Correction mécanique quantique -Mécanique quantique - Téléch
Télécharger PDFAlgèbre des commutateurs : Observables X, Px et H
Ce document présente la correction de la série d'exercices n° 5 sur l'algèbre des commutateurs, en se concentrant sur les observables de position (X), impulsion (Px) et Hamiltonien (H) en mécanique quantique. Les commutateurs sont des outils fondamentaux pour comprendre les relations entre les opérateurs en mécanique quantique et leurs implications sur la mesure simultanée des grandeurs physiques.
Exercice 1 : Calculs de commutateurs et propriétés des opérateurs
1) Calcul des commutateurs fondamentaux
a) Application du commutateur [X, Px] sur une fonction f(x) :
Le commutateur [X, Px] est un concept fondamental en mécanique quantique, représentant l'incertitude intrinsèque entre la position et l'impulsion d'une particule.
[X, Px] f(x) = (X Px - PxX) f(x) = X Px f(x) - PxX f(x)
= X (iħ) (d/dx) f(x) - Px(x f(x))
= iħ X f’(x) - (x (iħ) f’(x)) - (iħ) f(x)
= iħ x f’(x) - iħ x f’(x) - iħ f(x)
= iħ f(x)
Donc le commutateur [X, Px] = iħ
b) Calcul du commutateur [X, (Px)2] et de [X2, Px] :
➔ [X, (Px)2] = [X, PxPx] = Px[X, Px] + [X, Px] Px
Comme le commutateur [X, Px] = iħ
Alors le commutateur [X, (Px)2] = 2 iħ Px
➔ [X2, Px] = [X X, Px] = X [X, Px] + [X, Px] X
Comme le commutateur [X, Px] = iħ
Alors le commutateur [X2, Px] = 2 iħ X
c) Démonstration de [X, (Px)n] = iħ n (Px)n-1 par récurrence :
Cette démonstration par récurrence prouve la généralisation de la relation fondamentale de commutation.
Cette proposition est vraie pour n = 1 car le commutateur [X, Px] = iħ.
Nous supposons qu'elle est vraie pour n et montrons qu’elle est vraie pour n+1.
[X, (Px)n+1] = [X, (Px)n(Px)] = (Px)n [X,Px] + [X, (Px)n]Px
= iħ (Px)n + iħ n (Px)n-1Px
= iħ (Px)n + iħ n (Px)n
= iħ (n+1) (Px)n
Donc vraie pour n+1, alors la proposition est vraie pour tout n entier positif.
d) Démonstration de [Px, Xn] = -iħ n (X)n-1 par récurrence :
Cette démonstration est similaire à la précédente et confirme la relation pour l'opérateur d'impulsion.
Cette proposition est vraie pour n = 1 car le commutateur [Px, X] = -iħ.
Nous supposons qu'elle est vraie pour n et montrons qu’elle est vraie pour n+1.
[Px, Xn+1] = [Px, (X)n(X)] = (X)n [Px,X] + [Px, (X)n]X
= -iħ (X)n + [-iħ n (X)n-1]X
= -iħ (X)n - iħ n (X)n
= -iħ (n+1) (X)n
Donc vraie pour n+1, alors la proposition est vraie pour tout n entier positif.
2) Opérateurs adjoints et commutateurs pour A et Q
Les opérateurs A et Q sont définis par : A = a X + i b Px et Q = A+A.
a) Opérateurs adjoints A+ et Q+ :
Puisque X et Px sont des observables, ce sont des opérateurs hermitiens : X = X+ et Px = (Px)+. Puisque a et b sont des nombres réels et positifs, alors a = a* et b = b*.
L’opérateur adjoint A+ associé à A :
A+ = (a X + i b Px)+ = a* X+ + (i b)* (Px)+ = a X - i b Px
L’opérateur adjoint Q+ associé à Q est :
Q+ = (A+A)+ = A+ (A+)+ = A+ A = Q
Q = (a X - i b Px) (a X + i b Px)
= a² X² + i a b XPx - i a b PxX + b² (Px)²
= (a² X² + b² (Px)²) + i a b [X, Px]
= (a² X² + b² (Px)²) + i a b (iħ)
= (a² X² + b² (Px)²) - a b ħ
b) Calculs des commutateurs [A, A+], [Q, A] et [Q, A+] :
Calcul du commutateur [A, A+] :
[A, A+] = A A+ - A+A
= (a X + i b Px) (a X - i b Px) - (a X - i b Px) (a X + i b Px)
= {a² X² - i a b XPx + i a b PxX + b² (Px)²} - {a² X² + i a b XPx - i a b PxX + b² (Px)²}
= - 2 i a b XPx + 2 i a b PxX
= -2 i a b [X, Px]
[A, A+] = -2 i a b (iħ) = 2 a b ħ
Calcul du commutateur [Q, A] :
[Q, A] = QA – AQ = (A+A)A - A(A+A) = A+AA - AAA+
= (A+A - AA+)A (en utilisant [A,A]=0)
= - [A, A+] A
[Q, A] = - 2 a b ħ A
Calcul du commutateur [Q, A+] :
[Q, A+] = QA+ – A+Q = (A+A)A+ – A+(A+A) = A+AA+ – A+A+A
= A+ (AA+ – A+A)
= A+ [A, A+]
[Q, A+] = 2 a b ħ A+
3) Relation entre Q et H et formation d'un ECOC
a) Relation entre Q et H :
Q = A+A = (a X - i b Px) (a X + i b Px)
= a² X² + i a b XPx - i a b PxX + b² (Px)²
= a² X² + b² (Px)² + i a b (XPx - PxX)
= a² X² + b² (Px)² + i a b [X, Px]
= a² X² + b² (Px)² + i a b (iħ)
= a² X² + b² (Px)² - a b ħ
Si l'Hamiltonien H est donné par H = a² X² + b² (Px)², alors :
Q = H - a b ħ Id
b) Montrer que Q et H forment un ECOC (Ensemble Complet d'Observables qui Commutent) :
Un ECOC est un ensemble d'observables qui commutent toutes entre elles et qui permettent de définir une base unique de vecteurs propres communs. Cela est crucial pour la mesure simultanée de plusieurs propriétés d'un système. Le spectre de H est discret et non dégénéré. Les valeurs propres normalisées de H seront notées respectivement En et |ψn⟩.
L’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien H est : H |ψn⟩ = En |ψn⟩
Voyons l’action de l’opérateur Q sur le ket |ψn⟩, qui est un vecteur propre de H.
Q |ψn⟩ = (H - a b ħ Id) |ψn⟩ = H |ψn⟩ - a b ħ Id |ψn⟩ = En |ψn⟩ - a b ħ |ψn⟩
Q |ψn⟩ = (En - a b ħ) |ψn⟩
À partir de cette équation aux valeurs propres, les vecteurs |ψn⟩ sont aussi des vecteurs propres de Q associés aux valeurs propres (En - a b ħ). De ce fait, les vecteurs propres |ψn⟩ sont des vecteurs propres communs aux 2 observables Q et H, avec des valeurs propres différentes. Puisqu'il existe une base formée de vecteurs propres communs, Q et H forment un ECOC.
4) Valeurs propres de Q
Soit qn une valeur propre de Q associée à l'état |ψn⟩.
a) Relation entre qn et En :
L’équation aux valeurs propres est : Q |ψn⟩ = qn |ψn⟩
En utilisant la relation Q = H - a b ħ Id, nous avons :
Q |ψn⟩ = (H - a b ħ Id) |ψn⟩ = H |ψn⟩ - a b ħ Id |ψn⟩ = En |ψn⟩ - a b ħ |ψn⟩
D’où : qn = En - a b ħ
b) Spectre non dégénéré de Q :
Les valeurs propres En sont non dégénérées. Par conséquent, les valeurs propres qn sont également non dégénérées, puisque (qn = En - a b ħ). On en déduit que le spectre de Q est non dégénéré.
5) Valeur propre E0 de H associée à q0 = 0
a) Calcul de E0 :
Nous avons la relation H = Q + a b ħ Id. En appliquant cet opérateur à l'état fondamental |ψ0⟩ :
H |ψ0⟩ = E0 |ψ0⟩ = (Q + a b ħ Id) |ψ0⟩ = Q |ψ0⟩ + a b ħ Id |ψ0⟩
Puisque q0 est la valeur propre de Q associée à |ψ0⟩, et que nous considérons q0 = 0 :
= q0|ψ0⟩ + a b ħ |ψ0⟩ = (0 + a b ħ ) |ψ0⟩
D’où : E0 = a b ħ
b) Montrer que A |ψ0⟩ = 0 :
On sait que : Q |ψ0⟩ = q0 |ψ0⟩ = 0 |ψ0⟩
Et que : Q |ψ0⟩ = (A+A) |ψ0⟩ = 0 |ψ0⟩
⇒ A+(A |ψ0⟩) = 0 |ψ0⟩
Puisque A+ est un opérateur non nul et que |ψ0⟩ est un état normalisé (donc non nul), cette équation implique que A |ψ0⟩ doit être nul.
Donc : A |ψ0⟩ = 0
6) Action des opérateurs A et A+ sur les vecteurs propres de Q
Nous avons calculé les commutateurs : [Q, A] = - 2 a b ħ A et [Q, A+] = 2 a b ħ A+
Appliquons le commutateur [Q, A] sur |ψn⟩ :
[Q, A] |ψn⟩ = (QA - AQ) |ψn⟩ = QA |ψn⟩ - AQ |ψn⟩ = QA |ψn⟩ - A qn|ψn⟩
Donc : - 2 a b ħ A|ψn⟩ = QA |ψn⟩ - qnA|ψn⟩
⇒ Q (A|ψn⟩) = qn(A|ψn⟩) - 2 a b ħ (A|ψn⟩)
Q (A|ψn⟩) = (qn - 2 a b ħ) (A|ψn⟩)
Cette équation aux valeurs propres de Q montre que (A|ψn⟩) est un vecteur propre de Q avec la valeur propre (qn - 2 a b ħ).
Appliquons le commutateur [Q, A+] sur |ψn⟩ :
[Q, A+] |ψn⟩ = (QA+ - A+Q) |ψn⟩ = QA+ |ψn⟩ - A+Q |ψn⟩ = QA+ |ψn⟩ - A+qn|ψn⟩
Donc : 2 a b ħ A+|ψn⟩ = QA+ |ψn⟩ - qnA+|ψn⟩
⇒ Q (A+|ψn⟩) = qn(A+|ψn⟩) + 2 a b ħ (A+|ψn⟩)
Q (A+|ψn⟩) = (qn + 2 a b ħ) (A+|ψn⟩)
Cette équation aux valeurs propres de Q montre que (A+|ψn⟩) est un vecteur propre de Q avec la valeur propre (qn + 2 a b ħ). Ces opérateurs A et A+ agissent comme des opérateurs d'abaissement et d'élévation pour les valeurs propres de Q, similaires aux opérateurs d'échelle de l'oscillateur harmonique quantique.
Exercice 2 : Opérateurs de projection et commutateurs
a) Calcul de l’adjoint U+(m, n) de U(m, n) :
U+(m, n) = (|ψm⟩ ⟨ψn|)+ = |ψn⟩ ⟨ψm| = U(n, m)
b) Calcul du commutateur [H, U(m, n)] :
[H, U(m, n)] = H U(m, n) - U(m, n) H
= H |ψm⟩ ⟨ψn| - |ψm⟩ ⟨ψn| H
= Em|ψm⟩ ⟨ψn| - |ψm⟩ ⟨ψn| En
= (Em - En) |ψm⟩ ⟨ψn|
[H, U(m, n)] = (Em - En) U(m, n)
c) Propriétés des opérateurs U(m, n) avec une base orthonormée :
Les |ψn⟩ forment une base orthonormée discrète : ⟨ψn|ψq⟩ = δnq
U(m, n ) U+ (p, q ) = |ψm⟩ ⟨ψn| |ψq⟩ ⟨ψp|
= |ψm⟩ ⟨ψn|ψq⟩ ⟨ψp|
= δnq |ψm⟩ ⟨ψp|
= δnq U (m, p)
Exercice 3 : Relation entre commutateurs et éléments de matrice
1) Calcul de l'élément de matrice du commutateur [X, H]
Nous utilisons la relation fondamentale [X, H] = (iħ/m)P, où m est la masse.
D’une part : ⟨ψn| [ X , H ] |ψn’⟩ = (iħ/m) ⟨ψn| P |ψn’⟩ (1)
D’autre part : ⟨ψn| [ X , H ] |ψn’⟩ = ⟨ψn| X H |ψn’⟩ – ⟨ψn| H X |ψn’⟩
= ⟨ψn| X En’|ψn’⟩ – En⟨ψn| X |ψn’⟩
= (En’ – En) ⟨ψn| X |ψn’⟩ (2)
Des 2 relations (1) et (2), on obtient la relation (3) :
⟨ψn| P |ψn’⟩ = (m/iħ) (En’ – En) ⟨ψn| X |ψn’⟩ (3)
2) Relation entre les éléments de matrice de P et X
Multiplions l’équation (3) par son conjuguée :
⟨ψn| P |ψn’⟩ = (m/iħ) (En’ – En) ⟨ψn| X |ψn’⟩ (3)
Le conjugué de l’expression (3) est :
⟨ψn’| P |ψn⟩ = (-m/iħ) (En’ – En) ⟨ψn’| X |ψn⟩ (4)
En multipliant (3) par (4) et en utilisant |⟨ψn| X |ψn’⟩|² = ⟨ψn| X |ψn’⟩⟨ψn’| X |ψn⟩ :
⟨ψn| P |ψn’⟩⟨ψn’| P |ψn⟩ = (m/iħ) (En’ – En) ⟨ψn| X |ψn’⟩ * (-m/iħ) (En’ – En) ⟨ψn’| X |ψn⟩
= (m/ħ)² (En’ – En)² |⟨ψn| X |ψn’⟩|²
On somme ensuite sur les états n’ :
Σn’ ⟨ψn| P |ψn’⟩⟨ψn’| P |ψn⟩ = (m/ħ)² Σn’ (En’ – En)² |⟨ψn| X |ψn’⟩|² (5)
Puisque les |ψn⟩ forment une base complète, la relation de fermeture est : Σn’|ψn’⟩⟨ψn’| = Id
Donc, le membre de gauche devient : ⟨ψn| P (Σn’|ψn’⟩⟨ψn’|) P |ψn⟩ = ⟨ψn| P² |ψn⟩
Ainsi : Σn’ (En’ – En)² |⟨ψn| X |ψn’⟩|² = (ħ/m)²⟨ψn| P² |ψn⟩
FAQ sur les Commutateurs et Opérateurs Quantiques
Qu'est-ce qu'un commutateur en mécanique quantique ?
Un commutateur, noté [A, B] = AB - BA, est un opérateur mathématique qui mesure l'ordre dans lequel deux opérateurs quantiques A et B sont appliqués. Si [A, B] = 0, les opérateurs commutent, ce qui signifie que les observables associées peuvent être mesurées simultanément avec une précision arbitraire. Si [A, B] ≠ 0, ils ne commutent pas, comme c'est le cas pour la position et l'impulsion [X, Px] = iħ, illustrant le principe d'incertitude de Heisenberg.
Pourquoi les opérateurs hermitiens sont-ils importants ?
Les opérateurs hermitiens (ou auto-adjoints) sont cruciaux en mécanique quantique car ils représentent les observables, c'est-à-dire les grandeurs physiques mesurables (comme la position, l'énergie, l'impulsion). Leurs valeurs propres sont toujours réelles, ce qui correspond aux résultats de mesure que l'on obtient expérimentalement. De plus, leurs vecteurs propres associés forment une base complète et orthogonale pour l'espace des états du système.
Qu'est-ce qu'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC) ?
Un ECOC est un ensemble minimal d'opérateurs hermitiens qui commutent deux à deux, et pour lesquels il n'existe pas d'autre opérateur hermitien indépendant qui commute avec tous les membres de l'ensemble. Les vecteurs propres communs à tous les opérateurs d'un ECOC forment une base unique pour l'espace des états du système, permettant de caractériser entièrement et sans ambiguïté un état quantique par les valeurs propres de ces observables. C'est un concept fondamental pour la mesure quantique.