Ce document présente le corrigé détaillé de l'examen d'Analyse Numérique, destiné aux étudiants universitaires de la filière SMP4. Son objectif est de consolider les connaissances fondamentales acquises dans ce cours. Le contenu aborde diverses méthodes numériques essentielles, offrant des explications claires et des exemples concrets pour la résolution de problèmes.
Il couvre notamment :
- Les méthodes de résolution de systèmes linéaires (Gauss, Jacobi) ;
- La représentation des nombres en virgule flottante ;
- L'analyse des propriétés matricielles et le conditionnement ;
- Les méthodes itératives pour les équations non linéaires (point fixe, Newton).
Corrigé de l'examen d'Analyse Numérique - SMP4 (Juin 2017)
Questions de cours
1. Principe de la méthode de Gauss pour résoudre un système linéaire Ax = b
La méthode de Gauss est une technique fondamentale pour résoudre les systèmes d'équations linéaires. Elle se déroule en deux étapes principales :
- Étape d'élimination : L'objectif est de transformer le système linéaire original en un système équivalent qui est sous forme triangulaire supérieure. Cela est réalisé en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice (permutations, multiplications de lignes par un scalaire non nul, additions d'un multiple d'une ligne à une autre). Cette étape réduit la matrice en une forme échelonnée par lignes.
- Étape de résolution par remontée : Une fois le système transformé en forme triangulaire supérieure, la solution est obtenue en résolvant la dernière équation pour la dernière inconnue, puis en substituant cette valeur dans l'équation précédente pour trouver l'avant-dernière inconnue, et ainsi de suite en remontant jusqu'à la première inconnue.
2. Représentation binaire et virgule flottante du nombre rationnel x = 46,453125
Le nombre rationnel x = 46,453125 se représente en base 2 comme 101110,101110₂.
Pour la représentation en virgule flottante avec une mantisse de longueur 8 et un exposant compris entre -10 et 10, nous normalisons le nombre binaire :
x = 101110,101110₂ = 1.01110101110₂ × 2⁵
En tronquant la mantisse à 8 bits significatifs après le point binaire (en incluant le 1 implicite de la forme normalisée), la mantisse est 01110101. L'exposant est 5.
La représentation en virgule flottante est alors : 1.0111010₁₂ × 2⁵. Ici, la mantisse normalisée est 1.0111010 et l'exposant est 5, ce qui est dans l'intervalle [-10, 10].
3. Nature et conditionnement d'une matrice
Soit la matrice A :
A =
[1/2 3/2]
[3/2 1/2]
Cette matrice est une matrice symétrique (A = Aᵀ). Le texte original affirme qu'il s'agit d'une matrice orthogonale, ce qui est incorrect. Une matrice orthogonale A satisfait AᵀA = I (matrice identité).
Vérifions :
AᵀA =
[1/2 3/2] [1/2 3/2]
[3/2 1/2] × [3/2 1/2]
=
[ (1/4)+(9/4) (3/4)+(3/4) ]
[ (3/4)+(3/4) (9/4)+(1/4) ]
=
[ 10/4 6/4 ]
[ 6/4 10/4 ]
=
[ 5/2 3/2 ]
[ 3/2 5/2 ]
Comme AᵀA ≠ I, A n'est pas une matrice orthogonale.
Le conditionnement de la matrice pour la norme infinie (Cond∞(A)) est défini par Cond∞(A) = ||A||∞ × ||A⁻¹||∞.
Calcul de ||A||∞ :
||A||∞ = max(somme des valeurs absolues des éléments de chaque ligne)
Ligne 1 : |1/2| + |3/2| = 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2
Ligne 2 : |3/2| + |1/2| = 3/2 + 1/2 = 4/2 = 2
Donc, ||A||∞ = 2.
Calcul de A⁻¹ :
det(A) = (1/2)(1/2) - (3/2)(3/2) = 1/4 - 9/4 = -8/4 = -2.
A⁻¹ = (1/det(A)) × [Adj(A)]ᵀ = (-1/2) ×
[1/2 -3/2]
[-3/2 1/2]
=
[-1/4 3/4 ]
[ 3/4 -1/4]
Calcul de ||A⁻¹||∞ :
Ligne 1 : |-1/4| + |3/4| = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1
Ligne 2 : |3/4| + |-1/4| = 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1
Donc, ||A⁻¹||∞ = 1.
Conditionnement :
Cond∞(A) = ||A||∞ × ||A⁻¹||∞ = 2 × 1 = 2.
Conclusion : La matrice est bien conditionnée, car son nombre de conditionnement est relativement petit (proche de 1). Un faible nombre de conditionnement indique que la solution du système linéaire Ax=b est peu sensible aux petites perturbations des données A ou b. À l'inverse, un grand nombre de conditionnement signalerait une matrice mal conditionnée, rendant le système potentiellement instable et les calculs numériques plus difficiles à contrôler.
Problème 1 : Résolution de systèmes linéaires par la méthode de Jacobi
Considérons le système linéaire Ax = b avec :
A =
[1 2 2]
[1 1 1]
[2 2 1]
x =
[x1]
[x2]
[x3]
b =
[1]
[2]
[0]
1. Décomposition de Jacobi pour la matrice A
La méthode de Jacobi est une méthode itérative qui vise à résoudre les systèmes linéaires en décomposant la matrice A en trois parties : A = D + E + F.
- D est la matrice diagonale de A.
- E est la partie triangulaire inférieure stricte de A (éléments en dessous de la diagonale).
- F est la partie triangulaire supérieure stricte de A (éléments au-dessus de la diagonale).
Le processus itératif standard de Jacobi est donné par la formule : x^(n+1) = D⁻¹(b - (E+F)x^(n)). La matrice d'itération J de Jacobi est alors J = -D⁻¹(E+F).
Pour la matrice A donnée :
D =
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
Puisque D est la matrice identité, D⁻¹ = I.
E =
[0 0 0]
[1 0 0]
[2 2 0]
F =
[0 2 2]
[0 0 1]
[0 0 0]
Donc, (E + F) =
[0 2 2]
[1 0 1]
[2 2 0]
Le texte original définit la matrice d'itération J comme étant (E+F). Si nous suivons cette convention pour la suite du problème, la matrice J est :
J =
[0 2 2]
[1 0 1]
[2 2 0]
Il est important de noter que dans la définition standard de Jacobi, la matrice d'itération est J = -D⁻¹(E+F). Cependant, nous utiliserons la matrice J fournie pour vérifier la convergence et calculer les itérations.
2. Vérification de la convergence de la méthode de Jacobi
La convergence de la méthode de Jacobi est garantie si le rayon spectral ρ(J) de la matrice d'itération J est strictement inférieur à 1 (ρ(J) < 1). Le rayon spectral est la plus grande des valeurs absolues des valeurs propres de J.
Pour la matrice J =
[0 2 2]
[1 0 1]
[2 2 0]
Nous devons trouver les valeurs propres λ en résolvant det(J - λI) = 0 :
det(
[-λ 2 2]
[1 -λ 1]
[2 2 -λ]) = 0
-λ(λ² - 2) - 2(-λ - 2) + 2(2 + 2λ) = 0
-λ³ + 2λ + 2λ + 4 + 4 + 4λ = 0
-λ³ + 8λ + 8 = 0
Une des racines (valeurs propres) de ce polynôme est λ₁ = -2. En divisant le polynôme par (λ+2), nous obtenons :
(-λ³ + 8λ + 8) / (λ+2) = -λ² + 2λ + 4
Les autres valeurs propres sont les racines de -λ² + 2λ + 4 = 0, ou λ² - 2λ - 4 = 0.
En utilisant la formule quadratique, λ = [ -(-2) ± √((-2)² - 4(1)(-4)) ] / (2*1)
λ = [ 2 ± √(4 + 16) ] / 2
λ = [ 2 ± √20 ] / 2
λ = [ 2 ± 2√5 ] / 2
λ₂ = 1 + √5 ≈ 3.236
λ₃ = 1 - √5 ≈ -1.236
Les valeurs propres de J sont : λ₁ = -2, λ₂ ≈ 3.236, λ₃ ≈ -1.236.
Le rayon spectral ρ(J) est le maximum des valeurs absolues de ces valeurs propres :
ρ(J) = max(|-2|, |3.236|, |-1.236|) = 3.236.
Puisque ρ(J) = 3.236 > 1, la méthode de Jacobi n'est PAS convergente pour ce système. La conclusion originale du document indiquant une convergence est incorrecte sur la base de la matrice J fournie.
3. Calcul des deux premières itérations de la méthode de Jacobi
Nous utilisons la formule itérative x^(n+1) = D⁻¹b + Jx^(n). Puisque D⁻¹ = I, la formule devient x^(n+1) = b + Jx^(n).
Initialisation : x^(0) =
[0]
[0]
[0]
Première itération (n=0) :
x^(1) = b + Jx^(0)
x^(1) =
[1]
[2]
[0] +
[0 2 2]
[1 0 1]
[2 2 0] ×
[0]
[0]
[0]
x^(1) =
[1]
[2]
[0] +
[0]
[0]
[0] =
[1]
[2]
[0]
Deuxième itération (n=1) :
x^(2) = b + Jx^(1)
x^(2) =
[1]
[2]
[0] +
[0 2 2]
[1 0 1]
[2 2 0] ×
[1]
[2]
[0]
Calcul de Jx^(1) :
[ (0*1) + (2*2) + (2*0) ] = [ 4 ]
[ (1*1) + (0*2) + (1*0) ] = [ 1 ]
[ (2*1) + (2*2) + (0*0) ] = [ 6 ]
Donc, Jx^(1) =
[4]
[1]
[6]
x^(2) =
[1]
[2]
[0] +
[4]
[1]
[6] =
[5]
[3]
[6]
Les deux premières itérations de la méthode de Jacobi sont donc x^(1) = [1, 2, 0]ᵀ et x^(2) = [5, 3, 6]ᵀ.
Problème 2 : Recherche de racines par méthodes de point fixe et de Newton
Soit la fonction f(x) = x * e^x - 2. Nous cherchons à déterminer une racine de f(x) = 0 à l'aide de méthodes de point fixe et de la méthode de Newton.
1. Fonctions de point fixe associées à f(x) = 0
Une fonction g(x) est une fonction de point fixe pour le problème f(x)=0 si l'équation x = g(x) est équivalente à f(x)=0.
Pour g₁(x) = 2/e^x :
x = 2/e^x
Multiplions par e^x : x * e^x = 2
Soustrayons 2 : x * e^x - 2 = 0
Ceci est équivalent à f(x) = 0. Donc, g₁(x) est bien une fonction de point fixe.
Pour g₂(x) = ln(2/x) :
x = ln(2/x)
Appliquons l'exponentielle : e^x = 2/x
Multiplions par x : x * e^x = 2
Soustrayons 2 : x * e^x - 2 = 0
Ceci est équivalent à f(x) = 0. Donc, g₂(x) est bien une fonction de point fixe. (Note : La notation originale `)2 ln() (2 xx g ` est ambiguë mais la dérivation montre qu'il s'agit de ln(2/x).)
2. Existence et unicité d'une racine unique l sur l'intervalle [1, 2]
Pour démontrer l'existence et l'unicité d'une racine l sur un intervalle, nous pouvons utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et l'étude de la monotonie de f(x).
Calculons la dérivée de f(x) = x * e^x - 2 :
f'(x) = (1 * e^x) + (x * e^x) = e^x(1 + x).
Pour x dans l'intervalle [1, 2] :
e^x est toujours positif.
(1 + x) est toujours positif (entre 2 et 3).
Donc, f'(x) > 0 sur [1, 2]. Cela signifie que f(x) est strictement monotone croissante sur cet intervalle.
Évaluons f(x) aux bornes de l'intervalle :
f(1) = 1 * e¹ - 2 = e - 2 ≈ 2.71828 - 2 = 0.71828.
f(2) = 2 * e² - 2 ≈ 2 * 7.38906 - 2 = 14.77812 - 2 = 12.77812.
Puisque f(1) > 0 et f(2) > 0, il n'y a pas de changement de signe entre f(1) et f(2). Par conséquent, le Théorème des Valeurs Intermédiaires, tel qu'il est habituellement appliqué pour garantir l'existence d'une racine, ne s'applique pas directement pour cet intervalle [1, 2]. Pour une racine unique, il faudrait un changement de signe. La racine réelle de f(x) = 0 est approximativement l ≈ 0.8526, ce qui n'est pas dans l'intervalle [1, 2]. Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé de l'intervalle ou des valeurs de f(1) dans l'exercice original.
3. Étude de la convergence des deux méthodes de point fixe
La convergence d'une méthode de point fixe x = g(x) au voisinage d'un point fixe l est déterminée par la valeur de |g'(l)|. La méthode converge si |g'(l)| < 1 (point fixe attractif) et diverge si |g'(l)| > 1 (point fixe répulsif).
Le point fixe réel est l ≈ 0.8526.
Pour g₁(x) = 2/e^x = 2e^(-x) :
g₁'(x) = -2e^(-x) = -2/e^x.
Au point fixe l ≈ 0.8526 :
|g₁'(l)| = |-2/e^l| ≈ |-2/e^0.8526| ≈ |-2/2.3457| ≈ 0.8526.
Puisque |g₁'(l)| ≈ 0.8526 < 1, la méthode basée sur g₁(x) est convergente et le point fixe est attractif. La conclusion originale est incorrecte.
Pour g₂(x) = ln(2/x) = ln(2) - ln(x) :
g₂'(x) = -1/x.
Au point fixe l ≈ 0.8526 :
|g₂'(l)| = |-1/l| = |-1/0.8526| ≈ 1.1728.
Puisque |g₂'(l)| ≈ 1.1728 > 1, la méthode basée sur g₂(x) est divergente et le point fixe est répulsif. La conclusion originale est incorrecte.
4. Estimation de la vitesse de convergence
L'ordre de convergence d'une méthode de point fixe est généralement :
- D'ordre 1 (linéaire) si g'(l) ≠ 0.
- D'ordre 2 (quadratique) si g'(l) = 0 et g''(l) ≠ 0.
Selon notre analyse corrigée :
- Seule la méthode g₁(x) est convergente.
- Pour g₁(x), nous avons g₁'(l) ≈ -0.8526. Puisque g₁'(l) n'est pas nul, la méthode g₁(x) a une vitesse de convergence d'ordre 1 (linéaire).
- La méthode g₂(x) n'étant pas convergente, sa vitesse de convergence n'est pas pertinente.
5. Formulation de la méthode de Newton pour calculer la racine l
La méthode de Newton est une méthode itérative rapide pour trouver les racines d'une fonction f(x) = 0. Elle est définie par la relation de récurrence :
x^(n+1) = x^(n) - f(x^(n)) / f'(x^(n))
Pour notre fonction f(x) = x * e^x - 2, nous avons calculé sa dérivée :
f'(x) = e^x(1 + x).
En substituant f(x) et f'(x) dans la formule de Newton, nous obtenons :
x^(n+1) = x^(n) - (x^(n) * e^(x^(n)) - 2) / (e^(x^(n)) * (1 + x^(n)))
Pour simplifier cette expression, on peut mettre au même dénominateur :
x^(n+1) = [x^(n) * e^(x^(n)) * (1 + x^(n)) - (x^(n) * e^(x^(n)) - 2)] / [e^(x^(n)) * (1 + x^(n))]
x^(n+1) = [x^(n) * e^(x^(n)) + (x^(n))² * e^(x^(n)) - x^(n) * e^(x^(n)) + 2] / [e^(x^(n)) * (1 + x^(n))]
x^(n+1) = [(x^(n))² * e^(x^(n)) + 2] / [e^(x^(n)) * (1 + x^(n))]
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que le conditionnement d'une matrice ?
Le conditionnement d'une matrice est un nombre qui mesure la sensibilité de la solution d'un système linéaire (Ax=b) aux petites perturbations des données, c'est-à-dire la matrice A elle-même ou le vecteur b. Une matrice est dite "bien conditionnée" si son conditionnement est proche de 1, ce qui signifie que de petites erreurs dans les données d'entrée n'entraîneront pas de grandes erreurs dans la solution. À l'inverse, une matrice "mal conditionnée" (avec un grand nombre de conditionnement) indique que le système est instable, et même des erreurs minimes peuvent provoquer des variations importantes et imprévisibles dans la solution calculée, rendant les résultats numériques peu fiables.
Quelle est la différence essentielle entre la méthode de Gauss et la méthode de Jacobi pour les systèmes linéaires ?
La méthode de Gauss, ou méthode d'élimination de Gauss, est une méthode directe. Elle transforme le système linéaire en une forme triangulaire supérieure, puis résout le système par substitution arrière pour trouver la solution exacte en un nombre fini d'étapes (en l'absence d'erreurs d'arrondi). En revanche, la méthode de Jacobi est une méthode itérative. Elle génère une séquence d'approximations successives qui convergent vers la solution exacte. Les méthodes itératives sont souvent privilégiées pour les grands systèmes linéaires, notamment ceux qui sont creux (contenant beaucoup de zéros), et leur convergence est un critère crucial dépendant des propriétés de la matrice.
Comment évaluer la convergence d'une méthode de point fixe ?
Pour une méthode de point fixe définie par l'équation x = g(x), la convergence de la suite d'itérations vers le point fixe l (la racine de f(x)=0) est principalement déterminée par la valeur de la dérivée g'(x) au voisinage de ce point fixe. La méthode converge si la valeur absolue de la dérivée en l, |g'(l)|, est strictement inférieure à 1. Dans ce cas, le point fixe est dit attractif. Si |g'(l)| est strictement supérieure à 1, la méthode diverge, et le point fixe est dit répulsif. Si |g'(l)| = 1, la convergence est incertaine et d'autres critères doivent être examinés, comme la dérivée seconde.