Exercices champ de vecteurs des vitesses d'un solide

Ce document didactique est conçu pour les étudiants universitaires souhaitant approfondir leurs connaissances en cinématique des solides indéformables. Il explore les concepts fondamentaux liés aux mouvements des corps rigides. Sont abordés successivement :

Les champs de vecteurs des vitesses et des accélérations.
Les torseurs cinématiques associés aux mouvements de translation et de rotation.
La composition des mouvements, incluant les vitesses et accélérations relatives, d'entraînement et de Coriolis.
La cinématique des solides en contact, détaillant les différents types de liaisons et leurs degrés de liberté.

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I. Champ de vecteurs des vitesses d'un solide

I.1. Vecteur de la vitesse d'un point d'un solide

Le vecteur vitesse d'un point M d'un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R(O, i, j, k) à un instant t, est la dérivée du vecteur position OM(x, y, z) du point M par rapport au temps. Il est noté v_M(S/R), et son expression est donnée par :

v_M(S/R) = d(OM)/dt = (dx/dt) i + (dy/dt) j + (dz/dt) k

I.2. Torseur cinématique – Distribution des vitesses

Soit (S) un solide indéformable en mouvement par rapport à un référentiel absolu R₀(O₀, i₀, j₀, k₀) et R(O, i, j, k) un référentiel lié à (S). Soient A et B deux points de (S). La loi de composition des vitesses pour un solide stipule que la vitesse du point B par rapport à R₀ peut être exprimée en fonction de la vitesse du point A par rapport à R₀ et du vecteur de rotation Ω(S/R₀) du solide (S) par rapport à R₀ :

v_B(S/R₀) = v_A(S/R₀) + Ω(S/R₀) ∧ AB

En se basant sur cette formule, le champ des vecteurs de vitesses d’un solide est un champ antisymétrique. Par conséquent, il est représentable par un torseur appelé torseur cinématique, noté [T_cinématique(S/R₀)]. Ses éléments de réduction en un point A sont :

La résultante du torseur cinématique, qui est le vecteur de rotation Ω(S/R₀).
Le moment du torseur cinématique au point A, qui est la vitesse v_A(S/R₀) du point A par rapport à R₀.

Si Ω(S/R₀) ≠ 0, alors le torseur cinématique présente un axe central appelé axe instantané de rotation. Cet axe est le lieu des points dont les vitesses sont parallèles au vecteur de rotation Ω(S/R₀).

I.2.1. Torseur du mouvement de translation

Soit (S) un solide en mouvement de translation par rapport à un référentiel R₀. Dans ce cas, le vecteur de rotation Ω(S/R₀) est nul (Ω(S/R₀) = 0). Les vecteurs vitesses de tous les points de (S) sont alors égaux (v_A(S/R₀) = v_B(S/R₀) = w pour tout A, B ∈ S).

Par conséquent, le torseur cinématique se réduit à un torseur couple [T_couple] = {0, w}, où w est le vecteur de la vitesse de translation du solide (S) par rapport au référentiel R₀.

I.2.2. Torseur du mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe passant par l'un de ses points

Soit (S) un solide en mouvement de rotation autour d'un axe passant par l'un de ses points A. Alors le vecteur de rotation Ω(S/R₀) n'est pas nul, et la vitesse du point A est nulle (v_A(S/R₀) = 0).

Dans ces conditions, le torseur cinématique se réduit à un torseur glisseur. Ses éléments de réduction en un point P de (S) sont : {Ω(S/R₀), v_P(S/R₀)} avec v_P(S/R₀) = Ω(S/R₀) ∧ AP. L'axe instantané de rotation est l'axe (A, Ω(S/R₀)).

II. Champ de vecteurs de l'accélération d'un solide

Le vecteur accélération d’un point M d’un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R(O, i, j, k) à un instant t, est la dérivée du vecteur vitesse v_M(S/R) du point M par rapport au temps. C'est aussi la dérivée seconde du vecteur position OM. Il est noté γ_M(S/R), et son expression est donnée par :

γ_M(S/R) = d(v_M(S/R))/dt = d²(OM)/dt² = (d²x/dt²) i + (d²y/dt²) j + (d²z/dt²) k

En partant de la loi de composition des vitesses pour un solide (v_B(S/R₀) = v_A(S/R₀) + Ω(S/R₀) ∧ AB) et en dérivant cette relation par rapport au temps dans le référentiel R₀, nous obtenons l'accélération du point B :

γ_B(S/R₀) = γ_A(S/R₀) + d(Ω(S/R₀))/dt |_R0 ∧ AB + Ω(S/R₀) ∧ (d(AB)/dt |_R0)

Sachant que AB est un vecteur lié au solide (S), sa dérivée par rapport à R₀ est d(AB)/dt |_R0 = Ω(S/R₀) ∧ AB.

Ainsi, l'expression de l'accélération devient :

γ_B(S/R₀) = γ_A(S/R₀) + d(Ω(S/R₀))/dt |_R0 ∧ AB + Ω(S/R₀) ∧ (Ω(S/R₀) ∧ AB)

Le terme Ω(S/R₀) ∧ (Ω(S/R₀) ∧ AB) n'est en général pas nul. Par conséquent, le champ des vecteurs des accélérations d'un solide n'est pas antisymétrique et ne peut pas être représenté par un torseur.

III. Composition des mouvements

La composition des mouvements permet de déterminer le mouvement d'un point M (vitesse, accélération) par rapport à un référentiel R_i, en connaissant son mouvement par rapport à un référentiel R_j, lui-même en mouvement par rapport à R_i.

Soit (S) un solide en mouvement dans deux référentiels : l'un absolu R_a (O₀, i₀, j₀, k₀) et l'autre relatif R_r (O_r, i_r, j_r, k_r) qui est en mouvement par rapport à R_a.

III.1. Composition des vecteurs de rotation

Le vecteur de rotation Ω(S/R_a) du solide (S) par rapport au référentiel absolu R_a est donné par la relation de composition des rotations :

Ω(S/R_a) = Ω(S/R_r) + Ω(R_r/R_a)

Si l'on considère une chaîne de référentiels (R₁, R₂, ..., R_n), le vecteur de rotation du solide (S) par rapport au référentiel R_n est la somme des vecteurs de rotation intermédiaires :

Ω(S/R_n) = Ω(S/R₁) + Ω(R₁/R₂) + ... + Ω(R_n-1/R_n)

III.2. Composition des vitesses

La vitesse absolue du point A du solide (S) par rapport au référentiel absolu R_a est donnée par :

v_A(S/R_a) = d(O₀A)/dt |_Ra

La vitesse relative du point A du solide (S) par rapport au référentiel relatif R_r est donnée par :

v_A(S/R_r) = d(O_rA)/dt |_Rr

En utilisant la relation de Chasles pour les positions (O₀A = O₀O_r + O_rA), la vitesse absolue de A peut être décomposée en trois termes :

v_A(S/R_a) = v_A(S/R_r) + v_e(A)

Où :

Vitesse relative (v_A(S/R_r)) : C'est la vitesse de A par rapport au référentiel relatif R_r.
Vitesse d'entraînement (v_e(A)) : C'est la vitesse qu'aurait le point A s'il était fixe dans le référentiel relatif R_r, par rapport au référentiel absolu R_a. Elle est donnée par :
v_e(A) = v_{O_r}(R_r/R_a) + Ω(R_r/R_a) ∧ O_rA

III.3. Composition des accélérations

L'accélération absolue du point A du solide (S) par rapport au référentiel absolu R_a est donnée par :

γ_A(S/R_a) = d(v_A(S/R_a))/dt |_Ra

En appliquant le théorème de Coriolis, l'accélération absolue peut être décomposée en trois parties :

γ_A(S/R_a) = γ_A(S/R_r) + γ_e(A) + γ_c(A)

Où :

Accélération relative (γ_A(S/R_r)) : C'est l'accélération de A par rapport au référentiel relatif R_r :
γ_A(S/R_r) = d(v_A(S/R_r))/dt |_Rr
Accélération d'entraînement (γ_e(A)) : C'est l'accélération du point A par rapport au référentiel absolu R_a, en supposant A fixe dans le référentiel relatif R_r. Elle est donnée par :
γ_e(A) = γ_{O_r}(R_r/R_a) + d(Ω(R_r/R_a))/dt |_Ra ∧ O_rA + Ω(R_r/R_a) ∧ (Ω(R_r/R_a) ∧ O_rA)
Accélération de Coriolis (γ_c(A)) : Elle est due à la variation de la vitesse relative dans le référentiel en mouvement de rotation. Son expression est donnée par :
γ_c(A) = 2 Ω(R_r/R_a) ∧ v_A(S/R_r)

L'accélération de Coriolis est nulle dans les cas suivants :

Le vecteur de rotation Ω(R_r/R_a) est nul, ce qui signifie que R_r est en mouvement de translation pure par rapport à R_a.
La vitesse relative v_A(S/R_r) est nulle, c'est-à-dire que le point A est fixe par rapport à R_r.
Le vecteur de rotation Ω(R_r/R_a) et la vitesse relative v_A(S/R_r) sont colinéaires.

IV. Cinématique des solides en contact

IV.1. Contact ponctuel

Soit R(O, i, j, k) un référentiel, et (S1) et (S2) deux solides en mouvement par rapport à ce référentiel. (S1) est également en mouvement par rapport à (S2), et leurs surfaces restent en contact ponctuel. Soit I le point géométrique de l’espace de contact entre (S1) et (S2) à un instant t. À chaque instant, il faut distinguer trois points confondus dont les vitesses et les accélérations sont différentes en général :

Le point matériel I₁ lié au solide (S1) (I₁ ∈ S1).
Le point matériel I₂ lié au solide (S2) (I₂ ∈ S2).
Le point géométrique I qui n’appartient ni à (S1) ni à (S2) (I ∉ S1 et I ∉ S2).

Au cours du temps, le point I est confondu avec différents points matériels de contact entre (S1) et (S2).

IV.1.1. Vitesse de glissement

La vitesse de glissement au point I du solide (S1) par rapport à (S2) est la vitesse relative du point I₁ (lié à S1) par rapport au solide (S2), en le supposant fixe par rapport à (S1). Elle est notée v_g(S1/S2).

v_g(S1/S2) = v_I1(S1/R) - v_I2(S2/R)

La vitesse de glissement est indépendante du référentiel par rapport auquel les solides (S1) et (S2) sont en mouvement. Le vecteur vitesse de glissement est contenu dans le plan tangent aux solides (S1) et (S2) en I.

IV.1.2. Roulement sans glissement

Le solide (S1) roule sans glissement sur le solide (S2) si et seulement si la vitesse de glissement de (S1) par rapport à (S2) est nulle :

v_g(S1/S2) = 0

Cela implique que v_I1(S1/R) = v_I2(S2/R).

IV.1.3. Roulement et pivotement

Le vecteur de rotation instantané Ω(S1/S2) du solide (S1) par rapport à (S2) peut être décomposé en une composante normale Ω_n et une composante tangentielle Ω_t au plan (Π) qui est tangent aux solides (S1) et (S2) :

Ω_n : Vecteur de rotation instantané de pivotement, correspondant à la rotation autour de l'axe (I, n) normal au plan tangent (Π).
Ω_t : Vecteur de rotation instantané de roulement, correspondant à la rotation autour de l'axe (I, t) tangent au plan (Π).

Quel que soit M un point du solide (S1), sa vitesse par rapport au solide (S2) est :

v_M(S1/S2) = v_I(S1/S2) + Ω(S1/S2) ∧ IM

Ceci peut s'écrire :

v_M(S1/S2) = v_g(S1/S2) + Ω_n ∧ IM + Ω_t ∧ IM

où v_g est la vitesse de glissement, Ω_n le vecteur de rotation de pivotement et Ω_t le vecteur de rotation de roulement.

IV.2. Contact surfacique et linéique

Le contact entre deux solides se traduit par une contrainte appelée liaison qui limite le mouvement relatif d’un solide par rapport à l’autre, diminuant ainsi le nombre de degrés de liberté. Les liaisons de contact peuvent être classées suivant le nombre de degrés de liberté qu'elles autorisent.

IV.2.1. Solide à 6 degrés de liberté

Le solide est complètement libre dans l'espace, il n'y a pas de liaisons de contact. Exemple : une sphère qui se déplace librement dans l'espace.

IV.2.2. Solide à 5 degrés de liberté

Par exemple, un solide peut effectuer 3 rotations (2 de roulement + 1 de pivotement) et 2 translations. Seulement une translation est bloquée (ex: une sphère qui roule sur un plan horizontal (π)).

IV.2.3. Solide à 4 degrés de liberté

Exemple : le cas d'un cylindre qui roule sur un plan (π). Le cylindre effectue 2 translations et 2 rotations (1 de roulement + 1 de pivotement).

IV.2.4. Solide à 3 degrés de liberté

Exemples :

Liaison plan sur plan (2 translations + 1 pivotement)
Liaison rotule ou sphérique

Liaison rotule ou sphérique : Deux solides (S1) et (S2) sont liés par une liaison rotule de centre O, si les seuls mouvements possibles de (S1) par rapport à (S2) sont des rotations autour du point O. Cette liaison peut être réalisée à l'aide d'une sphère (S1) enfermée dans une cavité sphérique (S2) dont les rayons sont approximativement égaux. Les trois rotations effectuées par (S1) par rapport à (S2) correspondent aux angles d'Euler (ψ, θ, ϕ).

Le vecteur de rotation de (S1) par rapport à (S2) est : Ω(S1/S2) = ϕ̇ k + θ̇ u + ψ̇ k (en supposant k et u sont des axes appropriés pour les rotations).

La vitesse du point O de (S1) par rapport à (S2) est nulle : v_O(S1/S2) = 0.

Le torseur cinématique de la liaison rotule de centre O est un glisseur. Ses éléments de réduction au point O sont : {Ω(S1/S2), 0}.

La vitesse d'un point M quelconque de (S1) par rapport à (S2) est : v_M(S1/S2) = Ω(S1/S2) ∧ OM.

IV.2.5. Solide à 2 degrés de liberté

Exemple : la liaison verrou ou pivot glissant. Cette liaison comporte une rotation et une translation. Un solide (S1) est soumis à une liaison verrou d'axe (A, k) par rapport à un solide (S2), si les seuls mouvements possibles de (S1) par rapport à (S2) sont la rotation autour de l'axe (A, k) et la translation rectiligne parallèle à l'axe (A, k).

Le vecteur de rotation de (S1) par rapport à (S2) est : Ω(S1/S2) = ϕ̇ k.

La vitesse du point A (0, 0, z) de (S1) par rapport à (S2) n'est pas nulle : v_A(S1/S2) = ż k.

Le torseur cinématique de la liaison verrou d'axe (A, k) de (S1) par rapport à un solide (S2) n'est pas un glisseur. Ses éléments de réduction au point A dans la base (i, j, k) sont : {ϕ̇ k, ż k}.

La vitesse d'un point M quelconque de (S1) par rapport à (S2) est : v_M(S1/S2) = v_A(S1/S2) + Ω(S1/S2) ∧ AM = ż k + ϕ̇ k ∧ AM.

IV.2.6. Solide à 1 degré de liberté

Dans ce cas, (S1) effectue un seul mouvement de rotation ou un seul mouvement de translation. On distingue deux liaisons principales :

Liaison rotoïde (Pivot)
Liaison glissière

Liaison rotoïde (Pivot) : Un solide (S1) est soumis à une liaison pivot d'axe (A, k) par rapport à un solide (S2), si le seul mouvement possible de (S1) par rapport à (S2) est la rotation autour de l'axe (A, k).

Le vecteur de rotation de (S1) par rapport à (S2) est : Ω(S1/S2) = ϕ̇ k.

La vitesse du point A (0, 0, z) de (S1) par rapport à (S2) est nulle : v_A(S1/S2) = 0.

Le torseur cinématique de la liaison pivot d'axe (A, k) de (S1) par rapport à un solide (S2) est un glisseur. Ses éléments de réduction au point A dans la base (i, j, k) sont : {ϕ̇ k, 0}.

La vitesse d'un point M quelconque de (S1) par rapport à (S2) est : v_M(S1/S2) = Ω(S1/S2) ∧ AM = ϕ̇ k ∧ AM.

Liaison glissière : Un solide (S1) est soumis à une liaison glissière d'axe (A, i) par rapport à un solide (S2), si le seul mouvement possible de (S1) par rapport à (S2) est la translation rectiligne suivant l'axe (A, i).

Le vecteur de rotation de (S1) par rapport à (S2) est : Ω(S1/S2) = 0.

La vitesse du point A (x, 0, 0) de (S1) par rapport à (S2) n'est pas nulle : v_A(S1/S2) = ẋ i.

Le torseur cinématique de la liaison glissière d'axe (A, i) de (S1) par rapport à un solide (S2) est un torseur couple. Ses éléments de réduction au point A dans la base (i, j, k) sont : {0, ẋ i}.

La vitesse d'un point M quelconque de (S1) par rapport à (S2) est : v_M(S1/S2) = ẋ i.

FAQ

Qu'est-ce qu'un torseur cinématique ?

Un torseur cinématique est un outil mathématique utilisé en mécanique pour représenter de manière compacte le champ des vecteurs vitesses de tous les points d'un solide en mouvement. Il est défini par une résultante (le vecteur de rotation du solide) et un moment (le vecteur vitesse d'un point choisi, appelé point de réduction) en tout point de l'espace.

Quand l'accélération de Coriolis est-elle nulle ?

L'accélération de Coriolis est nulle dans trois cas principaux : si le référentiel relatif est en mouvement de translation pure (son vecteur de rotation est nul), si le point étudié est fixe par rapport au référentiel relatif (sa vitesse relative est nulle), ou si le vecteur de rotation du référentiel relatif et le vecteur vitesse relative du point sont colinéaires.

Quelle est la différence entre roulement sans glissement et roulement avec pivotement ?

Le roulement sans glissement se produit lorsque la vitesse de glissement entre deux solides en contact ponctuel est nulle. Cela signifie que les points de contact des deux solides ont la même vitesse. Le roulement avec pivotement, en revanche, implique que le vecteur de rotation instantané entre les deux solides possède une composante normale au plan de contact (Ω_n), en plus d'une composante tangentielle (Ω_t) et potentiellement d'une vitesse de glissement (v_g). Le pivotement correspond à une rotation autour de l'axe normal au plan tangent de contact.