Ce document propose un ensemble d'exercices et de problèmes en Analyse Numérique, destiné aux étudiants universitaires des filières SM4 et SMI4. Il vise à évaluer la compréhension des concepts fondamentaux et la capacité à appliquer diverses méthodes numériques pour résoudre des problèmes mathématiques.
Il couvre les notions suivantes :
- Les principes et applications de l'Analyse Numérique, incluant la représentation des nombres.
- La résolution de systèmes linéaires à l'aide de la décomposition LU.
- Les méthodes itératives de recherche de racines, telles que la méthode du point fixe et la méthode de Newton.
Examen d'Analyse Numérique SM4-SMI4 - Juin 2011
Auteur : H. Douzi
Durée : 1h30
Il est demandé d'apporter le plus grand soin à la rédaction et à la présentation claire et lisible des résultats.
Questions de cours
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Donner un exemple d'application de l'Analyse Numérique.
L'Analyse Numérique est une discipline essentielle qui fournit des outils et des méthodes pour résoudre de nombreux problèmes scientifiques et techniques. Un exemple concret d'application est la simulation numérique en ingénierie, telle que la modélisation de la dynamique des fluides pour la conception aéronautique ou la prédiction météorologique, où des équations complexes sont résolues de manière approchée sur ordinateur.
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Énoncer le théorème du point fixe.
Le théorème du point fixe de Banach, ou théorème des contractions, stipule que dans un espace métrique complet non vide, toute application contractante de cet espace dans lui-même admet un unique point fixe. De plus, ce point fixe peut être trouvé par itération en partant d'un point arbitraire de l'espace, la suite des itérations convergeant vers ce point.
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Écrire le nombre 3,375 en binaire puis le représenter en virgule flottante avec un exposant dans l'intervalle [-4,4] et une mantisse de longueur 8.
La représentation en virgule flottante est la méthode standard pour représenter les nombres réels dans les systèmes informatiques. Elle consiste à exprimer un nombre sous la forme
± M ⋅ 2E, oùMest la mantisse (partie significative du nombre) etEest l'exposant. La longueur de la mantisse et l'intervalle de l'exposant déterminent la précision et l'étendue des nombres pouvant être représentés.
Problème 1
On considère le système linéaire Ax = b avec :
La matrice A est une matrice 4x4 donnée par :
[ 1 1 1 1 ]
[ 3 3 2 1 ]
[ 4 4 2 2 ]
[ 2 3 1 4 ]
Le vecteur colonne b est donné par :
[ 1 ]
[ 3 ]
[ 4 ]
[ 2 ]
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Calculer les normes suivantes : ∥A∥∞ et ∥b∥∞.
La norme infinie d'une matrice (aussi appelée norme par lignes) est définie comme le maximum de la somme des valeurs absolues des éléments de chaque ligne. Pour un vecteur, c'est la valeur absolue maximale de ses composantes. Ces normes sont essentielles pour évaluer la stabilité et la convergence des méthodes numériques.
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Calculer la décomposition LU de la matrice A.
La décomposition LU est une factorisation d'une matrice en un produit d'une matrice triangulaire inférieure
L(Lower) et d'une matrice triangulaire supérieureU(Upper). Cette méthode est une alternative efficace à l'inversion directe pour résoudre des systèmes linéaires, notamment quand plusieurs seconds membresbsont considérés. -
Calculer la solution du système Ax=b en utilisant la décomposition LU.
Une fois la matrice
Adécomposée enLU, la résolution du systèmeAx=bse simplifie en deux étapes de substitution directe et inverse : on résout d'abordLy=bpour trouvery, puis on résoutUx=ypour trouver la solution finalex. Cette approche est numériquement stable et efficace.
Problème 2
On considère la fonction suivante : f(x) = x ln(x) - ax avec x ∈ [1; +∞[ et a ∈ [0; +∞[.
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Montrer que f est une bijection de [1;+∞[ sur [-a;+∞[. En déduire que f admet une racine unique sur [1;+∞[ notée α.
Démontrer qu'une fonction est une bijection entre deux intervalles implique de montrer qu'elle est continue et strictement monotone sur l'intervalle de départ, et que son image correspond exactement à l'intervalle d'arrivée. L'existence d'une racine unique découle alors directement du Théorème des Valeurs Intermédiaires appliqué à une fonction strictement monotone, où la valeur 0 se trouve dans l'intervalle image.
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Pour approcher la racine de f, on considère la méthode de point fixe suivante :
xk+1 = φ(xk)avecφ(x) = ln(x) + a/x, pourx ∈ [1; +∞[eta ∈ [0; +∞[.-
Montrer que α est un point fixe de φ.
Un point fixe d'une fonction
φest une valeurxpour laquelleφ(x) = x. Pour prouver que α est un point fixe deφ, il faut substituerαdans l'expression deφ(x)et montrer que cela conduit àα, en utilisant la définition de α comme racine def(x). -
Pour quelles valeurs de
a ∈ [0; +∞[a-t-on α est un point fixe attractif de φ ?Un point fixe α est dit attractif si la suite d'itérations
xk+1 = φ(xk)converge vers α pour des valeurs initialesx0suffisamment proches. La condition nécessaire et suffisante pour l'attractivité locale est que la valeur absolue de la dérivée de la fonction d'itération au point fixe soit strictement inférieure à 1, c'est-à-dire|φ'( α )| < 1. -
Que peut-on dire dans ce cas de la suite
(xk)k?Si α est un point fixe attractif sous la condition
|φ'( α )| < 1et que les itérations sont initialisées dans un voisinage approprié de α, alors la suite(xk)générée par la méthode de point fixe convergera linéairement vers α.
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On veut utiliser ici la méthode de Newton pour approcher la racine de f :
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Formuler la méthode de point fixe de Newton associée à f (la fonction associée est notée ψ).
La méthode de Newton-Raphson est une méthode itérative qui utilise les tangentes successives pour approcher une racine. La fonction d'itération
ψ(x)est définie parψ(x) = x - f(x)/f'(x), oùf'(x)est la dérivée première def(x). Cette formule permet de générer une suitexk+1 = ψ(xk)qui converge rapidement vers la racine. -
Calculer ψ'( α ), que peut-on en déduire ?
Le calcul de
ψ'( α )est fondamental pour analyser l'ordre de convergence de la méthode de Newton. Pour une racine simple (oùf'( α ) ≠ 0), il est un résultat standard queψ'( α ) = 0, ce qui indique une convergence au moins quadratique. Cela signifie que le nombre de chiffres significatifs corrects double à peu près à chaque itération. -
En étudiant la fonction ψ', montrer qu'on a :
ψ'(x) ≤ 1/4pourx ≥ α. Que peut-on dire alors de la suite de Newton ?L'étude de
ψ'(x)et la démonstration de l'inégalitéψ'(x) ≤ 1/4sur un intervalle spécifié (icix ≥ α) sont importantes pour garantir la convergence de la suite de Newton. Si|ψ'(x)| < 1dans un voisinage de la racine, la convergence est assurée. Une borne supérieure de1/4garantit non seulement la convergence mais aussi une vitesse de convergence relativement rapide, car elle implique que la fonctionψest une contraction sur cet intervalle.
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Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la décomposition LU est-elle une méthode efficace pour résoudre des systèmes linéaires ?
- La décomposition LU permet de transformer un système linéaire complexe
Ax = ben deux systèmes triangulaires plus simples à résoudre par substitutions successives (Ly = bpuisUx = y). Elle est particulièrement efficace lorsque le même système doit être résolu pour plusieurs vecteursbdifférents, car la décomposition deAn'est calculée qu'une seule fois, ce qui réduit considérablement les coûts de calcul. Quelle est la condition principale pour qu'une méthode de point fixe converge ?
- La condition clé pour la convergence locale d'une méthode de point fixe
xk+1 = φ(xk)vers un point fixe α est que la fonctionφsoit contractante dans un voisinage de α. Formellement, il faut que|φ'( α )| < 1. Si cette condition est satisfaite, la suite des itérations convergera vers α à partir d'une valeur initiale suffisamment proche. Qu'est-ce qui rend la méthode de Newton-Raphson particulièrement puissante pour la recherche de racines ?
- La méthode de Newton-Raphson se distingue par sa convergence rapide, généralement quadratique, ce qui signifie que le nombre de chiffres significatifs corrects double à chaque itération, sous réserve que l'approximation initiale soit suffisamment proche de la racine et que la dérivée ne soit pas nulle à la racine. Cette vitesse de convergence la rend très efficace pour obtenir des solutions de haute précision.