Ce document pédagogique, conçu pour les étudiants universitaires en mécanique du solide, offre une série d'exercices pratiques visant à consolider les concepts fondamentaux de la discipline.
Il couvre principalement les notions suivantes :
- Les bases du calcul vectoriel et l'algèbre des vecteurs.
- L'analyse approfondie des torseurs (glisseurs, couples, éléments de réduction et axes centraux).
- La cinématique des solides, incluant la composition des vitesses et des accélérations, ainsi que l'étude des liaisons mécaniques (pivot, glissière) et du roulement sans glissement.
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Série 1
Exercice 1
Soient les vecteurs ä et b. Montrer que si ä ⋅ b = 0 et ä ≠ &vec;0, alors x = b + λä, où λ ∈ ℝ, est l'unique solution de l'équation vectorielle ä ∧ x = b (division vectorielle). Notez que ä ∧ (b ∧ c) = (ä ⋅ c)b - (ä ⋅ b)c.
Exercice 2
Dans un repère orthonormé direct R(O, üx, üy, üz), on considère le champ de vecteurs V(P) dont les composantes sont définies en fonction des coordonnées (x, y, z) de P par :
- Vx(P) : (Cette composante est manquante dans l'énoncé original, elle pourrait être nulle ou indéterminée pour cet exercice)
- Vy(P) = 3y - tz + 1
- Vz(P) = -3x + 2tz
- Calculer V(P) au point O.
- Pour quelles valeurs de t ce champ est-il équiprojectif ou antisymétrique ?
- Déterminer les torseurs (T0) et (T2) associés aux champs V(P) pour t=0 et t=2 par leurs éléments de réduction en O.
- Décomposer le torseur (T) associé à V(P) en une somme d'un couple et d'un glisseur dont on indiquera les éléments de réduction.
- Déterminer la position de l'axe central des torseurs (T0) et (T2), pour t=0 et t=2.
- Déterminer le torseur (T) = (T0) + (T2) et sa nature.
- Montrer que (T2) est un glisseur.
- En déduire que la somme de deux glisseurs n'est pas, en général, un glisseur.
Exercice 3
Dans un repère R(O, üx, üy, üz), on considère les trois glisseurs définis par les trois vecteurs liés :
- V1 = (1, 0, -1) d'origine A(1, 0, 0) = A1
- V2 = (1, 2, 2) d'origine B(0, 1, 0) = A2
- V3 = (λ, µ, ν) d'origine C(0, 0, 1) = A3
Et soit (T) = Σi=1,2,3 (Ai, Vi) la somme des trois glisseurs.
- Déterminer (λ, µ, ν) pour que (T) soit un couple et trouver son moment en O.
- Déterminer la relation f(λ, µ, ν) pour que (T) soit un glisseur.
- Dans le cas où (λ, µ, ν) = (-2, 0, -1), trouver les équations de l'axe central de (T). Que peut-on dire de la direction de l'axe central ?
Série 2 - Cinématique des Solides
Exercice 1
Le solide S1 est en translation, liaison glissière, de direction üx par rapport au bâti S0. Le solide S2 est en rotation d'un angle α(t), liaison pivot, d'axe (A, üz) par rapport au solide S1. On définit les repères suivants : R0(O, üx, üy, üz) lié au bâti S0, et R2(A, üx, üy, üz) lié à S2. (Note : L'énoncé original manquait de clarté sur la définition des repères pour S1 et S2. Cette interprétation est une reconstruction plausible du contexte.)
- Montrer que le calcul de la dérivée temporelle d'un vecteur exprimé dans un repère en rotation par rapport à un autre (par exemple, d(&vec;V)/dt |R0 en fonction de d(&vec;V)/dt |R1) implique une composante de rotation du vecteur autour de l'axe de rotation.
- Déterminer les vitesses V(A, S1/S0) et V(B, S2/S0).
- Déterminer les vitesses V(B, S2/S1) et V(B, S1/S0).
- Déterminer l'accélération Γ(B, S2/S0).
Exercice 2
On considère le disque (D) homogène de centre G, de masse m et de rayon R, astreint à se déplacer sur l'axe OX du plan vertical fixe (OX, OY) d'un repère fixe orthonormé direct R0(O, X0, Y0, Z0). Soit RD(G, X, Y, Z) le repère orthonormé direct lié à ce disque, tel que Z soit colinéaire à Z0. I est le point de contact entre le disque (D) et l'axe OX. On appelle x, y et z les coordonnées de G et θ la rotation propre du disque (D) autour de l'axe ODZD (ou O0Z0 si confondu). On suppose que (D) roule sans glisser sur l'axe OX.
- Paramétrer le disque (D).
- Donner l'expression de la vitesse angulaire Ω(D/R0).
- Montrer qu'il n'y a pas de pivotement de (D) par rapport à R0.
- Exprimer la condition cinématique de roulement de (D) par rapport à R0.
- Exprimer la condition cinématique de non-glissement de (D) par rapport à OX.
- Donner l'expression du vecteur accélération de la particule de contact I par rapport à R0.
Exercice 3
A. Le solide S1 est une plaque rectangulaire OABC de côtés 2a et 2b. Le solide S1 est astreint dans son mouvement par rapport à R0(O, i0, j0, k0), repère orthonormé direct, aux liaisons suivantes : i0 = i1 (axe x aligné). On pose α(t) = (k0, k1) comme l'angle de rotation (autour de i0).
- Exprimer la vitesse angulaire Ω(S1/R0) dans la base du repère R1.
- Soit M1 un point de la plaque S1 défini par OM1 = x1i1 + y1j1, où x1 et y1 sont des constantes. Calculer la vitesse V(M1/R0) dans R1.
- Donner les composantes sur R1 de l'accélération Γ(M1/R0).
B. S2 est une sphère de centre O2 et de rayon a en mouvement sur la plaque S1. On désigne par R2(O2, i2, j2, k2) le repère orthonormé direct lié à S2. La sphère S2 est en contact avec la plaque S1 en un point I. R0(O, i0, j0, k0) est le repère fixe. On pose que α(t) est l'angle de rotation entre k0 et k1. La position de R2 par rapport à R1 est définie par les coordonnées (x(t), y(t), a) de O2 dans R1 (le centre de la sphère est à une hauteur 'a' de la plaque) et les angles d'Euler ψ, θ, φ de R2 par rapport à R1.
- Exprimer les composantes (p, q, r) de la vitesse angulaire Ω(S2/R1) dans la base de R1. On utilisera p, q, r par la suite pour alléger les expressions.
- Déterminer les composantes sur R1 de :
- La vitesse et l'accélération de O2 par rapport à R1 : V(O2/R1) et Γ(O2/R1).
- La vitesse et l'accélération de O2 par rapport à R0 : V(O2/R0) et Γ(O2/R0) en appliquant les théorèmes de composition de vitesses et des accélérations.
- Déterminer, par leur projection sur R1, les vecteurs :
- Vitesses : V(I ∈ S2/R0), V(I ∈ S1/R0), V(I ∈ S2/R1) et V(I ∈ S1/R1).
- Comparer V(I ∈ S2/R1) - V(I ∈ S1/R1) et V(I ∈ S2/R0) - V(I ∈ S1/R0).
- En déduire la vitesse de glissement de S2 par rapport à S1 : V(S2/S1).
- Quelle est la condition de glissement nul de S2 par rapport à S1 ?
FAQ sur la Mécanique du Solide
Qu'est-ce qu'un torseur en mécanique ?
En mécanique du solide, un torseur est un outil mathématique qui représente l'ensemble des actions mécaniques (forces et moments) exercées sur un corps rigide. Il est caractérisé par deux éléments principaux : un vecteur résultant (somme des forces) et un moment résultant calculé en un point donné. C'est une représentation compacte et puissante pour l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides.
Qu'est-ce que l'axe central d'un torseur ?
L'axe central d'un torseur est la ligne de l'espace le long de laquelle le moment du torseur est parallèle à sa résultante (vecteur force). C'est l'ensemble des points pour lesquels le moment du torseur est minimal en norme. Si le torseur représente un glisseur, l'axe central est la droite support de la force. Si le torseur représente un couple, l'axe central est indéterminé car la résultante est nulle.
Quelle est la différence entre roulement, glissement et pivotement ?
Ces termes décrivent les conditions de contact entre deux solides en mouvement :
- Glissement : Se produit lorsque la vitesse relative tangentielle au point de contact entre les deux solides n'est pas nulle. Autrement dit, les surfaces "glissent" l'une sur l'autre.
- Roulement : Caractérise un mouvement où la vitesse relative tangentielle au point de contact est nulle (pas de glissement), et le mouvement de rotation est lié au mouvement de translation de manière à maintenir le contact sans friction. Par exemple, une roue qui tourne sur le sol sans déraper.
- Pivotement : Correspond à une rotation relative des deux solides autour de la normale commune au point de contact. C'est une sorte de "rotation sur place" qui peut accompagner le glissement ou le roulement, ou être absente (non-pivotement).