Ce document d'examen est destiné aux étudiants de première année en ingénierie mécatronique, spécifiquement pour le cours d'Analyse Numérique. Il couvre des concepts fondamentaux dans ce domaine.
Les exercices proposés abordent principalement les notions suivantes :
- L'interpolation polynomiale, y compris la détermination de polynômes d'interpolation et l'estimation des erreurs associées.
- Les méthodes d'intégration numérique, avec la dérivation de formules de quadrature et l'analyse de leurs bornes d'erreur.
L'objectif est d'évaluer la compréhension et l'application de ces techniques essentielles en analyse numérique.
Analyse Numérique : Exercices Corrigés
Cet article présente des exercices corrigés d'analyse numérique, issus d'un examen de 2014-2015 destiné aux étudiants de 1ère année ingénieurs en mécatronique du Département GE de l'ENICar.
Exercice 1 : Interpolation Polynômiale
On donne les valeurs numériques suivantes :
| x | f(x) |
|---|---|
| 1 | 1.54030 |
| 1.1 | 1.55360 |
| 1.2 | 1.56236 |
| 1.3 | 1.56750 |
Questions
- Déterminer le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 qui interpole la fonction x → f(x) sur le support S = {1; 1.1; 1.2}, que l'on notera P₂.
- Donner une valeur approchée de f(1.15).
- Sachant que f(x) = cos(x) + x, donner l'erreur |f(x) − P₂(x)| sur l'intervalle [1, 1.2]. Vérifier cette incertitude au point 1.15.
- Déterminer le polynôme de degré inférieur ou égal à 3 qui interpole la fonction x → f(x) sur le support S = {1; 1.1; 1.2; 1.3}, que l'on notera P₃.
- Comparer f(1.15) − P₃(1.15) et f(1.15) − P₂(1.15).
Solutions de l'Exercice 1
- Le polynôme P₂ de degré inférieur ou égal à 2, qui interpole la fonction x → f(x) sur le support S = {1; 1.1; 1.2} est donné par :
Par la méthode de Newton, on a P₂(x) = 1.5403 + (x−1)(0.133−0.227(x−1.1)).
L'interpolation polynomiale est une technique qui consiste à construire un polynôme passant exactement par un ensemble de points donnés.
- Valeur approchée de f(1.15) :
P₂(1.15) = 1.5585475.
- Erreur |f(x) − P₂(x)| et vérification au point 1.15 :
Sachant que f(x) = cos(x) + x, on a f'''(x) = sin(x).
f(1.15) = 1.558488, alors |f(1.15) − P₂(1.15)| = 0.0000595.
Pour tout x ∈ [1, 1.2], il existe ζ ∈ [1, 1.2], tel que l'erreur E₂(x) = |f(x) − P₂(x)| = |f'''(ζ)| / 3! × |x−1||x−1.1||x−1.2| ≤ 1/6 × |x−1||x−1.1||x−1.2|.
Par la formule de l'erreur : E₂(1.15) ≤ 1/6 × |1.15−1||1.15−1.1||1.15−1.2| = 0.000625.
L'erreur d'interpolation est la différence entre la valeur réelle de la fonction et la valeur approchée par le polynôme d'interpolation.
- Le polynôme de degré inférieur ou égal à 3 qui interpole la fonction x → f(x) sur le support S = {1; 1.1; 1.2; 1.3} est :
P₃(x) = P₂(x) + 0.15333(x−1)(x−1.1)(x−1.2).
- Comparaison des erreurs :
f(1.15) − P₃(1.15) = −2.56 × 10⁻⁶ et f(1.15) − P₂(1.15) = 0.0000595.
On observe que E₃(1.15) < E₂(1.15), ce qui est attendu car un polynôme d'interpolation de degré plus élevé sur un ensemble de points plus grand a généralement une meilleure précision.
Exercice 2 : Formules d'Intégration Numérique et Erreur
Questions
- Trouver une formule d'intégration numérique Q(f) sur le segment [0,1] de la forme :
∫₁⁰ f(t)dt = λ₀ f(0) + λ₁ f(1) + λ₂ f'(0) + λ₃ f'(1) + E₃(f) = Q(f) + E₃(f)
qui soit exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à trois.
- Soit f : [0,1] → R de classe C⁴.
- Justifier l'existence et l'unicité d'un polynôme P_f ∈ R₃[X] tel que :
f(0) = P_f(0), f(1) = P_f(1), f'(0) = P'_f(0), et f'(1) = P'_f(1).
- Soit x ≠ 0 et x ≠ 1. On pose
F(t) = f(t) − P_f(t) − [f(x) − P_f(x)] / [x² (x−1)²] × t² (t−1)².
Montrer que F est de classe C⁴ et qu'il existe c ∈ ]0,1[ tel que F⁽⁴⁾(c) = 0.
- Déduire la formule d'erreur d'interpolation :
∀x∈[0,1] ∃c∈]0,1[; f(x) − P_f(x) = f⁽⁴⁾(c) / 4! × x²(x−1)².
- Justifier l'existence et l'unicité d'un polynôme P_f ∈ R₃[X] tel que :
- Montrer que Q(f) = ∫₁⁰ P_f(t)dt.
- Montrer, de ce qui précède, que :
|E₃(f)| = |∫₁⁰ f(t)dt − Q(f)| ≤ 1/720 × maxc∈[0;1] |f⁽⁴⁾(c)|.
- Soit a < b, en utilisant le changement de variable ∫ₐᵇ f(t)dt = (b−a)∫₁⁰ f(a+x(b−a))dx.
Montrer que la formule ∫ₐᵇ f(t)dt = (b−a)/2 × f(a) + (b−a)/2 × f(b) + (b−a)²/12 × f'(a) − (b−a)²/12 × f'(b) + E₃(f)
est exacte pour les polynômes de degré inférieurs ou égal à 3.
- Donner une valeur approchée de ∫⁻¹₁ cos(πt/2) dt.
Solutions de l'Exercice 2
- Formule d'intégration numérique :
Pour que la formule soit exacte pour les polynômes de degrés 0 à 3, on doit satisfaire le système linéaire suivant en choisissant les fonctions test 1, t, t², t³ :
λ₀ + λ₁ = 1 (pour f(t)=1) λ₁ + λ₂ + λ₃ = 1/2 (pour f(t)=t) λ₁ + 2λ₃ = 1/3 (pour f(t)=t²) λ₁ + 3λ₃ = 1/4 (pour f(t)=t³)Ce qui donne les coefficients suivants : λ₀ = 1/2, λ₁ = 1/2, λ₂ = 1/12 et λ₃ = -1/12.
L'intégration numérique est une méthode pour calculer une valeur approchée d'une intégrale définie. Cette formule est un exemple de quadrature de Hermite.
- Existence et unicité du polynôme P_f et formule d'erreur :
- L'existence et l'unicité d'un polynôme P_f ∈ R₃[X] satisfaisant les conditions données (il s'agit d'un polynôme d'interpolation de Hermite) peut être démontrée en posant P_f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ et en montrant que le système linéaire obtenu pour les coefficients (a₀, a₁, a₂, a₃) admet une solution unique (ce qui est le cas pour un système de Cramer).
- Pour montrer que F est de classe C⁴ et qu'il existe c ∈ ]0,1[ tel que F⁽⁴⁾(c) = 0 :
F(t) est de classe C⁴ car elle est une combinaison linéaire de polynômes en t et de la fonction f, qui est elle-même de classe C⁴. Puisque P_f est le polynôme d'interpolation de Hermite, F(0)=F'(0)=0 et F(1)=F'(1)=0. De plus, par construction, F(x)=0. En appliquant le théorème de Rolle de manière répétée sur F, F', F'' et F''', on peut montrer l'existence d'un c ∈ ]0,1[ tel que F⁽⁴⁾(c) = 0.
- Déduction de la formule d'erreur d'interpolation :
Pour x ≠ 0 et x ≠ 1, de F⁽⁴⁾(c) = 0, on déduit :
f⁽⁴⁾(c) − [f(x) − P_f(x)] / [x² (x−1)²] × 4! = 0
⇐⇒ f(x) − P_f(x) = f⁽⁴⁾(c) / 4! × x²(x−1)².
Pour x = 0 et x = 1, la formule est triviale puisque f(0) − P_f(0) = 0 et f(1) − P_f(1) = 0, et que le terme x²(x−1)² est aussi nul.
- Démonstration de Q(f) = ∫₁⁰ P_f(t)dt :
Comme P_f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, et que la formule Q(f) a été construite pour être exacte pour les polynômes de ce degré, il s'ensuit que Q(P_f) = ∫₁⁰ P_f(t)dt. De plus, par définition du polynôme de Hermite P_f, les valeurs f(0)=P_f(0), f(1)=P_f(1), f'(0)=P'_f(0), et f'(1)=P'_f(1) sont égales, ce qui implique que Q(f) = Q(P_f).
- Démonstration de la borne d'erreur :
|E₃(f)| = |∫₁⁰ f(t)dt − Q(f)| = |∫₁⁰ (f(t) − P_f(t))dt|
En utilisant la formule d'erreur d'interpolation précédemment établie :
|E₃(f)| = |∫₁⁰ (f⁽⁴⁾(c(t)) / 4! × t²(t−1)²)dt| ≤ maxc∈[0;1] |f⁽⁴⁾(c)| / 4! × ∫₁⁰ t²(t−1)² dt.
Calculons l'intégrale du polynôme poids :
∫₁⁰ t²(t−1)² dt = ∫₁⁰ (t⁴ - 2t³ + t²) dt = [t⁵/5 - 2t⁴/4 + t³/3] from 0 to 1 = 1/5 - 1/2 + 1/3 = (6 - 15 + 10)/30 = 1/30.
Donc, |E₃(f)| ≤ maxc∈[0;1] |f⁽⁴⁾(c)| / 24 × 1/30 = 1/720 × maxc∈[0;1] |f⁽⁴⁾(c)|.
- Démonstration de l'exactitude pour les polynômes de degré 3 sur [a,b] :
La formule d'intégration pour un intervalle général [a, b] est obtenue à partir de la formule sur [0,1] par un simple changement de variable linéaire. Si la formule est exacte pour les polynômes de degré 3 sur [0,1], ce changement de variable transformera un polynôme de degré 3 sur [a, b] en un polynôme de degré 3 sur [0,1], pour lequel la formule est exacte. Par conséquent, la formule est également exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 sur tout intervalle [a, b].
- Valeur approchée de ∫⁻¹₁ cos(πt/2) dt :
Nous interprétons l'intégrale comme ∫_(-1)^1 cos(πt/2) dt, l'expression "dt2" étant une coquille pour "dt".
Pour utiliser la formule de quadrature obtenue sur [0,1], nous pouvons utiliser la symétrie de la fonction cosinus (paire) sur l'intervalle [-1,1] :
∫_(-1)^1 cos(πt/2) dt = 2 × ∫₀¹ cos(πt/2) dt.
Appliquons la formule Q(f) = λ₀ f(0) + λ₁ f(1) + λ₂ f'(0) + λ₃ f'(1) avec f(t) = cos(πt/2) sur [0,1] :
- f(0) = cos(0) = 1
- f(1) = cos(π/2) = 0
- f'(t) = - (π/2)sin(πt/2)
- f'(0) = - (π/2)sin(0) = 0
- f'(1) = - (π/2)sin(π/2) = - π/2
En utilisant les coefficients trouvés (λ₀ = 1/2, λ₁ = 1/2, λ₂ = 1/12, λ₃ = -1/12) :
Q(f) = (1/2)×1 + (1/2)×0 + (1/12)×0 + (-1/12)×(-π/2)
Q(f) = 1/2 + π/24.
La valeur approchée de l'intégrale sur [-1,1] est donc 2 × Q(f) = 2 × (1/2 + π/24) = 1 + π/12.
En termes numériques, 1 + π/12 ≈ 1 + 3.14159 / 12 ≈ 1 + 0.261799 ≈ 1.2618.
La valeur exacte est [ (2/π)sin(πt/2) ]_(-1)^1 = (2/π)sin(π/2) - (2/π)sin(-π/2) = (2/π)(1) - (2/π)(-1) = 4/π ≈ 1.2732.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu'est-ce que l'interpolation polynomiale ?
L'interpolation polynomiale est une méthode numérique qui permet de construire un polynôme passant par un ensemble de points de données spécifiques. Elle est utilisée pour estimer des valeurs de fonction entre ces points, ou pour approximer une fonction complexe par un polynôme plus simple. Des méthodes comme celle de Newton ou de Lagrange sont couramment employées pour déterminer ces polynômes.
Pourquoi utilise-t-on l'intégration numérique ?
L'intégration numérique est employée pour calculer des approximations d'intégrales définies, surtout lorsque la fonction à intégrer n'a pas de primitive exprimable de manière analytique, ou lorsque l'on dispose uniquement de valeurs discrètes de la fonction (comme dans l'Exercice 1). Les méthodes comme les quadratures de Gauss, de Simpson ou ici, de Hermite, permettent d'obtenir des estimations précises.
Comment évalue-t-on l'erreur d'une méthode d'approximation ?
L'erreur d'une méthode d'approximation (interpolation, intégration numérique) est la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée. Elle est souvent exprimée en fonction des dérivées d'ordre supérieur de la fonction et de la taille de l'intervalle ou de l'espacement des points. Connaître cette erreur est crucial pour évaluer la fiabilité et la précision de la méthode utilisée.