Controle mecanique du solide - Télécharger pdf

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Université Abdelmalek Essâadi

Faculté des Sciences de Tétouan

Département de Physique

Professeur A. Djebli

Année : 2011/2012

Filière Sciences de la Matière Physique (SMP)

Contrôle N°1 de Mécanique du Solide

Durée : 1h

I. Première partie : Statique des Solides et Torseurs

Soit R(O, X, Y, Z) un repère de référence, où O est l'origine et (X, Y, Z) les vecteurs unitaires de ses axes.

Les points A, B et C sont donnés par leurs coordonnées dans ce repère : A(2,1,3), B(1,1,5), C(0,2,0).

On considère trois glisseurs T₁, T₂ et T₃ définis comme suit :

T₁ = (A, R₁) avec R₁ = (0, m, 2m)
T₂ = (B, R₂) avec R₂ = (3, m, m)
T₃ = (C, R₃) avec R₃ = (1, -m, 2)

où m est un paramètre réel (m ∈ ℝ).

1. Expression du torseur somme

Exprimer le torseur (R, M), somme de T₁, T₂ et T₃, au point O (origine du repère R).

2. Condition pour qu'un torseur soit un glisseur

Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que le torseur (R, M) soit un glisseur ? Donner l'expression de (R, M) pour chacune des valeurs de m qui satisfont cette condition.

Explication : Un torseur est qualifié de glisseur si son invariant scalaire est nul, c'est-à-dire si le produit scalaire de sa résultante R et de son moment M en un point quelconque est nul (R · M = 0).

3. Détermination de l'axe central

Déterminer l'axe central Δ du torseur (R, M) pour la plus petite des valeurs de m trouvées précédemment, et donner sa représentation graphique.

Clarification : L'axe central est la ligne géométrique où le moment du torseur est parallèle à sa résultante, ou encore le lieu des points où le moment est minimal en norme.

4. Calcul du comoment de deux torseurs

Soit (R', M') un torseur dont les éléments de réduction au point A sont donnés par : R'(1,0,1) et M'(1,0,0).

Calculer le comoment des torseurs (R, M) et (R', M').

Définition : Le comoment de deux torseurs (R,M) et (R',M') est un invariant scalaire calculé comme R · M' + R' · M, à condition que les deux torseurs soient réduits au même point. Il représente la puissance virtuelle mutuelle des deux systèmes.

II. Deuxième partie : Cinématique du Solide

Soit R₀(O, x₀, y₀, z₀) un repère de référence orthonormé direct.

On considère un solide S formé d'un disque D(B,a) de centre B et de rayon a, et d'une tige T = (AB) de longueur a.

Le solide S est mobile de telle sorte que le vecteur OA = a z₀ (où z₀ est le vecteur unitaire de l'axe Z du repère R₀) et que le vecteur AB est orthogonal à z₀ (AB · z₀ = 0).

Soit P un point situé sur la circonférence du disque D(B,a).

On définit un repère orthonormé direct R₁(A, x₁, y₁, z₁) tel que x₁ = AB/a et y₁ = BP/a. On définit également un repère orthonormé direct intermédiaire R₂.

La figure 1, souvent essentielle pour comprendre les configurations cinématiques, n'est pas fournie dans l'énoncé.

1. Paramètres de position et torseur des vitesses

Définir les paramètres de position du solide S par rapport au repère de référence R₀. Ensuite, donner le torseur des vitesses (S/R₀) du solide S par rapport à R₀, exprimé au point A.

2. Vecteurs vitesse et accélération du point P

Déterminer, en fonction des vecteurs de la base associée au repère R₂, les vecteurs vitesse V(P/R₀) et accélération A(P/R₀) du point P par rapport au repère de référence R₀.

3. Vitesse de glissement

Calculer la vitesse de glissement V(S/F) où F représente le plan matériel (O, x₀, y₀) et I est le point de contact supposé permanent de S et F.

Rappel : La vitesse de glissement d'un solide S par rapport à une surface F, au point de contact I, est la vitesse relative V(I ∈ S / R₀) - V(I ∈ F / R₀). Elle est nulle en cas de roulement sans glissement.

Foire Aux Questions (FAQ) sur les Torseurs et la Cinématique

Qu'est-ce qu'un torseur en mécanique ?

Un torseur est un outil mathématique vectoriel utilisé en mécanique pour représenter de manière synthétique des actions mécaniques (forces et moments) ou des mouvements (vitesses et rotations) agissant sur un solide. Il est défini par une résultante vectorielle et un moment vectoriel dépendant du point de réduction choisi, mais liés par une formule de transport.

Quelle est la spécificité d'un torseur glisseur et comment trouver son axe central ?

Un torseur est dit "glisseur" lorsque son invariant scalaire (produit scalaire de sa résultante et de son moment, R · M) est nul. Cela signifie que la résultante et le moment sont orthogonaux ou que le moment est nul. Un glisseur possède un axe central unique, qui est la droite support de la résultante, le long de laquelle le moment est également nul.

À quoi sert le torseur des vitesses en cinématique du solide ?

Le torseur des vitesses est essentiel en cinématique du solide. Il caractérise complètement le mouvement instantané d'un solide. Ses éléments de réduction sont le vecteur taux de rotation instantané (ou vitesse angulaire) du solide et le vecteur vitesse d'un point spécifique du solide. Il permet de calculer la vitesse de n'importe quel autre point du solide par une formule simple de transport, rendant l'analyse des mouvements complexes plus aisée.