Magnétostatique : Exercices circuits magnetiques
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Exercice 1 : Champ magnétique créé par un fil rectiligne
Soit un fil rectiligne AB de longueur finie parcouru par un courant d’intensité I.
1. Calculer le champ magnétique créé en un point M situé à la distance a du fil en fonction des angles α1 et α2 sous lesquels on voit les extrémités du fil.
2. En déduire les expressions du champ magnétique et du potentiel vecteur créés par un fil rectiligne indéfini en un point situé à la même distance a du fil.
Exercice 2 : Champ magnétique créé par une spire circulaire et un solénoïde
1. Soit une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant d’intensité I. Calculer le champ magnétique créé en un point de l’axe de la spire. En déduire le champ magnétique créé au centre d’une bobine plate de N spires.
2. On considère un solénoïde de longueur L comportant N spires jointives ayant le même rayon R régulièrement réparties et parcourues par le courant I.
a. Déterminer le champ magnétique créé en un point quelconque de l’axe X du solénoïde en fonction des demi-angles θ1 et θ2 sous lesquels on voit les faces terminales du solénoïde.
b. Examiner le cas d’un solénoïde infiniment long (L >> R).
c. Retrouver ce résultat par application du théorème d’Ampère.
Exercice 3 : Champ magnétique dans un câble conducteur cylindrique inhomogène
On considère un câble conducteur cylindrique d’axe z’z, de rayon R et dont la longueur est très grande devant R. Le cylindre étant inhomogène, la densité de courant j n’est pas uniforme et a, en un point M du cylindre de coordonnée r < R, pour expression :
j(r) = j0 (1 - (r/R)2), où j0 est une constante positive.
1. À l’aide de l’analyse des symétries de la distribution des courants et du théorème d’Ampère, calculer le champ d’excitation magnétique H⃗. On vérifiera alors que les relations de passage sont satisfaites.
2. Retrouver le résultat à l’aide de la relation locale et des relations de passage.
Exercice 4 : Force de Laplace et flux magnétique
Considérons un fil conducteur illimité z’z, parcouru par un courant constant I. Ce fil crée en un point M de l’espace, qui se projette orthogonalement en K sur l’axe z’z, le champ magnétique B.
Une portion de fil CD de longueur l est disposée suivant un axe Ox perpendiculaire en O à z’z de sorte que OC = c, OD = c + l. La portion CD appartient à un circuit parcouru par un courant constant d’intensité i dans le sens D → C.
1. Calculer la force élémentaire de Laplace dF exercée sur un élément dx du fil CD. En déduire la force F exercée par le fil infini sur le fil CD.
2. Calculer, avec la convention de signe habituelle, le flux magnétique extérieur ΦC coupé par CD lorsque l’on déplace le circuit auquel ce segment appartient, de façon que CD subisse, à courants constants, une translation ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = z⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (z < 0) parallèle à l’axe z’z.
3. Utiliser ΦC pour trouver la mesure algébrique Fz suivant z’z de la projection orthogonale sur cet axe de la force F.
Exercice 5 : Conversion électromécanique avec rails parallèles et tige métallique
On considère deux rails parallèles et horizontaux distants de l = 25 cm baignant dans un champ magnétique B uniforme vertical dirigé vers le haut (B = 0,5 T). Une tige métallique AA′ peut glisser sans frottement sur les rails et sa résistance r entre deux rails vaut 0,5 Ω.
1) Calculer la force électromagnétique, l’intensité du courant et la différence de potentiel entre A et A′ dans les trois cas suivants :
a) (K) en 1 et tige immobile.
b) (K) en 2 et tige ayant une vitesse v = 10 m/s.
c) (K) en 3 et tige ayant une vitesse v = 10 m/s.
2) L’interrupteur (K) étant en 1, la tige AA′ a une vitesse constante et imposée v. Déterminer la relation I(v) entre le courant I traversant le circuit et la vitesse v. Tracer la courbe représentative. Calculer I pour v1 = 10 m/s et v2 = 22 m/s.
3) Pour les mêmes valeurs de v, donner le sens et la valeur de la force qu’un opérateur doit exercer sur la tige pour maintenir la vitesse constante.
Exercice 6 : Réalisation d’une inductance avec un circuit magnétique
On bobine N = 100 spires de fil de cuivre sur un circuit magnétique en fer de perméabilité magnétique relative μr = 528,6.
1) Calculer la valeur en m2 de la surface d’une section droite du circuit magnétique au milieu d’un des barreaux horizontaux ou verticaux.
2) En considérant cette section constante le long du parcours moyen, calculer la réluctance ℛfer du fer du circuit magnétique.
3) Calculer la réluctance ℛair de la tranche d’air que constitue l’entrefer.
4) Calculer alors la réluctance totale ℛtotal que représente le circuit magnétique.
5) En déduire la valeur de l’inductance que représentent les 100 spires bobinées sur ce circuit magnétique.
6) Calculer la valeur de l’induction maximale produite dans le fer lorsque l’inductance est sous la tension V(t) = 230√2 sin(2π·50t). Quelle serait cette valeur si on avait choisi de ne bobiner que 10 spires ? Comment interpréter ce dernier résultat ?
7) Calculer la valeur du courant efficace I absorbé par l’inductance formée par les 100 spires sous la tension V(t) = 230√2 sin(2π·50t). En déduire la section minimale des conducteurs permettant de ne pas dépasser une densité de courant de 5 A/mm2.
Exercice 7 : Circuits couplés et inductance de fuite
On s’intéresse à un circuit magnétique sur lequel sont bobinés deux enroulements de fil de cuivre. Les réluctances des tronçons sont notées R1, R2 et R3. Le tronçon 3 représente les fuites du bobinage 1.
1) Représenter le schéma équivalent (en analogie avec un circuit électrique) de ce circuit magnétique.
2) Écrire la relation reliant Φ1, Φ2 et Φ3.
3) En considérant que le bobinage 2 est ouvert (i2 = 0), calculer l’expression littérale du flux Φ2.
4) Calculer également l’expression littérale du flux Φ3.
5) Calculer l’expression de l’inductance mutuelle M du bobinage 1 sur le bobinage 2.
6) Calculer également l’expression de l’inductance Lf qui représente le facteur de proportionnalité entre le flux Φ3 et le courant i1.
7) En utilisant la loi de Lenz, montrer qu’il est possible de ramener cette inductance en série avec un circuit magnétique plus simple.
8) Calculer l’inductance L que représente le circuit magnétique vu du bobinage 1 et la valeur du rapport V'1/V1 = m. Représenter un schéma équivalent du circuit total. Comment s’appelle le dispositif étudié dans cet exercice ?
Exercice 8 : Circuit magnétique non linéaire : électroaimant
On considère un électroaimant réalisé en acier moulé avec une caractéristique d’aimantation fournie.
1) La partie mobile étant en contact avec la partie fixe, on désire créer un flux Φ = 2·10-3 Wb. Calculer la valeur de l’induction B correspondante. En déduire la valeur du champ d’excitation magnétique et la valeur du nombre minimal de spires permettant d’obtenir ce flux si le courant I est limité à 20 A par le générateur.
2) La partie mobile est à présent décollée de la partie fixe d’un entrefer e = 1 mm. Calculer le courant nécessaire à l’établissement d’un flux Φ = 2·10-3 Wb. Calculer alors le nombre de spires réellement nécessaires pour imposer ce flux.
3) Représenter la courbe sans échelle Φ = f(NI) pour l’entrefer seul et pour le circuit en acier moulé seul. En déduire une représentation sans échelle de Φ = f(NI) pour le circuit magnétique total. Commenter.
FAQ
1. Qu’est-ce que le théorème d’Ampère et comment l’appliquer ?
Le théorème d’Ampère permet de calculer le champ magnétique créé par des courants électriques. Il stipule que la circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé est égale à la somme des courants traversant ce contour multipliée par la perméabilité magnétique. Pour l’appliquer, il faut choisir un contour adapté à la symétrie du problème.
2. Pourquoi le champ magnétique à l’extérieur d’un solénoïde est-il nul ?
Le champ magnétique à l’extérieur d’un solénoïde est nul en raison de la symétrie cylindrique et de l’application du théorème d’Ampère. Aucun courant ne traverse la surface délimitée par le contour choisi à l’extérieur du solénoïde, ce qui implique que la circulation du champ magnétique est nulle.
3. Comment interpréter la saturation magnétique dans un circuit ?
La saturation magnétique survient lorsque l’induction magnétique dans le matériau atteint une valeur maximale, au-delà de laquelle le champ magnétique ne varie plus significativement avec le courant. Cela limite la capacité du circuit à stocker de l’énergie magnétique et peut entraîner une non-linéarité dans les relations entre courant et flux.