Série n°5 : algèbre des commutateurs observables x, px et h

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Travaux dirigés de Mécanique Quantique : Algèbre des commutateurs, Observables X, P_x et H

Ce document explore l'algèbre des commutateurs pour les observables fondamentales de la mécanique quantique : la position (X), l'impulsion (P_x) et l'hamiltonien (H). Ces concepts sont cruciaux pour comprendre la dynamique des systèmes quantiques et les relations d'incertitude.

Exercice 1 : Algèbre des commutateurs et opérateurs d'échelle

Les observables de position X et d'impulsion P_x décrivent un système quantique à une dimension. L'action de X sur une fonction d'onde f(x) donne xf(x), et l'opérateur P_x en mécanique quantique est défini par P_x = (ℏ/i) (∂/∂x).

a) Montrer que [X, P_x] = iℏ

b) Calculer [X, (P_x)²] et [X², P_x]

c) Montrer que [X, (P_x)ⁿ] = iℏ n (P_x)^n-1

d) Montrer que [P_x, Xⁿ] = -iℏ n X^n-1
Soient les opérateurs A et Q définis par : A = a X + i b P_x et Q = A^†A, où a et b sont des nombres réels positifs.

a) Déterminer les opérateurs adjoints A^† et Q^† associés aux opérateurs A et Q. Rappelons que (XY)^† = Y^†X^† et (cO)^† = c*O^†, et que X et P_x sont hermitiens (X^†=X, P_x^†=P_x).

b) Exprimer les commutateurs [A, A^†], [Q, A] et [Q, A^†] en fonction de a, b, ℏ, A et A^†. Le commutateur [A, A^†] est souvent une constante, essentielle pour définir les relations de commutation canoniques.
L'Hamiltonien H associé à ce système s'écrit : H = a²X² + b²(P_x)². Ce type d'Hamiltonien est caractéristique de l'oscillateur harmonique quantique, où a et b sont liés aux paramètres de masse et de fréquence.

Le spectre de H est discret et non dégénéré. Les valeurs propres et les vecteurs propres normés de H seront notés respectivement E_n et |ψ_n⟩.

a) Donner la relation entre Q et H. L'opérateur Q, défini comme A^†A, est directement lié à H et représente souvent un opérateur nombre ou une quantité conservée.

b) Montrer que Q et H forment un ECOC (Ensemble Complet d'Observables qui Commutent). Un ECOC est un ensemble d'observables qui commutent deux à deux et dont les vecteurs propres communs forment une base complète et non dégénérée de l'espace des états.
Soit q_n une valeur propre de Q associée à |ψ_n⟩.

a) Donner la relation entre q_n et E_n.

b) En déduire que le spectre de Q est non dégénéré. Si Q et H commutent et ont un spectre non dégénéré, leurs vecteurs propres sont les mêmes.
Soit |ψ₀⟩ un vecteur propre de Q associé à la valeur propre q₀ = 0.

a) Quelle est la valeur propre E₀ de H associée à |ψ₀⟩ ? E₀ est l'énergie de l'état fondamental du système.

b) Montrer que A|ψ₀⟩ = 0. Cette relation est fondamentale pour l'état fondamental de l'oscillateur harmonique.
Montrer que A|ψ_n⟩ et A^†|ψ_n⟩ sont des vecteurs propres de Q. En déduire les valeurs propres associées à ces vecteurs propres. Les opérateurs A et A^† sont des opérateurs d'abaissement (annihilation) et d'élévation (création), respectivement, qui transforment un état propre en un autre état propre avec une valeur propre modifiée.

Exercice 2 : Opérateurs de projection et commutateurs

Soit H l'opérateur hamiltonien d'un système physique. On désigne par |ψ_n⟩ les vecteurs propres de H, de valeurs propres E_n. On suppose que les |ψ_n⟩ forment une base orthonormée discrète.

L'opérateur U(m, n) est défini par : U(m, n) = |ψ_m⟩ ⟨ψ_n|. Ces opérateurs sont appelés opérateurs de projection ou opérateurs de transition.

a) Calculer l'adjoint U^†(m, n) de U(m, n).
b) Calculer le commutateur [H, U(m, n)].
c) Démontrer la relation : U(m, n) U^†(p, q) = δ_nq U(m, p). Cette relation met en évidence la propriété d'orthonormalité des vecteurs de base.

Exercice 3 : Relation entre commutateurs et éléments de matrice

On considère dans un problème à une dimension, l'hamiltonien H d'une particule défini par : H = (P²/2m) + V(x). Les vecteurs propres de H sont désignés par |ψ_n⟩ : H |ψ_n⟩ = E_n|ψ_n⟩ où n est un indice discret.

On donne le commutateur : [X, H] = (iℏ/m) P.

Montrer que ⟨ψ_n| P |ψ_n'⟩ = α ⟨ψ_n| X |ψ_n'⟩, où α est un coefficient proportionnel à (E_n' – E_n). Calculer α. Cette relation est une forme du théorème de Hellmann-Feynman, liant les éléments de matrice des opérateurs à la différence d'énergie.
En déduire en utilisant la relation de fermeture l'égalité : Σ_n'(E_n − E_n')²|⟨ψ_n| X |ψ_n'⟩|² = (ℏ/m)²⟨ψ_n| P²|ψ_n⟩. La relation de fermeture (Σ_k|ψ_k⟩⟨ψ_k| = I) est un outil puissant pour manipuler les opérateurs et les sommes sur les états.

Foire Aux Questions (FAQ) sur les opérateurs en Mécanique Quantique

Cette section répond aux questions fréquentes sur l'algèbre des commutateurs et les opérateurs.

Pourquoi les commutateurs sont-ils importants en mécanique quantique ?

Les commutateurs déterminent si deux observables peuvent être mesurées simultanément avec une précision arbitraire. Si [A, B] = 0, les observables A et B sont compatibles et ont des états propres communs. Si [A, B] ≠ 0, elles sont incompatibles, comme le position et l'impulsion ([X, P_x] = iℏ), ce qui est à la base du principe d'incertitude de Heisenberg.

Qu'est-ce qu'un opérateur adjoint et à quoi sert-il ?

L'opérateur adjoint (ou hermitien conjugué) O^† d'un opérateur O est défini par la relation ⟨ψ|Oφ⟩ = ⟨O^†ψ|φ⟩ pour tous les états |ψ⟩ et |φ⟩. Les opérateurs adjoints sont cruciaux car les observables physiques doivent être représentées par des opérateurs hermitiens (O = O^†), garantissant que leurs valeurs propres (les résultats des mesures) sont réelles.

Qu'est-ce qu'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC) ?

Un ECOC est un ensemble d'opérateurs {A, B, C,...} qui commutent tous entre eux ([A, B] = 0, [A, C] = 0, etc.) et dont les vecteurs propres communs permettent de distinguer de manière unique tous les états propres du système. La mesure simultanée des observables d'un ECOC détermine complètement l'état du système.