Correction mécanique quantique -Mécanique quantique - Téléch
Télécharger PDFCorrection du TD N°6 par le Pr. HABBOU
Solution de l’exercice 1
- La mesure à l'instant t = 0 de l'énergie du système donne comme résultats les valeurs propres de l’opérateur Hamiltonien du système, d’après les équations aux valeurs propres.
- H | u1 > = ħω0 | u1 >
- H | u2 > = 2ħω0 | u2 >
- H | u3 > = 2ħω0 | u3 >
- E1 = ħω0 (valeur propre simple)
- E2 = 2ħω0 (valeur propre double)
Avec |Ψ0⟩ = (1/√2)|u1⟩ + (1/2)|u2⟩ + (1/2)|u3⟩ :- Pr (ħω0) = |< u1 | Ψ0 >|2 = |1/√2|2 = 1/2
- Pr (2ħω0) = |< u2 | Ψ0 >|2 + |< u3 | Ψ0 >|2 = |1/2|2 + |1/2|2 = 1/4 + 1/4 = 1/2
- La valeur moyenne de H est :
< Ψ0 | H |Ψ0 > = (1/√2)2 E1 + (1/2)2 E2 + (1/2)2 E2
L'écart quadratique moyen ΔH est : ΔH = √⟨H2⟩ − ⟨H⟩2
< Ψ0 | H |Ψ0 > = (1/2) ħω0 + (1/4) (2ħω0) + (1/4) (2ħω0)
< Ψ0 | H |Ψ0 > = (1/2) ħω0 + (1/2) ħω0 + (1/2) ħω0 = (3/2)ħω0
Calculons ⟨H2⟩ :⟨ H2⟩ = <Ψ0|H2|Ψ0> = (1/√2)2 E12 + (1/2)2 E22 + (1/2)2 E22
ΔH = √((5/2)(ħω0)2 − ((3/2)ħω0)2) = √(5/2 − 9/4)ħω0 = √(10/4 − 9/4)ħω0 = √(1/4)ħω0 = (1/2)ħω0
⟨ H2⟩ = (1/2) (ħω0)2 + (1/4) (2ħω0)2 + (1/4) (2ħω0)2
⟨ H2⟩ = (1/2) (ħω0)2 + (1/4) (4ħ2ω02) + (1/4) (4ħ2ω02)
⟨ H2⟩ = (1/2) (ħω0)2 + (ħω0)2 + (ħω0)2 = (5/2)(ħω0)2 - Les résultats de mesure de l’observable A sont les valeurs propres de A.
Détermination des valeurs propres de A
Soit la matrice A dans la base {|u1⟩, |u2⟩, |u3⟩} :A = (a 0 0
Pour trouver les valeurs propres, on résout det (A - λI) = 0 :
0 0 a
0 a 0)|a - λ 0 0
Le polynôme caractéristique est : (a - λ) [(λ)2 – a2] = 0 ⇒ (a - λ) (λ + a) (λ - a) = 0
0 -λ a
0 a -λ| = 0
Les solutions de ce polynôme sont :- λ = a (valeur propre double)
- λ = -a (valeur propre simple)
D’après l’équation aux valeurs propres : A | u1 > = a | u1 > ; λ = a est une valeur propre associée au vecteur propre | v1 > = | u1 >.
Faisons maintenant une restriction de la base aux 2 dimensions engendrées par {| u2 >,| u3 >}, et notons l’opérateur associé Ã.Ã = a (0 1
det (Ã − λI) = |-λ a
1 0)
a -λ| = λ2 – a2 = 0 ⇒ λ = a et λ = -aVecteur propre associé à λ = a
Soit | v2 > = α | u2 > + β | u3 >
à | v2 > = a | v2 >a (0 1
Et le vecteur propre doit être normé, donc : | α |2 + | β |2 = 1 ⇒ 2 | α |2 = 1 ⇒ | α | = 1/√2. On prend α = 1/√2.
1 0) (α
β) = a (α
β) ⇒ α = β
Donc : | v2 > = (1/√2)| u2 > + (1/√2)| u3 >Vecteur propre associé à λ = -a
Soit | v3 > = α’ | u2 > + β’ | u3 >
à | v3 > = -a | v3 >a (0 1
Et le vecteur propre doit être normé, donc : | α’ |2 + | β’ |2 = 1 ⇒ 2 | α’ |2 = 1. On prend α’ = 1/√2.
1 0) (α’
β’) = -a (α’
β’) ⇒ α’ = -β’
Donc : | v3 > = (1/√2)| u2 > - (1/√2)| u3 >
La probabilité de trouver la valeur propre a, qui est double, est :Pr (a) = |< v1 | Ψ0 >|2 + |< v2 | Ψ0 >|2
Pr (-a) = |< v3 | Ψ0 >|2
= |< u1 | Ψ0 >|2 + | (1/√2) (< u2 | Ψ0 > + < u3 | Ψ0 >) |2
= |1/√2|2 + |(1/√2) (1/2 + 1/2)|2 = 1/2 + |1/√2|2 = 1/2 + 1/2 = 1
= | (1/√2) (< u2 | Ψ0 > - < u3 | Ψ0 >) |2
= |(1/√2) (1/2 - 1/2)|2 = |0|2 = 0Le vecteur d’état immédiatement après la mesure
Lors de la mesure de l’observable A, on trouve comme résultat a avec une probabilité non nulle (Pr(a)=1).
Le vecteur d’état immédiatement après la mesure est donné par la postulat de projection : Pa | Ψ0 〉 / √⟨Ψ0 | Pa | Ψ0⟩, où Pa est le projecteur sur le sous-espace propre associé à la valeur propre a.
Puisque Pr(a)=1 et Pr(-a)=0, l'état initial |Ψ0⟩ est déjà entièrement contenu dans le sous-espace propre de A associé à la valeur propre a.
En effet, Pa | Ψ0 〉 = | v1 ⟩⟨ v1 | Ψ0 ⟩ + | v2 ⟩⟨ v2 | Ψ0 ⟩
= (1/√2) | v1 ⟩ + (1/√2) | v2 ⟩ = (1/√2) | u1 ⟩ + (1/√2) [(1/√2)|u2⟩ + (1/√2)|u3⟩]
= (1/√2) | u1 ⟩ + (1/2) | u2 ⟩ + (1/2) | u3 ⟩ = | Ψ0 ⟩.
La norme est √⟨Ψ0 | Pa | Ψ0⟩ = √⟨Ψ0 | Ψ0⟩ = 1.
Donc le vecteur d’état immédiatement après la mesure est | Ψ0⟩. - Le vecteur d’état |Ψ(t)⟩ du système à l’instant t.
On développe | Ψ0 〉 sur la base des états propres de H :
| Ψ0 〉 = ∑n,τ cn,τ (0) | ϕn,τ 〉 avec cn,τ (0) = 〈 ϕn,τ | Ψ0 〉
- H | u1 > = ħω0 | u1 > ⇒ c1(0) = 〈 u1 | Ψ0 〉 = 1/√2
- H | u2 > = 2ħω0 | u2 > ⇒ c2,1(0) = 〈 u2 | Ψ0 〉 = 1/2
- H | u3 > = 2ħω0 | u3 > ⇒ c2,2(0) = 〈 u3 | Ψ0 〉 = 1/2
En prenant t0 = 0 :| Ψ(t) 〉 = ∑n,τ cn,τ(0)exp[− i En t / ħ] | ϕn,τ 〉
| Ψ(t) 〉 = c1(0)exp[− i E1 t / ħ] | u1〉 + c2,1(0)exp[− i E2 t / ħ] | u2〉 + c2,2(0)exp[− i E2 t / ħ] | u3〉
Sachant E1 = ħω0 et E2 = 2ħω0 :
| Ψ(t) 〉 = (1/√2)exp(− i ω0 t) | u1〉 + (1/2)exp(− i 2ω0 t) | u2〉 + (1/2)exp(− i 2ω0 t) | u3〉
Solution de l’exercice 2
- H est une observable, donc H est un opérateur hermitien (H = H†).
H = (A1 W
Pour que H soit hermitien, les éléments diagonaux doivent être réels (A1 = A1* et A2 = A2*), et les éléments non diagonaux doivent être conjugués (W = W*). Par conséquent, A1, A2 et W sont des réels.
W* A2) - Si A1 = A2 = 0, alors :
H = (0 W
a) Les valeurs propres de H sont obtenues en résolvant det (H − λI) = 0 :
W 0)|-λ W
W -λ| = λ2 – W2 = 0 ⇒ λ = W et λ = -WVecteur propre associé à λ = W
Soit | v1 > = α | ϕ1 > + β | ϕ2 >
H | v1 > = W | v1 >W (0 1
Et le vecteur propre doit être normé, donc : | α |2 + | β |2 = 1 ⇒ 2 | α |2 = 1 ⇒ | α | = 1/√2. On prend α = 1/√2.
1 0) (α
β) = W (α
β) ⇒ α = β
Donc : | v1 > = (1/√2)| ϕ1 > + (1/√2)| ϕ2 >Vecteur propre associé à λ = -W
Soit | v2 > = α’ | ϕ1 > + β’ | ϕ2 >
H | v2 > = -W | v2 >W (0 1
Et le vecteur propre doit être normé, donc : | α’ |2 + | β’ |2 = 1 ⇒ 2 | α’ |2 = 1. On prend α’ = 1/√2.
1 0) (α’
β’) = -W (α’
β’) ⇒ α’ = -β’
Donc : | v2 > = (1/√2)| ϕ1 > - (1/√2)| ϕ2 >
b) L’état du système à l’instant t = 0 est | Ψ(0) > = |ϕ1>
i) L’expression de |ϕ1> et |ϕ2> en fonction de |v1> et |v2>.- | v1 > = (1/√2)| ϕ1 > + (1/√2)| ϕ2 > (1)
- | v2 > = (1/√2)| ϕ1 > - (1/√2)| ϕ2 > (2)
(1) - (2) donne : | ϕ2 > = (1/√2)| v1 > - (1/√2)| v2 >
ii) La probabilité Pr de trouver le système dans l'état | ϕ2 >.Pr (| ϕ2 >) = |< ϕ2 | Ψ(0) >|2 = |< ϕ2 | ϕ1 >|2 = 0 (car les états |ϕ1⟩ et |ϕ2⟩ sont orthogonaux)
Solution de l’exercice 3
- La probabilité de présence de la particule à l’extérieur du puits est nulle. La probabilité de présence est égale au module au carré de la fonction d’onde, |Ψ(x, t) |2 = 0 ⇒ Ψ(x, t) = 0.
- L’équation de Schrödinger indépendante du temps est, dans l’intervalle 0 ≤ x ≤ a :
- (ħ2 / 2m) d2ϕ(x)/dx2 = E ϕ(x)
Cette équation différentielle admet comme solution : ϕ(x) = A eikx + A’ e-ikx avec k2 = 2mE / ħ2
d2ϕ(x)/dx2 + (2mE / ħ2) ϕ(x) = 0Condition de continuité au point x = 0
ϕ(0-) = ϕ(0+) ⇒ 0 = A + A’ ⇒ A’ = - A
La forme de la fonction d’onde devient : ϕ(x) = A eikx - A e-ikx = 2iA sin (kx) = B sin (kx)Condition de continuité au point x = a
ϕ(a-) = ϕ(a+) ⇒ B sin (ka) = 0 ⇒ sin (ka) = 0 car B ≠ 0
k a = n π ⇒ k = n π / a avec n ∈ ℤ (n ≠ 0 pour avoir une solution non triviale)Normalisation de ϕ(x) pour déterminer B
∫0a |ϕ(x)|2 dx = 1
|B|2 ∫0a sin2(kx) dx = 1
|B|2 ∫0a (1/2)(1 - cos(2kx)) dx = 1
En utilisant k = nπ/a, l'intégrale vaut ∫0a (1/2)(1 - cos(2nπx/a)) dx = (1/2) [x - (a/(2nπ))sin(2nπx/a)]0a = (1/2) [a - 0] = a/2.
Donc, |B|2 (a/2) = 1 ⇒ |B| = √(2/a).
Nous choisirons B réel positif ⇒ B = √(2/a).
La fonction d’onde normée s’écrit : ϕ(x) = √(2/a) sin (kx).
Puisque E = ħ2 k2 / (2m) et kn = nπ/a :En = ħ2 n2 π2 / (2ma2)
Avec E0 = ħ2 π2 / (2ma2) (énergie de l'état fondamental n=1, souvent notée E1).
D’où En = E0 n2.
L’énergie est quantifiée parce qu’elle ne prend que des valeurs discrètes En = E0 n2.
L’expression de la fonction d’onde ϕn(x) est : ϕn(x) = √(2/a) sin (nπx/a). -
a) L’état de la particule à l’instant t = 0 est : | Ψ(0) 〉 = a1 | ϕ1 〉 + a2 | ϕ2 〉 + a3 | ϕ3 〉 + a4 | ϕ4 〉
L’énergie est quantifiée et prend les valeurs discrètes En = E0 n2 :- E1 = E0 = ħ2π2 / (2ma2)
- E2 = 4 E0 = 4 ħ2π2 / (2ma2)
- E3 = 9 E0 = 9 ħ2π2 / (2ma2)
Seule E1 = E0 est inférieure à 3E0 (E2 = 4E0 n'est pas inférieure).- Pr(E1) = |〈 ϕ1 | Ψ(0) 〉|2 = | a1 |2
- Pr(E2) = |〈 ϕ2 | Ψ(0) 〉|2 = | a2 |2
b) Détermination de la valeur moyenne de l’énergie de la particule dans l'état | Ψ(0) 〉〈 H 〉 = 〈 Ψ(0) | H | Ψ(0) 〉
c) Lors d’une mesure de l’énergie, on trouve le résultat (16π2ħ2 / (2ma2)).
H | Ψ(0) 〉 = a1 E1| ϕ1 〉 + a2 E2| ϕ2 〉 + a3 E3| ϕ3 〉 + a4 E4| ϕ4 〉
〈 H 〉 = 〈 Ψ(0) | H | Ψ(0) 〉 = | a1 |2 E1 + | a2 |2 E2 + | a3 |2 E3 + | a4 |2 E4
Pour trouver l'indice n correspondant à cette énergie, on utilise En = E0 n2.En = E0 n2 = 16π2ħ2 / (2ma2)
Le vecteur d’état immédiatement après la mesure est donné par le postulat de projection. Si l'on mesure E4, le projecteur P4 est associé au vecteur | ϕ4 〉.
Comme E0 = ħ2π2 / (2ma2), on a :
E0 n2 = 16 E0 ⇒ n2 = 16 ⇒ n = 4P4 | Ψ(0) > = | ϕ4 〉 〈 ϕ4| Ψ(0) > = a4 | ϕ4 〉
Donc le vecteur d’état immédiatement après la mesure est | ϕ4 〉 (normalisé).
La normalisation est donnée par : √⟨Ψ(0) | P4 |Ψ(0)> = √⟨Ψ(0) | a4 | ϕ4 ⟩ = √|a4|2 = |a4|
Solution de l’exercice 4
-
a) Équation aux valeurs propres : L | φm 〉 = m | φm 〉 ou L φm = m φm
Avec l'opérateur L = (1/i) (d/dθ) :(1/i) (d/dθ) φm = m φm
⇒ dφm / φm = i m dθ
∫ dφm / φm = ∫ i m dθ
⇒ ln φm = i m θ + C' (où C' est une constante d'intégration)
⇒ φm = C eimθDétermination de la constante de normalisation C :
Les fonctions propres sont normalisées sur l'intervalle [0, 2π] :∫02π |φm|2 dθ = 1
Donc φm = (1/√(2π)) eimθ.
∫02π |C eimθ|2 dθ = ∫02π |C|2 dθ = |C|2 [θ]02π = |C|2 (2π) = 1
⇒ |C| = 1/√(2π). On choisit C = 1/√(2π).
b) Propriété que doit vérifier m : Les fonctions d'onde doivent être uniformes, donc φm (0) = φm (2π).φm (0) = 1/√(2π)
En égalisant les deux expressions : cos(2πm) + i sin(2πm) = 1
φm (2π) = (1/√(2π)) eim(2π) = (1/√(2π)) [cos(2πm) + i sin(2πm)]
Cela implique cos(2πm) = 1 et sin(2πm) = 0.
Par conséquent, m doit être un entier (m ∈ ℤ). - L'état du système est décrit par une fonction d'onde Ψ = A cos2θ. Cherchons la valeur de A pour que Ψ soit normée.
∫02π |Ψ|2 dθ = 1 ⇒ ∫02π |A cos2θ|2 dθ = 1
Nous utilisons l'identité cos2θ = (1 + cos(2θ))/2, donc cos4θ = ((1 + cos(2θ))/2)2 = (1/4)(1 + 2cos(2θ) + cos2(2θ)).
A2 ∫02π cos4θ dθ = 1
En substituant cos2(2θ) = (1 + cos(4θ))/2 :cos4θ = (1/4) [1 + 2cos(2θ) + (1 + cos(4θ))/2] = (1/4) [3/2 + 2cos(2θ) + (1/2)cos(4θ)]
Intégrons de 0 à 2π :∫02π cos4θ dθ = (1/4) ∫02π [3/2 + 2cos(2θ) + (1/2)cos(4θ)] dθ
Ainsi, A2 (3π/4) = 1 ⇒ A2 = 4/(3π) ⇒ A = 2/√(3π) (en choisissant la constante réelle et positive).
= (1/4) [ (3/2)θ + sin(2θ) + (1/8)sin(4θ) ]02π
= (1/4) [ (3/2)(2π) + 0 + 0 ] = (1/4) (3π) = 3π/4
L'état du système est donc : Ψ = (2/√(3π)) cos2θ. - L’expression de Ψ en fonction des fonctions propres φm.
On part de Ψ = A cos2θ = (2/√(3π)) cos2θ.
En utilisant cos θ = (eiθ + e-iθ)/2 :Ψ = (2/√(3π)) [ (eiθ + e-iθ)/2 ]2
En introduisant φm = (1/√(2π)) eimθ (donc eimθ = √(2π) φm) :
Ψ = (2/√(3π)) [ (1/4) (ei2θ + 2 + e-i2θ) ]
Ψ = (1/(2√(3π))) [ 2 + ei2θ + e-i2θ ]Ψ = (1/(2√(3π))) [ 2√(2π)φ0 + √(2π)φ2 + √(2π)φ-2 ]
Alternativement, en gardant la forme du texte original qui a été vérifiée comme correcte pour la normalisation :
Ψ = (√(2π) / (2√(3π))) [ 2φ0 + φ2 + φ-2 ]
Ψ = √(π) / (√(3π)√(2)) [ 2φ0 + φ2 + φ-2 ] = (1/√6) [ 2φ0 + φ2 + φ-2 ]Ψ = √(8/3) [ (1/2)φ0 + (1/4)φ2 + (1/4)φ-2 ]
- Les valeurs possibles de m sont : m = 0, 2 et -2. Ces valeurs correspondent aux termes eimθ présents dans l'expansion de Ψ.
- La probabilité, Pr(m), de trouver chaque valeur de m est donnée par le module carré des coefficients de l'expansion de Ψ dans la base orthonormée {|φm⟩}.
À partir de Ψ = √(8/3) [ (1/2)φ0 + (1/4)φ2 + (1/4)φ-2 ], les coefficients sont :
- c0 = √(8/3) * (1/2) = √(2/3)
- c2 = √(8/3) * (1/4) = √(8/48) = √(1/6) = 1/√6
- c-2 = √(8/3) * (1/4) = 1/√6
Pr (m=0) = |c0|2 = |√(2/3)|2 = 2/3
La somme des probabilités est 2/3 + 1/6 + 1/6 = 4/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1.
Pr (m=2) = |c2|2 = |1/√6|2 = 1/6
Pr (m=-2) = |c-2|2 = |1/√6|2 = 1/6 - Calculer la valeur moyenne < L > dans l'état Ψ.
⟨ L ⟩ = ⟨ Ψ | L | Ψ ⟩
En utilisant l'expansion de Ψ et les propriétés des fonctions propres (L |φm⟩ = m |φm⟩) :⟨ L ⟩ = (2/3) * 0 + (1/6) * 2 + (1/6) * (-2)
Détail du calcul (selon la méthode du texte pour plus de clarté) :
⟨ L ⟩ = 0 + 1/3 - 1/3 = 0⟨ Ψ | L | Ψ ⟩ = √(8/3) [ (1/2)⟨ φ0 | + (1/4)⟨ φ2 | + (1/4)⟨ φ-2 | ]
L √(8/3) [ (1/2)| φ0 ⟩ + (1/4)| φ2 ⟩ + (1/4)| φ-2 ⟩ ]
= (8/3) [ (1/2)⟨ φ0 | + (1/4)⟨ φ2 | + (1/4)⟨ φ-2 | ]
[ (1/2) (0) | φ0 ⟩ + (1/4) (2) | φ2 ⟩ + (1/4) (-2) | φ-2 ⟩ ]
= (8/3) [ (1/2)⟨ φ0 | + (1/4)⟨ φ2 | + (1/4)⟨ φ-2 | ] [ (1/2)| φ2 ⟩ - (1/2)| φ-2 ⟩ ]
En utilisant l'orthonormalité des fonctions propres (⟨φi|φj⟩ = δij) :
= (8/3) [ (1/4) (1/2)⟨ φ2 | φ2 ⟩ + (1/4) (-1/2)⟨ φ-2 | φ-2 ⟩ ]
= (8/3) [ 1/8 - 1/8 ] = (8/3) * 0 = 0
FAQ
Qu'est-ce qu'une valeur propre double ou simple en mécanique quantique ?
En mécanique quantique, une valeur propre d'un opérateur correspond aux résultats possibles de la mesure de l'observable associée. Une valeur propre est dite "simple" (ou non dégénérée) si un seul état quantique (ou une direction unique dans l'espace des états) lui est associé. Elle est dite "double" (ou dégénérée) si au moins deux états quantiques linéairement indépendants lui correspondent. En général, la dégénérescence indique qu'il existe plusieurs états distincts qui partagent la même valeur mesurée pour une certaine observable.
Comment interpréter le vecteur d'état immédiatement après une mesure ?
Selon le postulat de projection, si une observable A est mesurée et que la valeur propre an est obtenue, le système se projette instantanément sur le sous-espace propre En associé à cette valeur propre. L'état du système immédiatement après la mesure est la projection normalisée de l'état avant mesure sur En. Si l'état avant mesure est déjà un état propre (ou une superposition d'états propres) correspondant uniquement à la valeur an, l'état après mesure reste inchangé (à un facteur de phase près).
Pourquoi l'énergie est-elle quantifiée pour une particule dans un puits de potentiel infini ?
Pour une particule confinée dans un puits de potentiel infini (c'est-à-dire une boîte), les fonctions d'onde doivent satisfaire des conditions aux limites strictes (la fonction d'onde doit être nulle aux bords du puits). Ces conditions imposent des restrictions sur les valeurs possibles du nombre d'onde k, qui ne peut prendre que des valeurs discrètes (kn = nπ/a). Puisque l'énergie de la particule est directement liée au carré du nombre d'onde (E = ħ2k2/2m), cela signifie que seules certaines valeurs discrètes d'énergie sont autorisées. Ce phénomène est appelé quantification de l'énergie et est une caractéristique fondamentale des systèmes quantiques confinés.