Électronique numérique : Problèmes de logique combinatoire
Télécharger PDFExercice 1 : Serrure d’un coffre
Quatre responsables d’une société (A, B, C et D) peuvent avoir accès à un coffre. Ils possèdent chacun une clé différente (a, b, c et d) et il a été convenu que :
- A ne peut ouvrir le coffre que si au moins un des responsables B ou C est présent, soit S = a ∧ (b ∨ c).
- B, C et D ne peuvent ouvrir le coffre que si au moins deux des autres responsables sont présents, soit :
- Pour B : S = b ∧ [(a ∨ c) ∧ (a ∨ d) ∧ (c ∨ d)]
- Pour C : S = c ∧ [(a ∨ b) ∧ (a ∨ d) ∧ (b ∨ d)]
- Pour D : S = d ∧ [(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c)]
Exercice 2 : Amplification sonore
Les trois haut-parleurs (a, b et c) peuvent être branchés sur un amplificateur avec deux sorties : S4 (4 Ω) et S8 (8 Ω).
- Pour la sortie S8 (8 Ω) : S8 = (a ∨ b ∨ c) ∧ ¬(a ∧ b ∧ c) (un seul haut-parleur utilisé).
- Pour la sortie S4 (4 Ω) : S4 = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c) (deux ou trois haut-parleurs utilisés, mais interdiction des trois simultanément).
Exercice 3 : Circuit de vote
Quatre délégués (a = 100 voix, b = 150 voix, c = 250 voix, d = 175 voix) votent pour une proposition. La proposition est acceptée si elle recueille au moins 50 % des voix (soit 675 voix minimum).
L’équation logique est : S = (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ d) ∨ (a ∧ c ∧ d) ∨ (b ∧ c ∧ d) ∨ (a ∧ b ∧ c ∧ d).
Exercice 4 : Éclairage d’une cage d’escalier
Trois interrupteurs (a1, a2, a3) commandent trois lampes montées en parallèle. La fonction logique L est active (1) si un nombre impair d’interrupteurs est activé.
Table de vérité :
| a1 | a2 | a3 | L |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
L’équation logique simplifiée est : L = a1 ⊕ a2 ⊕ a3 (ou équivalent : L = (a1 ∨ a2 ∨ a3) ∧ ¬(a1 ∧ a2 ∧ a3) ∧ ¬(a1 ∧ a2 ∧ ¬a3) ∧ ¬(a1 ∧ ¬a2 ∧ a3) ∧ ¬(¬a1 ∧ a2 ∧ a3)).
Exercice 5 : Détecteur de coïncidence
Pour détecter la coïncidence entre trois valeurs binaires (a, b, c) et (x, y, z), la fonction logique est :
F = (a ∧ x) ∧ (b ∧ y) ∧ (c ∧ z).
Exercice 6 : Démarrage de deux moteurs
Trois interrupteurs (I1, I2, I3) commandent deux moteurs (M1, M2) selon les règles suivantes :
- Moteur M1 : M1 = (I1 ∧ I2) ∨ (I1 ∧ I3) ∨ (I2 ∧ I3) (au moins deux interrupteurs fermés).
- Moteur M2 : M2 = I1 ∨ I2 ∨ I3 (dès qu’un ou plusieurs interrupteurs sont activés).
Exercice 7 : Distributeur de boissons chaudes
Trois boutons (café, thé, lait) et un jeton (J) commandent les fonctions suivantes :
- Restitution du jeton (J) : J = (café ∧ thé) ∨ (café ∧ ¬lait ∧ ¬thé) ∨ (thé ∧ ¬lait ∧ ¬café) ∨ (lait ∧ ¬café ∧ ¬thé).
- Distribution du café (C) : C = café ∧ J ∧ ¬(thé ∨ lait).
- Distribution du thé (T) : T = thé ∧ J ∧ ¬(café ∨ lait).
- Distribution du lait (L) : L = lait ∧ J ∧ ¬(café ∨ thé).
Exercice 8 : Contrôle de qualité des briques
Quatre critères (P, E, L, W) définissent la qualité des briques :
- Qualité A : A = P ∧ [(E ∧ L) ∨ (E ∧ W) ∨ (L ∧ W) ∨ (E ∧ L ∧ W)].
- Qualité B : B = (¬P ∧ E ∧ L ∧ W) ∨ (P ∧ [(¬E ∧ ¬L) ∨ (¬E ∧ ¬W) ∨ (¬L ∧ ¬W)]).
- Qualité C (ou Refus R) : C = ¬A ∧ ¬B.
FAQ
1. Comment simplifier une équation logique ?
Utilisez des tables de vérité ou les lois algébriques de Boolean (comme l’absorption, la distributivité ou la simplification de termes complémentaires) pour réduire les expressions.
2. Que signifie un "1" ou un "0" dans ces équations ?
Un "1" indique que la condition est remplie (correcte), tandis qu’un "0" signifie qu’elle ne l’est pas (incorrecte).
3. Pourquoi la sortie S8 est-elle limitée à un seul haut-parleur ?
La sortie S8 (8 Ω) est conçue pour une impédance plus élevée, adaptée à un seul haut-parleur. Deux haut-parleurs en parallèle réduisent l’impédance totale, nécessitant la sortie S4 (4 Ω).