Tp 07 integration numérique - analyse numérique avec matlab

Ce document de Travaux Pratiques (TP) est conçu pour les étudiants en deuxième année de Génie Électrique, dans le cadre du cours de Méthodes Numériques. Il vise à fournir une expérience pratique essentielle sur l'intégration numérique.

Il couvre les notions suivantes :

L'introduction à l'intégrale numérique et son calcul via des fonctions Matlab.
L'implémentation détaillée de la méthode des trapèzes pour l'approximation d'intégrales.
L'implémentation de la méthode de Simpson 1/3 et son algorithme.
L'étude comparative de la convergence de ces deux méthodes d'intégration.

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UNIVERSITÉ DE GHARDAÏA

FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNOLOGIE

DÉPARTEMENT DES SCIENCES ET TECHNIQUES

MÉTHODES NUMÉRIQUES 2ème GÉNIE ÉLEC.

2014-2015

TP 07 – Intégration Numérique

But du TP

Implémentation d'un code Matlab pour évaluer une intégrale par la méthode des trapèzes et Simpson 1/3.

1. Préambule : Calcul d'une intégrale définie

Soit à calculer l'intégrale suivante :

I = ∫_-1² (e^x sin(x)) / (x² + 1) dx

Questions Préliminaires

Dessiner le graphe de la fonction f(x) = (e^x sin(x)) / (x² + 1) sur l'intervalle [-3, 4].
Calculer la valeur de I avec la fonction trapz de Matlab.

2. Méthode des Trapèzes

La méthode des trapèzes est une technique d'intégration numérique qui consiste à approximer l'aire sous une courbe par la somme des aires de trapèzes. Pour cela, l'intervalle d'intégration est subdivisé en un certain nombre `n` de sous-intervalles de longueur `h`. L'intégrale est alors donnée approximativement par la formule :

I' ≈ (h/2) * (y₀ + y_n) + Σ_i=1^n-1 (h * y_i)

Implémentation Matlab pour la Méthode des Trapèzes

Pour implémenter cette méthode sous Matlab, suivez les étapes suivantes :

Écrire une fonction Matlab qui renvoie la valeur de la fonction `f(x)`.
Dans le script principal, spécifier les limites d'intégration `a` et `b`, ainsi que le nombre d'intervalles `n` à utiliser.
Définir une variable `S` qui doit recevoir la valeur de l'intégrale calculée.

Implémenter l'algorithme suivant :

Lire a, b, n
h ← (b - a) / n
S ← h/2 * (f(a) + f(b))
Pour i = 1 à n-1 faire
  S ← S + h * f(a + i*h)
Fin pour
Afficher S

3. Méthode de Simpson 1/3

La méthode de Simpson 1/3 est une méthode d'intégration numérique plus précise que la méthode des trapèzes, car elle approxime la fonction par des paraboles plutôt que des segments de droite. Elle nécessite un nombre pair de sous-intervalles. L'approximation de l'intégrale est donnée par la formule :

I' ≈ (h/3) * [(y₀ + y_n) + 4 * (y₁ + y₃ + ... + y_n-1) + 2 * (y₂ + y₄ + ... + y_n-2)]

Cette formule peut être implémentée suivant l'algorithme suivant :

Lire a, b, n
h ← (b - a) / n
S ← f(a) + f(b)
Pour i = 1 à n-1 faire
  Si i est impair alors
    S ← S + 4 * f(a + i*h)
  Sinon
    S ← S + 2 * f(a + i*h)
  Fin si
Fin pour
S_final ← h/3 * S
Afficher S_final

Exercices Complémentaires et Analyse de Convergence

Pour approfondir la compréhension des méthodes numériques et analyser leur efficacité, réalisez les exercices suivants :

Modifier l'algorithme des trapèzes pour pouvoir suivre la convergence en gardant les valeurs calculées de l'intégrale pour chaque valeur de `h` et en divisant la valeur de `h` à chaque itération par deux.
Faire un graphe de la valeur de l'intégrale en fonction des itérations.
Reproduire les mêmes modifications sur l'algorithme de la méthode de Simpson 1/3.
Comparer la convergence des deux méthodes. Conclure.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'intégration numérique ?

L'intégration numérique est un ensemble de techniques utilisées pour calculer la valeur approximative d'une intégrale définie. Elle est particulièrement utile lorsque l'intégrale n'a pas de solution analytique simple, ou lorsque la fonction est seulement connue par un ensemble de points discrets.

Pourquoi utiliser Matlab pour l'intégration numérique ?

Matlab est un environnement de calcul numérique puissant qui offre des outils et des fonctions intégrés pour l'implémentation rapide d'algorithmes mathématiques, y compris ceux d'intégration numérique. Sa syntaxe est intuitive pour les opérations matricielles et les boucles, ce qui facilite le prototypage et l'analyse.

Quelle est la différence principale entre la méthode des trapèzes et celle de Simpson 1/3 ?

La différence fondamentale réside dans la manière dont elles approximent la courbe de la fonction. La méthode des trapèzes utilise des segments de droite (des trapèzes) pour chaque sous-intervalle, tandis que la méthode de Simpson 1/3 utilise des paraboles. Cette approximation par paraboles rend la méthode de Simpson 1/3 généralement plus précise pour un même nombre d'intervalles, bien qu'elle nécessite un nombre pair de sous-intervalles pour être appliquée.