Ce document, conçu pour les étudiants universitaires en mécanique des fluides, propose une exploration des principes fondamentaux des écoulements en canal ouvert.
Il couvre les notions suivantes :
- La mesure du débit volumique et l'application du théorème de Bernoulli.
- L'analyse des régimes d'écoulement (torrentiel, fluvial) et la caractérisation par le nombre de Froude.
- Les concepts de hauteur et vitesse critiques, ainsi que la génération d'ondes de ressaut.
Ces éléments sont essentiels pour comprendre la dynamique des fluides réels.
Mécanique des Fluides : Problème b ecoulement d’eau dans un canal rectiligne
Télécharger PDFB.1 Mesure de débit
Considérons un canal horizontal à section rectangulaire de côté L = 4 m, parcouru par de l'eau, de masse volumique ρ, avec une vitesse v uniforme et constante sur toute la section droite du canal. La hauteur de l'eau est notée h, supposée constante dans un premier temps.
B.1.a Équation locale de conservation de la masse
L’équation locale de conservation de la masse pour un fluide quelconque s’écrit :
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0.
B.1.b Champ de vitesse et débit volumique
Dans le cas d’un fluide parfait et incompressible (comme l’eau dans ce problème), le champ de vitesse est irrotationnel et laminaire (sans turbulence). Le débit volumique Q est constant le long du canal, car il n’y a ni source ni puits de fluide.
B.1.c Expression du débit volumique
Le débit volumique Q s’exprime comme le produit de la vitesse v par la section transversale du canal :
Q = v × (L × h).
B.1.d Théorème de Bernoulli
Le théorème de Bernoulli énonce que pour un fluide parfait, incompressible et en écoulement permanent dans un canal horizontal, la somme de la pression, de l’énergie cinétique par unité de volume et de l’énergie potentielle par unité de volume est constante le long d’une ligne de courant. En l’absence de pertes de charge, il s’écrit :
p + ρgh + ½ρv² = constante,
où p est la pression, ρ la masse volumique, g l’accélération de la pesanteur et h la hauteur.
B.1.e Vitesse v en fonction de z et g
En appliquant le théorème de Bernoulli entre la surface libre du canal et le tube de verre, où la pression est la même (pression atmosphérique), on obtient :
v = √(2gz).
B.1.f Calcul numérique du débit volumique
Avec z = 10 cm = 0,1 m, h = 3 m, g = 10 m·s⁻² et L = 4 m, la vitesse v vaut :
v = √(2 × 10 × 0,1) = √2 ≈ 1,41 m·s⁻¹.
Le débit volumique Q est alors :
Q = v × (L × h) = 1,41 × (4 × 3) ≈ 16,92 m³·s⁻¹.
B.2 Régimes d’écoulement dans le canal
La hauteur h de l’eau circulant dans le canal n’est désormais plus constante.
B.2.a Constante de la quantité e
La quantité e = gh + v²/2 est constante le long du canal. Cela découle directement du théorème de Bernoulli, où la pression p est la même partout (pression atmosphérique) et où l’écoulement est permanent.
B.2.b Signification physique de e
La quantité e représente l’énergie mécanique totale par unité de masse du fluide, composée de l’énergie potentielle gravitationnelle et de l’énergie cinétique. Avec les valeurs de B.1.f, on a :
e = 10 × 3 + (1,41)²/2 ≈ 30 + 1 ≈ 31 m²·s⁻².
B.2.c Expression du débit Q en fonction de L, h, e et g
En utilisant le théorème de Bernoulli et la conservation du débit volumique, on exprime Q comme :
Q = L × h × √(2g(e - gh)).
B.2.d Courbe du débit en fonction de h
La courbe du débit volumique Q en fonction de la hauteur h présente une forme caractéristique : pour un débit donné, il existe deux hauteurs possibles, hT (torrentielle) et hF (fluviale), avec hT < hF. Cela illustre la notion de profondeurs conjuguées en hydraulique, c'est-à-dire les deux hauteurs d'eau différentes qui peuvent exister pour un même débit spécifique.
B.2.e Hauteur critique hc pour un débit maximal
La hauteur critique hc correspond au débit maximal et s’exprime par :
hc = e/g.
Avec e ≈ 31 m²·s⁻² et g = 10 m·s⁻², on obtient :
hc ≈ 3,1 m.
B.2.f Vitesse critique vc pour h = hc
La vitesse critique vc est donnée par :
vc = √(g × hc).
Avec hc ≈ 3,1 m, on a :
vc ≈ √(10 × 3,1) ≈ √31 ≈ 5,57 m·s⁻¹.
B.2.g Caractérisation des régimes d’écoulement
Les deux hauteurs hT et hF correspondent à deux régimes distincts :
- Régime torrentiel (ou rapide) : la vitesse du courant est élevée, et le nombre de Froude Fr = v/√(gh) est supérieur à 1. Le fluide est énergétique, et l’écoulement est instable.
- Régime fluvial (ou lent) : la vitesse du courant est faible, et le nombre de Froude est inférieur à 1. Le fluide est plus calme, et l’écoulement est stable.
Le passage d’un régime à l’autre se fait par un ressaut hydraulique.
B.3 Génération d’une onde de ressaut
À un instant donné, le canal est obturé par une paroi verticale. Une vague remonte alors le canal à la vitesse w mesurée dans le référentiel terrestre. La hauteur d’eau en amont du ressaut est h, et la vitesse du courant est v. En aval du ressaut, la hauteur d’eau est h’ constante.
FAQ
Voici quelques questions fréquemment posées pour approfondir votre compréhension de la mécanique des fluides.
1. Qu’est-ce qu’un fluide parfait et incompressible ?
Un fluide parfait est un fluide sans viscosité ni frottement interne, tandis qu’un fluide incompressible a un volume constant malgré les variations de pression. Ces hypothèses simplifient les calculs en hydraulique.
2. Pourquoi le débit volumique est-il constant dans un canal horizontal ?
Le débit volumique est constant car il n’y a ni accumulation ni perte de masse dans le canal, conformément à l’équation de conservation de la masse et aux conditions d’écoulement permanent.
3. Que représente le nombre de Froude ?
Le nombre de Froude Fr = v/√(gh) est un critère sans dimension qui permet de distinguer les régimes d’écoulement : torrentiel (Fr > 1) ou fluvial (Fr < 1). Il compare l’énergie cinétique à l’énergie potentielle gravitationnelle.