Ce document de Travaux Pratiques (TP) est conçu pour les étudiants de 2ème Année Technologie de l'Université A. Mira de Béjaia, dans le cadre du cours de MATH VI - Analyse Numérique. Il a pour objectif d'initier les étudiants à l'utilisation du logiciel MATLAB pour la résolution de problèmes en analyse numérique.
Il couvre les notions fondamentales suivantes :
- L'introduction au graphisme sous MATLAB (fonctions `fplot` et `plot`).
- La manipulation de fonctions et de signaux.
- La résolution numérique d'équations non linéaires, notamment par la méthode de Dichotomie.
Université A. Mira de Béjaia, Année 2012/2013
Faculté de Technologie – 2ème Année Technologie – MATH VI
Travaux Pratiques en Analyse Numérique avec MATLAB
Ce document présente des travaux pratiques axés sur l'analyse numérique et le graphisme sous MATLAB.
TP 01 : Introduction et Graphisme sous MATLAB
Ce TP explore les fonctions de traçage de graphiques de MATLAB, notamment fplot et plot, ainsi que la création de fonctions personnalisées et la recherche de racines.
a. La fonction fplot
- Utiliser la commande
fplotpour tracer la courbey = sin(x)sur une figure, dans l'intervalle[0, 2π]. - Sur la même figure, tracer les courbes
y = e^(2x-1)ety = x^2 + 3dans l'intervalle[0, 2]. Pour cet exercice, ne pas utiliser la commandehold onafin d'observer le comportement par défaut defplot.
Explication : La fonction fplot est particulièrement adaptée pour visualiser des fonctions mathématiques définies par une expression. Elle gère automatiquement le pas d'échantillonnage pour produire un graphique lisse sur l'intervalle spécifié.
b. La fonction plot
Considérons deux signaux : v(t) = 12 * sin(ωt + π/6) et i(t) = 5 * cos(ωt + π/3), où ω = 2πf et f = 50 Hz. En utilisant la commande plot :
- Tracer le signal
v(t)sur une figure, pour la période de temps[0, 20 ms]avec un pas d'échantillonnage de2 ms. - Comparer le rendu de cette figure à celle obtenue à la question (a1) pour comprendre l'impact des différentes méthodes de traçage et du pas d'échantillonnage.
- Retracer le signal
v(t)sur une nouvelle figure en utilisant un pas d'échantillonnage de0.1 ms. Observer les différences et conclure sur l'influence du pas sur la fidélité de la représentation. - Tracer le signal
i(t)sur une figure, pour la période de temps[0, 20 ms]avec un pas d'échantillonnage de0.1 ms. - Tracer les deux signaux
v(t)eti(t)sur la même figure en utilisant la commandehold on. - Ajouter un titre pertinent au graphique et nommer correctement les axes (par exemple, "Temps (ms)" et "Amplitude").
- Appliquer différents attributs visuels aux deux courbes (tels que couleurs distinctes, styles de ligne différents et marqueurs pour les points) pour les distinguer.
- Tracer les signaux
v(t)eti(t)l'un à côté de l'autre sur la même figure en utilisant la commandesubplot.
Explication : La fonction plot est utilisée pour tracer des séries de points discrets. Il est essentiel de choisir un pas d'échantillonnage adéquat pour représenter fidèlement les signaux. Les outils de personnalisation tels que hold on, title, xlabel, ylabel et subplot sont indispensables pour créer des graphiques clairs et informatifs.
c. Fonctions personnalisées et recherche de racines
Soit la fonction f(x) = x * e^(0.1x) définie sur R.
- Écrire une fonction MATLAB (fichier
.m) qui prend l'abscissexcomme argument et retourne la valeurf(x). - Utiliser la commande
fplotde MATLAB pour tracer le graphe de la fonctionf(x)dans l'intervalle[-1, 5]. - Localiser visuellement, à l'aide de ce graphe, le(s) passage(s) par zéro (racine(s)) de la fonction
f(x). - Utiliser la commande MATLAB
fzeropour trouver numériquement une racine de cette fonction (celle proche de zéro).
Explication : La création de fonctions personnalisées est fondamentale en programmation MATLAB. La visualisation graphique d'une fonction est une première étape cruciale pour l'analyse de son comportement, notamment pour estimer l'emplacement de ses racines avant d'appliquer des méthodes numériques précises comme fzero.
TP 2 : Résolution des Équations Non Linéaires : f(x) = 0
Ce TP est dédié à l'étude et à l'implémentation de la méthode de dichotomie pour résoudre des équations non linéaires.
2.1 Méthode de Dichotomie (ou Bissection)
Soit la fonction f(x) = x - 5 - 3 * e^x définie sur R.
- Écrire une fonction MATLAB (fichier
.m) qui reçoit l'abscissexcomme argument et retourne la valeurf(x). - Utiliser la commande
fplotde MATLAB pour tracer le graphe de la fonctionf(x)dans l'intervalle[-2, 6]. À l'aide de ce graphe, donner une première approximation des racines. - Utiliser la commande MATLAB
fzeropour trouver la racine positive de cette fonction. - Écrire un programme script MATLAB permettant de calculer une approximation de la racine positive de
f(x) = 0en utilisant la méthode de dichotomie. L'intervalle initial donné estI0 = [a0, b0] = [4, 6]. - Mettre en œuvre les deux critères d'arrêt suivants dans votre programme :
- Imposer un nombre maximal d'itérations :
nitermax = 50. - Définir l'erreur absolue
e_k = |x_k - x_{k-1}|(oùx_kest la solution approchée à l'itérationk, pourk ≥ 1). Arrêter les calculs lorsquee_k ≤ ε, avec une toléranceε = 10^-6.
- Imposer un nombre maximal d'itérations :
- Tracer sur un graphe l'erreur absolue
e_k = |x_k - x_{k-1}|en fonction du nombre d'itérationsk.
Préparation théorique
- Décrire le principe de la méthode de dichotomie et les conditions de son application.
- Écrire un programme script MATLAB implémentant la méthode de la bissection de manière générique.
- Calculer le nombre maximal d'itérations nécessaire pour évaluer une racine de
f(x)avec une précision de10^-9en utilisant la méthode de dichotomie, en partant de l'intervalle initial[4, 6].
Explication : La méthode de dichotomie, ou méthode de la bissection, est un algorithme de recherche de racine robuste et garantissant la convergence pour les fonctions continues changeant de signe sur un intervalle donné. Bien que parfois plus lente que d'autres méthodes, sa fiabilité en fait un outil fondamental en analyse numérique.
Foire Aux Questions (FAQ)
Q1: Quelle est la différence principale entre fplot et plot dans MATLAB ?
R1: La fonction fplot est optimisée pour tracer des expressions de fonctions mathématiques sur un intervalle en adaptant automatiquement le pas d'échantillonnage. La fonction plot, en revanche, est utilisée pour tracer des ensembles de points discrets, nécessitant que l'utilisateur fournisse explicitement les vecteurs de coordonnées X et Y à tracer.
Q2: Pourquoi le choix du pas d'échantillonnage est-il important en visualisation de signaux ?
R2: Le pas d'échantillonnage détermine la finesse et la précision de la représentation graphique d'un signal. Un pas trop grand peut conduire à une perte d'information (sous-échantillonnage) et masquer des caractéristiques importantes du signal, tandis qu'un pas trop petit peut générer des fichiers de données volumineux et ralentir les calculs sans nécessairement apporter une clarté visuelle supplémentaire.
Q3: Quel est le principe de la méthode de dichotomie et dans quels cas l'utilise-t-on ?
R3: La méthode de dichotomie (ou bissection) est un algorithme itératif pour trouver les racines d'une fonction continue sur un intervalle [a, b] où la fonction change de signe. Le principe est de diviser l'intervalle en deux à chaque itération et de sélectionner la moitié dans laquelle la fonction continue de changer de signe. Cette méthode est utilisée lorsqu'une convergence garantie vers une racine est primordiale, même si d'autres méthodes peuvent être plus rapides. Elle est fiable, mais sa vitesse de convergence est relativement lente.