Td champ antisymétrique - Télécharger pdf
Télécharger PDFVI.4. Champ antisymétrique
Un champ de vecteurs M est antisymétrique si, pour tout couple de points A et B de l'espace euclidien, il existe un unique vecteur R tel que la relation suivante soit vérifiée : M(B) = M(A) + R ∧ AB.
Exercice d'application
On considère un corps solide (S) soumis à une force F dont le point d'application est P. Montrer que le moment dynamique de la force F est un champ antisymétrique.
Correction
Pour montrer que le moment dynamique de la force F est un champ antisymétrique, il suffit de démontrer qu'il obéit à la propriété d'antisymétrie : M(B) = M(A) + R ∧ AB pour un vecteur R unique.
Pour cela, soient A et B deux points de l'espace. Les moments dynamiques de la force F en A et B sont respectivement :
- M_A(F) = AP ∧ F
- M_B(F) = BP ∧ F
Calculons la différence M_B(F) - M_A(F) :
M_B(F) - M_A(F) = BP ∧ F - AP ∧ F
En utilisant la relation de Chasles pour les points B, A et P (BP = BA + AP) :
M_B(F) - M_A(F) = (BA + AP) ∧ F - AP ∧ F
M_B(F) - M_A(F) = BA ∧ F + AP ∧ F - AP ∧ F
M_B(F) - M_A(F) = BA ∧ F
Puisque BA ∧ F = -AB ∧ F, et en utilisant la propriété du produit vectoriel a ∧ b = -b ∧ a, on a -AB ∧ F = F ∧ AB.
Donc, M_B(F) - M_A(F) = F ∧ AB.
Ainsi, M_B(F) = M_A(F) + F ∧ AB.
Cette relation montre que le moment dynamique de la force F obéit à la propriété d'antisymétrie avec R = F. Il est donc un champ antisymétrique.
V. Torseur
V.1. Définition
Un torseur est un outil mathématique associé à un champ de vecteurs M antisymétrique et équiprojectif. Il est défini par un champ de vecteurs antisymétrique et un vecteur R associé à ce champ. Il est généralement noté [T] = {R; M(P)}.
Le torseur [T] en un point P quelconque de l'espace se caractérise par deux vecteurs :
- R, appelé la résultante du torseur.
- M(P), appelé le moment résultant du torseur en P, qui représente le vecteur du champ M au point P.
Les deux vecteurs R et M(P) sont appelés les éléments de réduction du torseur en P. Ils vérifient la propriété d'antisymétrie et la propriété d'équiprojectivité du champ M :
- Pour tout A, B de l'espace euclidien ξ : M(B) = M(A) + R ∧ AB (propriété d'antisymétrie).
- Pour tout A, B de l'espace euclidien ξ : (M(B) - M(A)) ⋅ AB = 0 (propriété d'équiprojectivité).
Remarque : La résultante R du torseur est constante (R = constante), tandis que le moment M(P) dépend du point P auquel il est exprimé.
V.2. Propriétés des torseurs
a. Équiprojectivité et antisymétrie
Soit [T] = {R; M(A)} un torseur, et [T]_A = {R; M(A)} et [T]_B = {R; M(B)} ses expressions en A et B respectivement. Les moments du torseur en A et B vérifient la loi de transport des moments :
M(B) = M(A) + R ∧ AB
De plus, la propriété d'équiprojectivité est vérifiée :
(M(B) - M(A)) ⋅ AB = 0
b. Égalité
Deux torseurs [T1] = {R1; M1(P)} et [T2] = {R2; M2(P)} sont égaux si et seulement si, en tout point P de l'espace ξ, leurs éléments de réduction sont égaux :
[T1] = [T2] ⇔ ∀P ∈ ξ, R1 = R2 et M1(P) = M2(P)
c. Somme
La somme de deux torseurs [T1] = {R1; M1(P)} et [T2] = {R2; M2(P)} est un torseur [T] = {R; M(P)} dont la résultante est la somme des résultantes et dont le moment en un point P est la somme des moments des torseurs en P :
[T] = [T1] + [T2] ⇔ ∀P ∈ ξ, R = R1 + R2 et M(P) = M1(P) + M2(P)
d. Multiplication par un scalaire
La multiplication d'un torseur [T1] = {R1; M1(P)} par un scalaire λ est un torseur [T] = {R; M(P)} dont la résultante R est le produit de la résultante R1 par le scalaire λ, et dont le moment M(P) en un point P est le produit du moment M1(P) par le scalaire λ :
[T] = λ ⋅ [T1] ⇔ ∀P ∈ ξ, R = λ ⋅ R1 et M(P) = λ ⋅ M1(P)
e. Torseur nul
Un torseur [T] = {R; M(P)} est dit nul ([T] = [0]) si et seulement si sa résultante R et son moment M(P) sont nuls en tout point de l'espace :
[T] = [0] ⇔ ∀P ∈ ξ, R = 0 et M(P) = 0
V.3. Produit scalaire de deux torseurs
Le produit scalaire de deux torseurs [T_F] = {F; Ω(P)} et [T_V] = {V; M_V(P)} est un scalaire donné par :
[T_F] ⋅ [T_V] = F ⋅ M_V(P) + Ω(P) ⋅ V
Ce produit scalaire est constant, quel que soit le point P choisi dans l'espace. Ainsi, pour tout A et B de l'espace ξ :
F ⋅ M_V(A) + Ω(A) ⋅ V = F ⋅ M_V(B) + Ω(B) ⋅ V
Démonstration
Soient les torseurs [T_F] = {F; Ω(P)} et [T_V] = {V; M_V(P)}. En deux points A et B, nous avons :
- Ω(B) = Ω(A) + F ∧ AB
- M_V(B) = M_V(A) + V ∧ AB
Calculons le produit scalaire en B :
F ⋅ M_V(B) + Ω(B) ⋅ V = F ⋅ (M_V(A) + V ∧ AB) + (Ω(A) + F ∧ AB) ⋅ V
= F ⋅ M_V(A) + F ⋅ (V ∧ AB) + Ω(A) ⋅ V + (F ∧ AB) ⋅ V
En utilisant la propriété du produit mixte (a ⋅ (b ∧ c) = (a ∧ b) ⋅ c) et (a ∧ b) ⋅ c = - (b ∧ a) ⋅ c :
F ⋅ (V ∧ AB) = (F ∧ V) ⋅ AB
(F ∧ AB) ⋅ V = F ⋅ (AB ∧ V) = -F ⋅ (V ∧ AB)
Donc : F ⋅ (V ∧ AB) + (F ∧ AB) ⋅ V = F ⋅ (V ∧ AB) - F ⋅ (V ∧ AB) = 0
Par conséquent :
F ⋅ M_V(B) + Ω(B) ⋅ V = F ⋅ M_V(A) + Ω(A) ⋅ V
Ce qui prouve que le produit scalaire de deux torseurs est un invariant.
V.4. Invariants
Plusieurs invariants du torseur peuvent être définis :
- La résultante R est l'invariant vectoriel du torseur [T] = {R; M(P)}.
- Le produit scalaire de la résultante R et du moment résultant M(P) est un invariant scalaire, appelé invariant principal du torseur. Il est constant pour tout point P de l'espace : R ⋅ M(P) = constante pour tout P ∈ ξ.
V.5. Axe central d'un torseur
L'axe central d'un torseur [T] = {R; M(P)} est l'ensemble des points P pour lesquels le moment résultant M(P) est colinéaire à la résultante R du torseur. Cela signifie que M(P) = λR pour un certain scalaire λ.
- Les moments des points de l'axe central sont égaux et représentent le moment minimal du torseur : M_P = λR. Ce moment est constant pour tous les points de l'axe central si R ≠ 0.
- L'axe central d'un torseur est parallèle à la direction de sa résultante R.
- Le moment d'un point situé sur l'axe central est un minimum absolu parmi tous les moments du torseur dans l'espace.
V.6. Torseur glisseur
Un torseur [T] = {R; M(P)} est appelé glisseur si sa résultante R est non nulle (R ≠ 0) et s'il existe au moins un point P pour lequel le moment résultant M(P) est nul (M(P) = 0).
Dans ce cas, le produit scalaire R ⋅ M(P) (l'invariant principal) est nul. Par conséquent, l'invariant principal d'un torseur glisseur est nul.
Un torseur [T_G] est un torseur glisseur ⇔ R ≠ 0 et ∃P ∈ ξ tel que M(P) = 0.
L'axe central du torseur glisseur [T_G] est la droite passant par le point P où le moment est nul, et son vecteur directeur est R. Pour tous les points de l'axe central d'un torseur glisseur, les moments sont nuls. Si (Δ) est l'axe central d'un glisseur, alors M(P) = 0 pour tout P ∈ Δ.
Exercice d'application 2
Dans un repère orthonormé (O, i, j, k), on considère deux vecteurs F(1, 1, -1) et W(0, 1, 1) qui sont liés respectivement aux points A(1, 0, 1) et B(0, 1, 0). Les torseurs associés respectivement aux moments de ces vecteurs sont [T1] et [T2].
- Calculer les éléments de réduction de [T1] et [T2] en O, l'origine du repère.
- Calculer l'invariant de chaque torseur et en déduire leurs natures.
- On pose [T] = [T1] + [T2].
- Calculer les éléments de réduction de [T] au point B(0, 1, 0) et en déduire sa nature.
- Déterminer l'équation cartésienne de l'axe central du torseur [T].
Correction
1. Calcul des éléments de réduction en O :
- Pour le torseur [T1] :
La résultante est R1 = F = (1, 1, -1).
Le moment en O est M1_O = OA ∧ F.
OA = (1, 0, 1).
M1_O = (1, 0, 1) ∧ (1, 1, -1) = ((0)(-1) - (1)(1), (1)(1) - (1)(-1), (1)(1) - (0)(1)) = (-1, 2, 1).
Les éléments de réduction de [T1] en O sont : [T1]_O = {(1, 1, -1); (-1, 2, 1)}.
- Pour le torseur [T2] :
La résultante est R2 = W = (0, 1, 1).
Le moment en O est M2_O = OB ∧ W.
OB = (0, 1, 0).
M2_O = (0, 1, 0) ∧ (0, 1, 1) = ((1)(1) - (0)(1), (0)(0) - (0)(1), (0)(1) - (1)(0)) = (1, 0, 0).
Les éléments de réduction de [T2] en O sont : [T2]_O = {(0, 1, 1); (1, 0, 0)}.
2. Calcul des invariants et natures :
- Pour le torseur [T1] :
L'invariant est I1 = R1 ⋅ M1_O = (1, 1, -1) ⋅ (-1, 2, 1) = (1)(-1) + (1)(2) + (-1)(1) = -1 + 2 - 1 = 0.
Puisque la résultante R1 = (1, 1, -1) est non nulle et que l'invariant I1 est nul, le torseur [T1] est un glisseur.
- Pour le torseur [T2] :
L'invariant est I2 = R2 ⋅ M2_O = (0, 1, 1) ⋅ (1, 0, 0) = (0)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 0.
Puisque la résultante R2 = (0, 1, 1) est non nulle et que l'invariant I2 est nul, le torseur [T2] est un glisseur.
3. Somme des torseurs [T] = [T1] + [T2] :
a. Éléments de réduction de [T] en B(0, 1, 0) et sa nature.
La résultante du torseur somme est R = R1 + R2 = (1, 1, -1) + (0, 1, 1) = (1, 2, 0).
Le moment en B est M_B = M1_B + M2_B.
Pour calculer M_B, nous pouvons d'abord trouver M_O pour le torseur [T] :
M_O = M1_O + M2_O = (-1, 2, 1) + (1, 0, 0) = (0, 2, 1).
Ensuite, utilisons la formule de transport des moments de O à B : M_B = M_O + R ∧ OB.
OB = (0, 1, 0).
R ∧ OB = (1, 2, 0) ∧ (0, 1, 0) = ((2)(0) - (0)(1), (0)(0) - (1)(0), (1)(1) - (2)(0)) = (0, 0, 1).
Donc, M_B = (0, 2, 1) + (0, 0, 1) = (0, 2, 2).
Les éléments de réduction de [T] en B sont : [T]_B = {(1, 2, 0); (0, 2, 2)}.
Pour déterminer la nature du torseur [T], calculons son invariant principal :
Invariant I = R ⋅ M_B = (1, 2, 0) ⋅ (0, 2, 2) = (1)(0) + (2)(2) + (0)(2) = 0 + 4 + 0 = 4.
Puisque la résultante R = (1, 2, 0) est non nulle et que l'invariant I = 4 est non nul, le torseur [T] est un torseur quelconque (ni glisseur, ni couple).
b. Équation cartésienne de l'axe central du torseur [T].
L'axe central est l'ensemble des points P(x, y, z) pour lesquels le moment M(P) est colinéaire à la résultante R. C'est-à-dire M(P) = λR.
On sait que M(P) = M_O + R ∧ OP.
M_O = (0, 2, 1) et R = (1, 2, 0). OP = (x, y, z).
R ∧ OP = (1, 2, 0) ∧ (x, y, z) = ((2)(z) - (0)(y), (0)(x) - (1)(z), (1)(y) - (2)(x)) = (2z, -z, y - 2x).
M(P) = (0, 2, 1) + (2z, -z, y - 2x) = (2z, 2 - z, 1 + y - 2x).
La condition M(P) = λR donne :
(2z, 2 - z, 1 + y - 2x) = λ(1, 2, 0)
Ceci nous donne le système d'équations :
- 2z = λ
- 2 - z = 2λ
- 1 + y - 2x = 0
Substituons (1) dans (2) :
2 - z = 2(2z)
2 - z = 4z
2 = 5z
z = 2/5
De l'équation (3) :
y - 2x + 1 = 0
2x - y = 1
L'équation cartésienne de l'axe central du torseur [T] est donc le système :
z = 2/5
2x - y = 1
V.7. Torseur couple
Un torseur couple est un torseur [T_C] = {R; M(P)} dont la résultante R est nulle (R = 0) et dont le moment résultant M(P) est constant et indépendant du point P où il est exprimé.
Exercice d'application 3
On considère un solide (S) soumis à un couple de deux forces (F1, F2), avec F2 = -F1. Montrer que le moment dynamique du couple de deux forces (F1, F2) est un torseur couple.
Correction
Le moment dynamique du couple de deux forces (F1, F2) est un torseur dont la résultante R est la somme des forces :
R = F1 + F2
Puisque F2 = -F1 (définition d'un couple de forces), alors R = F1 + (-F1) = 0.
Montrons que son moment résultant est constant. Soient A et B deux points de l'espace. Les moments du couple de deux forces (F1, F2) en A et B respectivement sont :
Soit F1 appliquée au point P1 et F2 appliquée au point P2.
M_A(couple) = M_A(F1) + M_A(F2) = AP1 ∧ F1 + AP2 ∧ F2
Comme F2 = -F1 :
M_A(couple) = AP1 ∧ F1 + AP2 ∧ (-F1) = AP1 ∧ F1 - AP2 ∧ F1 = (AP1 - AP2) ∧ F1 = P2P1 ∧ F1.
De même en un point B :
M_B(couple) = BP1 ∧ F1 + BP2 ∧ F2 = BP1 ∧ F1 + BP2 ∧ (-F1) = (BP1 - BP2) ∧ F1 = P2P1 ∧ F1.
Ainsi, M_A(couple) = M_B(couple).
Le moment dynamique du couple de deux forces est un torseur dont la résultante est nulle et dont le moment résultant est constant et ne dépend pas du point où il est exprimé. Il est donc un torseur couple.
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Qu'est-ce qu'un champ antisymétrique et quel est son lien avec un torseur ?
Un champ de vecteurs est dit antisymétrique si la différence entre le vecteur champ en deux points B et A peut s'exprimer sous la forme d'un produit vectoriel avec un vecteur unique R et le vecteur AB (M(B) = M(A) + R ∧ AB). Un torseur est un outil mathématique qui s'appuie sur un champ de vecteurs antisymétrique et équiprojectif, dont la résultante R est précisément le vecteur de cette relation d'antisymétrie.
2. Quelle est la différence entre un torseur glisseur et un torseur couple ?
Un torseur glisseur a une résultante non nulle et son invariant principal (le produit scalaire de la résultante et du moment) est nul, signifiant qu'il existe au moins un point où le moment est nul. Son axe central est la droite où les moments sont nuls. Un torseur couple, quant à lui, a une résultante nulle et un moment constant non nul, indépendant du point d'application. Son invariant principal est également nul (car R=0).
3. Comment calcule-t-on l'invariant d'un torseur et à quoi sert-il ?
L'invariant principal d'un torseur est le produit scalaire de sa résultante R et de son moment M(P) en n'importe quel point P de l'espace (I = R ⋅ M(P)). Il est unique et constant, quel que soit le point P choisi. Cet invariant permet de caractériser la nature du torseur : s'il est nul, le torseur est un glisseur ou un couple ; s'il est non nul, c'est un torseur quelconque.