possibles de B sont ses valeurs propres b et -b.

Probabilités :

P(B=b | A=a) = |⟨1|ψ'_a⟩|² = |(1/√5)⟨1|1⟩|² = (1/5) * 1² = 1/5.

P(B=-b | A=a) = |⟨2|ψ'_a⟩|² = |(1/√5)⟨2|2⟩|² = (1/5) * 2² = 4/5.

État du système après mesure :

Si on trouve b : L'état est |ψ''_b⟩ = |1⟩.

Si on trouve -b : L'état est |ψ''_-b⟩ = |2⟩.

Deuxième cas : On a mesuré A=0, et le système est dans l'état |ψ'₀⟩ = (-i|3⟩).

Le seul résultat possible de B est -b (car B|3⟩ = -b|3⟩).

Probabilité : P(B=-b | A=0) = |⟨3|ψ'₀⟩|² = |-i⟨3|3⟩|² = |-i|² * 1 = 1.

État du système après mesure :

Si on trouve -b : L'état est |ψ''_-b⟩ = |3⟩.

d) Inversion de l'ordre des mesures :

Puisque [A, B] = 0, l'ordre des mesures n'affecte pas les probabilités des résultats finaux.

P(A=a, B=b) = P(A=a) * P(B=b|A=a) = (5/6) * (1/5) = 1/6.

P(A=a, B=-b) = P(A=a) * P(B=-b|A=a) = (5/6) * (4/5) = 4/6 = 2/3.

P(A=0, B=-b) = P(A=0) * P(B=-b|A=0) = (1/6) * 1 = 1/6.

Si on commence par mesurer B :

Les résultats possibles de B sont ses valeurs propres : b et -b.

P(B=b) = |⟨1|ψ_normé(0)⟩|² = (1/6) * 1² = 1/6. L'état après mesure est |1⟩.

P(B=-b) = |⟨2|ψ_normé(0)⟩|² + |⟨3|ψ_normé(0)⟩|² = (1/6) (2² + |-i|²) = (1/6)(4+1) = 5/6. L'état après mesure est (1/√5)(2|2⟩ - i|3⟩).

On peut vérifier que les probabilités conjointes sont les mêmes, indépendamment de l'ordre.

4) Matrice représentative du hamiltonien H dans la base {|1⟩, |2⟩, |3⟩} :

H =

E	E	3
E	-E	0
0	0	E

5) A et B sont-elles des constantes du mouvement ?

Un opérateur indépendant du temps O est une constante du mouvement si [O, H] = 0.

Calculons [A, H] :

A H =

a	0	0
0	a	0
0	0	0

E	E	3
E	-E	0
0	0	E

=

aE	aE	3a
aE	-aE	0
0	0	0

H A =

E	E	3
E	-E	0
0	0	E

a	0	0
0	a	0
0	0	0

=

aE	aE	0
aE	-aE	0
0	0	0

Puisque AH ≠ HA (par exemple, l'élément (1,3) est 3a pour AH et 0 pour HA), [A, H] ≠ 0.

Donc, A n'est pas une constante du mouvement.

Calculons [B, H] :

B H =

b	0	0
0	-b	0
0	0	-b

E	E	3
E	-E	0
0	0	E

=

bE	bE	3b
-bE	bE	0
0	0	-bE

H B =

E	E	3
E	-E	0
0	0	E

b	0	0
0	-b	0
0	0	-b

=

bE	-bE	-3b
bE	bE	0
0	0	-bE

Puisque BH ≠ HB (par exemple, l'élément (1,2) est bE pour BH et -bE pour HB), [B, H] ≠ 0.

Donc, B n'est pas une constante du mouvement.

6) Valeurs possibles de l’énergie :

Les valeurs possibles de l’énergie sont les valeurs propres de H. det(H - λI) = 0.

E-λ	E	3
E	-E-λ	0
0	0	E-λ

= (E-λ) [ (E-λ)(-E-λ) - E² ] = 0

= (E-λ) [ -(E² - λ²) - E² ] = 0

= (E-λ) [ λ² - 2E² ] = 0.

Les valeurs propres sont λ₁ = E, λ₂ = √2 E, λ₃ = -√2 E.

Département de Maintenance Industrielle MI (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2009/2010) - Rattrapage

Problème

On considère le potentiel définit par : V(x) = 0 si x < 0, V(x) = V₀ si 0 ≤ x ≤ a, et V(x) = 0 si x > a.

1. Représenter ce potentiel (puits de potentiel carré inversé ou barrière de potentiel, selon V₀ et E).

2. En supposant des particules d’énergie E > V₀, arrivant de -∞ sur le potentiel décrit plus haut, déterminer les coefficients de réflexion et de transmission.

Solution

1. Représentation du potentiel : C'est une barrière de potentiel carrée de hauteur V₀ et de largeur a, ou un puits de potentiel si V₀ est négatif (mais le problème dit E > V₀, suggérant V₀>0).

2. Coefficients de réflexion et de transmission pour E > V₀ :

L'espace est divisé en trois régions :

• Région I (x < 0) : V(x) = 0. Équation de Schrödinger : d²ψ/dx² + k₁²ψ = 0, où k₁² = 2mE/ħ².
• Région II (0 ≤ x ≤ a) : V(x) = V₀. Équation de Schrödinger : d²ψ/dx² + k₂²ψ = 0, où k₂² = 2m(E-V₀)/ħ².
• Région III (x > a) : V(x) = 0. Équation de Schrödinger : d²ψ/dx² + k₁²ψ = 0.

Les solutions générales sont :

• ψ_I(x) = A₁ e^ik₁x + B₁ e^-ik₁x (Onde incidente + Onde réfléchie)
• ψ_II(x) = A₂ e^ik₂x + B₂ e^-ik₂x
• ψ_III(x) = A₃ e^ik₁x (Onde transmise, pas d'onde revenant de +∞)

Conditions de continuité :

En x = 0 :

ψ_I(0) = ψ_II(0) ⇒ A₁ + B₁ = A₂ + B₂ (1)

dψ_I/dx|_x=0 = dψ_II/dx|_x=0 ⇒ ik₁(A₁ - B₁) = ik₂(A₂ - B₂) (2)

En x = a :

ψ_II(a) = ψ_III(a) ⇒ A₂ e^ik₂a + B₂ e^-ik₂a = A₃ e^ik₁a (3)

dψ_II/dx|_x=a = dψ_III/dx|_x=a ⇒ ik₂(A₂ e^ik₂a - B₂ e^-ik₂a) = ik₁A₃ e^ik₁a (4)

Ces quatre équations peuvent être résolues pour exprimer B₁ et A₃ en fonction de A₁. La dérivation est assez longue et standard pour une barrière de potentiel.

Les coefficients de réflexion R et de transmission T sont donnés par :

T = |A₃/A₁|² et R = |B₁/A₁|².

Le coefficient de transmission T est :

T = [ 4k₁²k₂² ] / [ 4k₁²k₂² + (k₁² - k₂²)² sin²(k₂a) ]

Le coefficient de réflexion R est :

R = [ (k₁² - k₂²)² sin²(k₂a) ] / [ 4k₁²k₂² + (k₁² - k₂²)² sin²(k₂a) ]

Département de Physique SM (S4) - Mécanique Quantique I (UMBB, Année 2010/2011) - Examen de Type Longue Durée (ETLD)

Exercice 1 (12 pts)

1) Sachant que pour l’oscillateur harmonique : X = (ℏ/(2mω))^1/2 (a + a^†) et P_x = i(mħω/2)^1/2 (a^† - a), calculer [X, P_x] et [a, a^†].

2) Rappeler l’action des deux opérateurs a et a^† sur un état représenté par le ket propre |n⟩.

3) Sachant que l'hamiltonien H de l'oscillateur harmonique est proportionnel à a^†a, écrire H en fonction de a et a^†.

4) On considère le sous-espace représenté par les vecteurs de base {|0⟩, |1⟩, |2⟩, |3⟩}.

a) Écrire les matrices représentatives des opérateurs a et a^† dans ce sous-espace.

b) En déduire celles des

FAQ sur la Mécanique Quantique

Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique et pourquoi est-il fondamental en mécanique quantique ?

Un opérateur hermitique (ou auto-adjoint) est un opérateur mathématique dont l'adjoint est égal à lui-même. En mécanique quantique, les opérateurs correspondant aux observables (quantités mesurables comme l'énergie, la position, l'impulsion) doivent être hermitiques. Ceci garantit que les valeurs propres de ces opérateurs (les résultats des mesures) sont toujours réelles et que les états propres correspondants sont orthogonaux, ce qui est essentiel pour une interprétation physique cohérente.

Comment la fonction d'onde décrit-elle le comportement d'une particule dans un puits de potentiel infini ?

Dans un puits de potentiel infini, une particule est confinée et ne peut exister qu'à l'intérieur de ce puits. La fonction d'onde ψ(x) de la particule est nulle en dehors du puits et obéit à l'équation de Schrödinger à l'intérieur. Les conditions aux limites imposent que la fonction d'onde doit s'annuler aux bords du puits. Cela conduit à la quantification de l'énergie de la particule : elle ne peut prendre que des valeurs discrètes, et chaque niveau d'énergie est associé à une fonction d'onde spécifique, de forme sinusoïdale, décrivant la probabilité de trouver la particule en chaque point du puits.

Quelle est la signification physique des coefficients de réflexion et de transmission dans le contexte d'une marche de potentiel ?

Lorsqu'une particule quantique rencontre une barrière ou une marche de potentiel (un changement brusque de potentiel), elle peut être soit réfléchie, soit transmise. Le coefficient de réflexion (R) représente la probabilité que la particule soit réfléchie par le potentiel et revienne en arrière, tandis que le coefficient de transmission (T) représente la probabilité que la particule traverse le potentiel et continue son chemin. La somme R + T est toujours égale à 1, reflétant la conservation de la probabilité, et ces coefficients dépendent de l'énergie de la particule et de la forme du potentiel.

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