Ce document propose un recueil de solutions détaillées pour les exercices du chapitre 5, spécifiquement destiné aux étudiants universitaires. Ce matériel pédagogique permet d'approfondir les concepts fondamentaux de l'analyse numérique à travers des applications concrètes et des démonstrations rigoureuses de l'interpolation polynomiale.
Il couvre principalement les notions suivantes :
- Construction de polynômes d'interpolation par les méthodes de Lagrange et de Newton.
- Estimation et analyse analytique de l'erreur d'approximation.
- Calcul et propriétés des splines cubiques naturelles.
- Détermination de polynômes de degré minimal sous contraintes de dérivabilité.
Réponses aux exercices sur l'interpolation polynomiale
Exercice 4 : Interpolation de Lagrange
On considère une fonction tabulée pour laquelle on cherche à construire des polynômes d'interpolation.
a) Polynôme pour les 3 premiers points : Puisqu'il y a trois points, le polynôme de Lagrange résultant est de degré 2.
b) Passage à 4 points : Pour quatre points, le polynôme est de degré 3. Il n'est pas possible d'utiliser directement les calculs faits en (a) car la méthode de Lagrange impose de recalculer tous les polynômes de base Li(x) lorsqu'un nouveau point est ajouté.
c) Expression de l'erreur : L'erreur analytique pour un polynôme de degré n est donnée par : E(x) = (f(n+1)(ξ) / (n+1)!) * Π(x - xi), où ξ appartient à l'intervalle contenant les nœuds.
d) Approximations : Pour obtenir l'approximation de f(1,5), il suffit de remplacer x par 1,5 dans les polynômes de degré 2 et de degré 3 obtenus précédemment.
Exercice 10 : Interpolation de la fonction logarithme
On interpole la fonction f(x) = ln(x) aux nœuds x = 1, 2, 3, 4, 5.
a) Méthode de Newton : Avec 5 nœuds, le degré du polynôme est 4. La méthode de Newton utilise les différences divisées pour construire l'expression algébrique.
b) Estimation de f(6,32) : En évaluant le polynôme p4 en x = 6,32, on obtient une valeur approximative de 1,681902. La valeur exacte ln(6,32) étant de 1,843719, l'erreur absolue est d'environ 0,161817. L'utilisation d'un nœud supplémentaire à x = 5,5 permet d'affiner cette estimation.
c) Amélioration de la précision : Pour réduire l'erreur absolue d'un facteur 100, il est nécessaire d'ajouter des nœuds à intervalles réguliers (0,5), ce qui augmente le degré du polynôme et sa capacité à coller à la courbe de ln(x).
d) Analyse graphique sur [3,4] : Le signe de l'erreur est déterminé par la dérivée cinquième f(5)(t) = 24 / t5 et par le produit des facteurs (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Sur l'intervalle [3,4], l'erreur est positive, ce qui signifie que la courbe de ln(x) se situe au-dessus de celle du polynôme d'interpolation.
Exercice 18 : Splines cubiques naturelles
On étudie la fonction f(x) = x³ à travers les points (0,0), (1,1) et (2,8).
a) Système linéaire : Pour calculer la spline cubique naturelle, on établit un système d'équations assurant la continuité de la fonction, de sa pente et de sa courbure aux points de jonction.
b) Approximation en x = 1/2 : La spline donne une valeur de -0,0625, alors que la valeur exacte de f(1/2) est 0,125. Il y a donc un écart significatif.
c) Explication de l'erreur : La spline "naturelle" impose une dérivée seconde nulle aux extrémités (x=0 et x=2). Cependant, pour la fonction f(x) = x³, la dérivée seconde réelle est f''(x) = 6x, soit f''(2) = 12. Cette contrainte imposée par la spline naturelle est incompatible avec la réalité de la fonction cubique, ce qui génère l'erreur d'interpolation.
Exercice 20 : Modélisation d'un virage ferroviaire
On conçoit une trajectoire entre (0,0) et (1,1) respectant des pentes spécifiques.
a) Degré minimal : Nous avons 4 conditions : deux points de passage (f(0)=0, f(1)=1) et deux pentes imposées (f'(0)=0, f'(1)=0,3). Pour satisfaire 4 conditions, le polynôme doit posséder 4 coefficients, ce qui correspond à un degré minimal de 3.
b) Calcul du polynôme : En posant p(x) = ax³ + bx² + cx + d et en appliquant les conditions initiales, on détermine les valeurs des coefficients a, b, c et d pour définir la courbe de transition douce.
FAQ sur l'interpolation
Quelle est la différence entre l'interpolation de Lagrange et celle de Newton ? Bien que les deux méthodes produisent le même polynôme unique, Newton est plus efficace pour ajouter des points de données sans recalculer tout le système, tandis que Lagrange est plus simple à formuler mathématiquement pour un nombre de points fixe.
Qu'est-ce qu'une spline cubique "naturelle" ? C'est une spline où l'on impose que la courbure (dérivée seconde) soit nulle aux deux extrémités de l'intervalle. Cela permet une transition fluide, mais peut créer des erreurs si la fonction réelle possède une courbure importante aux bords.
Pourquoi l'erreur de l'interpolation peut-elle augmenter avec le degré du polynôme ? C'est le phénomène de Runge. Avec des points équidistants, un polynôme de haut degré peut se mettre à osciller violemment près des bords de l'intervalle, rendant l'approximation moins précise qu'avec un polynôme de bas degré.