Ce document constitue une série de Travaux Dirigés (TD) en Mécanique des Fluides, spécifiquement conçue pour les étudiants universitaires du Département de Physique. Son objectif est de permettre l'application des principes fondamentaux de la dynamique des fluides à travers des problèmes variés.
Il couvre les notions et applications suivantes :
- L'étude des siphons et écoulements à travers des orifices.
- L'analyse des conduites et rétrécissements.
- Les interactions de jets de fluide sur des plaques.
- L'application des lois de conservation (débit) et du théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits et incompressibles.
Mécanique des Fluides : Série n°4 travaux diriges de mecanique des fluides
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Travaux Dirigés de Mécanique des Fluides (2009-2010)
Exercice 1 : Siphon
Pour vider l’eau d’un réservoir de section SR, on utilise un siphon formé d’un tube coudé de section intérieure S (avec S < SR), terminé par un embout de section s.
On suppose que l’eau est un fluide parfait, incompressible et que l’écoulement est permanent. Ces hypothèses simplifient l'analyse en négligeant les forces de frottement et les variations de densité, rendant applicables les principes de la mécanique des fluides pour les fluides idéaux.
La pression atmosphérique est P0 = 1 bar. On donne :
S = 7 cm2, s = 5 cm2, zA = zB = zD = 3,2 m, zC = 4,2 m, zE = zF = 0, g = 9,8 m/s2, masse volumique de l’eau ρ = 103 kg/m3.
1°/ Calculer la vitesse d’écoulement en F à l’extrémité de l’embout.
2°/ Calculer le débit volumique du siphon.
3°/ Calculer la vitesse d’écoulement en B. Déduire la pression en B et la comparer à la pression en A.
4°/ Déterminer la pression en C et déduire la condition pour que le siphon puisse fonctionner.
Exercice 2 : Orifice dans un réservoir
Un réservoir cylindrique de rayon R, rempli jusqu’à une hauteur H d’eau, est percé d’un trou circulaire de rayon r (avec r << R) dont le centre se trouve à une distance h du niveau supérieur de l’eau. Cette condition, r << R, implique que la vitesse de descente du niveau d'eau dans le réservoir est négligeable par rapport à la vitesse de sortie à l'orifice.
L’eau est considérée comme un fluide parfait, incompressible, de masse volumique ρ. Le niveau d’eau est maintenu constant grâce à une alimentation permanente.
1°/ Calculer la vitesse horizontale V0 de l’eau à la sortie de l’orifice.
2°/ Établir les lois horaires (x(t), y(t)) du mouvement d’une particule fluide entre la sortie de l’orifice et son impact au point P sur le plan horizontal.
3°/ Établir l’équation de la trajectoire de la particule fluide entre sa sortie et son impact sur le plan horizontal au point P.
4°/ En déduire l’expression de la distance L = OP (où O est l’origine du repère).
5°/ Étudier les variations de la distance L en fonction de h et tracer la courbe L(h). Pour quelle valeur de h la longueur L prend-elle sa valeur maximale ?
Exercice 3 : Conduite et tube fin
Une conduite cylindrique de section circulaire de diamètre D et d’axe horizontal est raccordée à un tube fin de même axe et de diamètre d < D, ouvert vers l’extérieur.
La conduite est fermée par un piston (C) de masse négligeable, se déplaçant sans frottement. Elle est remplie d’un liquide parfait de masse volumique ρ constante.
Sous l’action d’une force F exercée par un opérateur extérieur, le piston se déplace très lentement avec une vitesse constante V dans le sens du vecteur unitaire u, tandis que le liquide sort du tube avec une vitesse v (lignes de courant parallèles à l’axe de la conduite).
On désigne par P la pression dans la conduite et par P0 la pression dans le tube fin (égale à la pression extérieure). On pose ΔP = P – P0.
1°/ Par application de la loi de conservation du débit, établir une relation entre V, v, D et d.
2°/ En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer ΔP en fonction de ρ, v, D et d.
3°/ En déduire la force que l’opérateur exerce sur le piston.
4°/ En supposant que d << D, donner la vitesse de l’écoulement v à la sortie du tube en fonction de ρ et ΔP.
5°/ On place la conduite en position verticale et on enlève le piston (C). Calculer la vitesse de sortie du liquide et indiquer pour quelle hauteur h du liquide par rapport à l’extrémité inférieure du tube, la nouvelle vitesse de sortie v sera la même que celle calculée à la question 4.
Exercice 4 : Conduite avec rétrécissement
Une conduite cylindrique horizontale de diamètre D = 25 cm est parcourue par un écoulement d’eau à vitesse uniforme VA. Elle présente un rétrécissement raccordant une deuxième conduite cylindrique de diamètre d = 7,5 cm.
Les extrémités d’un tube en U contenant du mercure sont reliées aux deux conduites. Ce dispositif permet de mesurer directement la différence de pression entre les deux sections de la conduite. On donne X0 = 20 cm (dénivellation entre les surfaces de séparation eau-mercure).
1°/ Calculer la différence de pression entre les points A et B.
2°/ Calculer la vitesse de sortie VB et en déduire le débit volumique d’eau dans la conduite.
On donne : ρeau = 103 kg/m3, ρHg = 13,6 × 103 kg/m3, g = 9,8 m/s2.
Exercice 5 : Jet de fluide sur une plaque plane
Un jet de fluide, incompressible et parfait, est envoyé sur une plaque plane avec une vitesse v, un débit massique Dm et un angle d’incidence α. L’écoulement est permanent dans un référentiel orthonormé (ze, xe, ye), où ze est normal à la plaque et xe est dans le plan d’incidence.
Lors de l’impact, le jet se sépare en deux jets unidimensionnels dont les vitesses sont tangentes à la plaque. On néglige l’influence de la pesanteur et on suppose que le jet et la plaque sont soumis à la pression atmosphérique, ce qui simplifie l'analyse des forces.
Déterminer :
1°/ Les vitesses v1 et v2 des jets émergeants.
2°/ Leurs débits massiques Dm1 et Dm2.
3°/ La force de poussée F exercée par le jet sur la plaque, définie comme opposée à la force supplémentaire F0 appliquée pour maintenir la plaque immobile.
Foire Aux Questions (FAQ)
Q : Qu’est-ce qu’un fluide parfait en mécanique des fluides ?
R : Un fluide parfait est un modèle théorique supposé sans viscosité et incompressible, où l’écoulement est idéalisé pour simplifier les calculs, notamment dans les applications du théorème de Bernoulli.
Q : Comment appliquer le théorème de Bernoulli dans ces exercices ?
R : Le théorème de Bernoulli relie la pression, la vitesse et l’altitude d’un fluide en écoulement permanent. Il s’écrit : P + ½ρv2 + ρgz = constante, où P est la pression, v la vitesse, z l’altitude et ρ la masse volumique. Il est généralement appliqué le long d'une ligne de courant entre deux points du fluide.
Q : Pourquoi la pression en C est-elle cruciale pour le fonctionnement du siphon ?
R : La pression en C doit rester supérieure à la pression de vapeur du liquide (et inférieure à la pression atmosphérique ambiante) pour éviter la cavitation (formation de bulles de vapeur) et permettre un écoulement continu. Si elle descend trop bas, le liquide se vaporise et le siphon cesse de fonctionner.