Ce document académique est un examen de Mécanique du Solide Indéformable, spécialement conçu pour les étudiants de deuxième année du cycle préparatoire au sein des Écoles Nationales des Sciences Appliquées. Il vise à évaluer leur compréhension approfondie des principes fondamentaux régissant le mouvement et l'équilibre des corps rigides.
Il couvre les notions suivantes:
- L'analyse cinématique et dynamique de systèmes articulés, incluant les degrés de liberté et les matrices d'inertie.
- La manipulation des torseurs (cinématique, cinétique, dynamique, actions extérieures).
- Les propriétés des champs de vecteurs antisymétriques, les axes centraux et les référentiels.
- L'application du principe fondamental de la dynamique et le calcul des puissances.
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Ce document présente un examen de mécanique du solide indéformable, destiné à la 2ème année du cycle préparatoire en génie industriel. Il aborde l'analyse cinématique et dynamique de systèmes mécaniques, ainsi que des concepts fondamentaux sur les torseurs et les mouvements de solides. Durée de l'examen : 2h.
Présentation des Figures
Le problème et l'exercice font référence à plusieurs figures pour illustrer les systèmes étudiés :
- Figure 1 : Représentation du système "disque et tige" pour le problème principal.
- Figure 2 : Utilisée dans l'exercice I.
- Figure 3 : Utilisée dans l'exercice I.
Problème : Étude d'un Système Disque-Tige
Le système étudié est composé d'un disque (D) homogène et d'une tige homogène (T), notée T=[AB]. La liaison entre le disque et la tige est une liaison pivot parfaite sans frottement, d'axe (B, i₀). La tige (T) est également liée à un support fixe [OH], porté par l'axe (O, k₀), par une liaison glissière d'axe (H, j₀), où H est un point fixe sur l'axe (O, k₀), comme illustré en figure 1. Le vecteur de l'action du support [OH] sur la tige (T) est FOHT = (Fx, Fz, 0).
Le disque a une masse M, un rayon a et son centre est B. La tige a une masse m, une longueur 2L et son centre d'inertie est G. La distance GH varie en fonction du temps : GH j₀ = ρ₀. Le repère ℜ₀ (O, i₀, j₀, k₀) est absolu et considéré comme galiléen. Le mouvement du système s'effectue dans le plan (O, j₀, k₀), contenant le vecteur de pesanteur g k₀ = -g₀. Le repère ℜD (B, i₀, j₀, k₀) est lié au disque. Le disque tourne autour de l'axe (B, i₀) d'un angle ϕ. Le disque roule sur l'axe (O, j₀) (qui appartient au sol), avec un vecteur de vitesse de glissement par rapport au sol v j₀, où v est constante. I est le point de contact entre (D) et (T). Toutes les grandeurs vectorielles doivent s'exprimer dans la base (i₀, j₀, k₀).
- Déterminer le nombre de degrés de liberté de la tige et celui du disque (1pt).
- Déterminer le vecteur de rotation de (D) et celui de (T) par rapport au repère ℜ₀ (1pt).
- Le moment d'inertie de la tige par rapport aux axes (G, i₀), (G, j₀) et (G, k₀) sont respectivement mL²/3, 0 et mL²/3. Démontrer que la matrice d'inertie de la tige en G, dans la base (i₀, j₀, k₀), s'écrit sous la forme suivante (1pt) :
ΠT/G = [[mL²/3, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, mL²/3]]
- Le moment d'inertie du disque (D) par rapport à l'axe (B, i₀) est Ma²/2. Démontrer que la matrice d'inertie du disque en B, dans la base (i₀, j₀, k₀), s'écrit sous la forme suivante (1pt) :
ΠD/B = [[Ma²/2, 0, 0], [0, Ma²/4, 0], [0, 0, Ma²/4]]
Étude du Disque (D)
- Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique du disque en B, [VD/ℜ₀]B (1pt).
- Déterminer les éléments de réduction du torseur cinétique du disque en B, [CD/ℜ₀]B (1pt).
- Déterminer les éléments de réduction du torseur dynamique du disque en B, [DD/ℜ₀]B (1pt).
- Déterminer les éléments de réduction du torseur des actions extérieures exercées sur le disque en B, [FeD/ℜ₀]B. Le vecteur de l'action de T sur D est LT→D = (Lx, Ly, Lz) et l'action de la terre est RSol→D = (Rx, Ry, Rz) (1pt).
Étude de la Tige (T)
- Déterminer les éléments de réduction du torseur cinétique de la tige en G, [CT/ℜ₀]G (1pt).
- Déterminer les éléments de réduction du torseur dynamique de la tige en G, [DT/ℜ₀]G (1pt).
- Déterminer les éléments de réduction du torseur des actions extérieures exercées sur la tige en G, [FeT/ℜ₀]G (1pt).
- Par application du principe fondamental de la dynamique, trouver les composantes de l'action de la tige (T) sur le disque (D), LT→D = (Lx, Ly, Lz), en fonction de Fx, Fz, m et g₀ (0.5pt).
- Par application du principe fondamental de la dynamique, déterminer le vecteur de la réaction du sol sur le disque, RSol→D = (Rx, Ry, Rz), en fonction de M, Fx, Fz, m et g₀ (0.5pt).
Exercice I : Questions à Choix Multiples (QCM) sur la Mécanique des Solides
Pour chaque question, plusieurs réponses peuvent être exactes. Cochez les bonnes réponses.
Q1. Champ de vecteurs antisymétrique et torseur (1pt)
Les propositions correctes sont :
- a. M est un champ de vecteurs antisymétrique ⇔ quels que soient A et B de l'espace, il existe un vecteur R vérifiant M(B) = M(A) + R ∧ AB.
- b. Un torseur est un outil mathématique associé à un champ de vecteurs antisymétrique M. Il est constitué du champ M et du vecteur R associé à ce champ. Il est noté [T] = (R, M).
- c. Un champ de vecteurs n’est pas antisymétrique est représentable par un torseur.
- d. Un torseur couple est un torseur dont la résultante est non nulle (R ≠ 0) et son moment résultant est constant.
Q2. Axe central d'un torseur (1pt)
Les propositions correctes sont :
- a. L’axe central du torseur [T] = (R, M) est l’ensemble des points P dont les moments M(P) sont orthogonaux à la résultante du torseur (M(P) ⊥ R).
- b. Les moments des points de l’axe central sont égaux.
- c. L’axe central du torseur [T] = (R, M) est l’ensemble des points P dont les moments M(P) sont parallèles à la résultante du torseur (M(P) ∥ R).
- d. Un torseur couple n’a pas d'axe central.
Q3. Mouvement d'un solide indéformable (S) (1pt)
Les propositions correctes sont :
- a. Le champ des vecteurs de vitesses d'un solide indéformable (S) est antisymétrique.
- b. Le champ des vecteurs de vitesses d'un solide (S) indéformable est représentable par un torseur cinématique : [VS/ℜ₀]A = (ΩS/ℜ₀, V(A)S/ℜ₀).
- c. Le champ de vecteurs d'accélération n’est pas antisymétrique.
- d. Le champ de vecteurs d’accélération d'un solide indéformable (S) est représentable par un torseur dynamique : [ΓS/ℜ₀]A = (dΩS/ℜ₀/dt, Γ(A)S/ℜ₀).
Q4. Référentiels en mouvement (1pt)
Soit (S) un solide en mouvement dans deux référentiels : l’un absolu ℜa (O, i₀, j₀, k₀) et l’autre relatif ℜr (O, i, j, k) qui est en mouvement par rapport à ℜa. Les propositions correctes sont :
- a. La vitesse d’entraînement du point A de (S) est : Ve(A)ℜa/ℜr = V(O)ℜa/ℜr + Ωℜr/ℜa ∧ OA.
- b. La vitesse d’entraînement du point A de (S) est : Ve(A)ℜa/ℜr = V(O)ℜa/ℜr + Ωℜr/ℜa ∧ OA.
- c. La vitesse d’entraînement du point A de (S) est la vitesse de A par rapport au référentiel ℜr, en supposant que le point A soit fixe dans le référentiel ℜa.
Q5. Torseur d'action de la tige sur le disque (1pt)
Dans un référentiel ℜ (O, i, j, k) galiléen, un système est constitué d’un disque (D) de centre A et de rayon R et d’une tige [OA] de longueur OA=L et est portée par l’axe (O, i). Le disque est lié avec la tige avec une liaison pivot l’axe (O, i).
A- Les éléments de réduction du torseur d’action de la tige sur le disque en O sont :
- a. [FeTige→D]O = (Fx i + Fy j + Fz k, M(O) = 0).
- b. [FeTige→D]O = (0, 0, 0), avec M(O) = α i + β j + γ k.
- c. [FeTige→D]O = (Fx i + Fy j + Fz k, M(O) = β j + γ k).
- d. [FeTige→D]O = (Fx i + Fy j + Fz k, M(O) = α i + β j + γ k) avec Fx=Fy=Fz=0.
Q6. Référentiel barycentrique (1pt)
Soit (S) un système matériel de centre d’inertie G en mouvement dans un référentiel ℜ. La proposition correcte est :
- a. Le référentiel barycentrique ℜG de (S) est le référentiel d’origine G et en mouvement de translation par rapport au référentiel ℜ. La vitesse d’un point M de (S) par rapport à ℜ est V(M)ℜ = V(G)ℜ + V(M)ℜG.
- b. Le référentiel barycentrique ℜG de (S) est le référentiel d’origine G et en mouvement de rotation par rapport au référentiel ℜ. La vitesse d’un point M de (S) par rapport à ℜ est V(M)ℜ = V(G)ℜ + V(M)ℜG + ΩℜG/ℜ ∧ GM.
Q7. Mouvement et torseur pour un cylindre (1pt)
Dans un référentiel ℜ (O, i, j, k) galiléen, un système est constitué d’un cylindre (C) de centre d’inertie G et de hauteur h et d’une tige [OB] de longueur (OB=L >h) et est portée par l’axe (O, k). Le cylindre est lié avec la tige avec une liaison glissière d’axe (O, k). Les propositions correctes sont :
- a. Le vecteur de rotation du cylindre par rapport au référentiel ℜ (O, i, j, k) est : ϕk.
- b. Le mouvement du cylindre par rapport au référentiel ℜ (O, i, j, k) est : Mouvement de translation.
- c. Les éléments de réduction du torseur d’action de la tige sur le cylindre en O sont : [FeTige→C]O = (Fx i + Fy j, α i + β j + γ k).
Q8. Puissance des actions mécaniques extérieures (1pt)
La puissance Pext des actions mécaniques extérieures appliquées sur un solide (S) est :
- a. Le produit du torseur cinématique et du torseur des actions mécaniques extérieures de (S) : Pext = [VS/ℜ]A ⋅ [FeS/ℜ]A = V(A)S/ℜ ⋅ Re + ΩS/ℜ ⋅ M(A)e.
- b. Le produit du torseur cinématique et du torseur dynamique de (S) : Pext = [VS/ℜ]A ⋅ [DS/ℜ]A = V(A)S/ℜ ⋅ RD + ΩS/ℜ ⋅ M(A)D.
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Qu'est-ce qu'un torseur en mécanique du solide ?
Un torseur est un outil mathématique qui permet de représenter de manière concise les champs de vecteurs antisymétriques, comme le champ des vitesses ou le champ des moments d'un ensemble de forces agissant sur un solide. Il est défini par une résultante (un vecteur) et un moment (un vecteur) en un point spécifique, et il obéit à une loi de transport unique d'un point à un autre.
2. Comment détermine-t-on les degrés de liberté d'un système mécanique ?
Le nombre de degrés de liberté (DDL) d'un système mécanique est le nombre minimal de paramètres ou coordonnées indépendantes nécessaires pour décrire complètement la position et l'orientation de tous ses composants. Il peut être déterminé en analysant le nombre de corps rigides et les caractéristiques des liaisons mécaniques entre eux, chaque liaison réduisant le nombre de mouvements possibles.
3. Quel est le rôle du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) en mécanique du solide ?
Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) est un principe fondamental en mécanique qui relie les actions mécaniques (forces et moments) appliquées à un solide à son mouvement (accélération). Il s'exprime par deux équations : l'une pour la résultante des forces (masse fois accélération du centre d'inertie) et l'autre pour le moment résultant des actions par rapport à un point (dérivée du moment cinétique).