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Correction d'exercices: Évolution d'une particule quantique dans un potentiel

Cette série de corrections aborde des concepts fondamentaux de la mécanique quantique, explorant le comportement de particules dans différents types de potentiels. Elle détaille les niveaux d'énergie d'un puits de potentiel infini, la dynamique d'une particule face à une barrière de potentiel, et les états liés dans un puits de potentiel fini.

Exercice 1: Niveaux d'énergie du puits de potentiel infini

Dans un puits de potentiel infini, le potentiel V(x) est nul à l'intérieur de la région [0, a] et infiniment élevé à l'extérieur (V(x) → +∞). Les régions où le potentiel est infiniment élevé sont interdites à la particule, ce qui impose que la fonction d'onde ψ(x) soit nulle dans ces zones.

L'équation de Schrödinger stationnaire pour ce système s'écrit :

[∂²ψ(x)/∂x²] + (2mE/ℏ²)ψ(x) = 0

La solution de cette équation différentielle, une fois normalisée dans l'intervalle [0, a], est :

ψ_n(x) = (2/a)^1/2 sin(nπ x/a) (pour n = 1, 2, 3, ...)

À partir de la relation k² = (2mE/ℏ²) et des conditions aux limites, les énergies quantifiées sont obtenues :

E_n = n²π²ℏ² / (2ma²)

L'expression complète des fonctions d'ondes, incluant la dépendance temporelle, est :

Ψ_n(x, t) = (2/a)^1/2 exp(-i E_n t/ℏ) sin(nπ x/a)

1) Allure de la fonction d'onde propre pour les 3 premiers niveaux d'énergie ψ_n(x)

Les fonctions d'onde pour les trois premiers niveaux (n=1, n=2, n=3) présentent les caractéristiques suivantes :

n = 1: La fonction d'onde a une forme de "demi-onde" sur la largeur du puits (0 à a), avec un maximum au centre et des nœuds aux bords (x=0, x=a).
n = 2: La fonction d'onde présente une "onde complète" sur la largeur du puits, avec un nœud au centre (x=a/2) et aux bords.
n = 3: La fonction d'onde affiche "une onde et demie" sur la largeur du puits, avec deux nœuds à l'intérieur du puits, en plus de ceux aux bords.

2) Relation entre la longueur d'onde de De Broglie et la largeur du puits

Pour chaque niveau d'énergie, la longueur d'onde de De Broglie (λ_DB) est liée à la largeur du puits (a) :

Pour n = 1 : On observe une demi-longueur d'onde de De Broglie sur la largeur du puits, soit λ_DB1 / 2 = a.
Pour n = 2 : Sur la largeur du puits, on observe une longueur d'onde de De Broglie complète, soit λ_DB2 = a.
Pour n = 3 : Sur la largeur du puits, on observe une longueur d'onde et demie de De Broglie, soit (3/2)λ_DB3 = a.

En général, pour un niveau n, on a n * λ_DBn / 2 = a.

À l'intérieur du puits, l'énergie potentielle de la particule est nulle. L'énergie de la particule se confond avec son énergie cinétique : E_c = E = ℏ²k² / (2m). Sachant que λ_DB = h/p et E_c = p² / (2m), et ℏ = h / (2π), nous pouvons exprimer les énergies. En utilisant les relations précédentes pour les 3 premiers niveaux d'énergie, on obtient :

E₁ = π²ℏ² / (2ma²)
E₂ = 4π²ℏ² / (2ma²) = 2π²ℏ² / (ma²)
E₃ = 9π²ℏ² / (2ma²)

3) Accord avec la relation générale des niveaux d'énergie

Les expressions spécifiques E₁, E₂ et E₃ calculées ci-dessus s'accordent parfaitement avec la relation générale des niveaux d'énergie pour un puits de potentiel infini :

E_n = n²π²ℏ² / (2ma²)

Cette concordance confirme la validité des calculs et la quantification de l'énergie des particules confinées dans un puits de potentiel infini.

Exercice 2: Barrière de potentiel

Cet exercice explore le comportement d'une particule face à une barrière de potentiel de hauteur V₀.

1) Comportement d'une particule classique face à la barrière (E > V₀)

Pour une particule classique dont l'énergie E est supérieure à la hauteur de la barrière V₀, la particule est en mouvement rectiligne uniforme dans les régions I et III où V(x) = 0. Lorsqu'elle pénètre dans la région II (la barrière, où V(x) = V₀) :

Son énergie cinétique diminue de V₀.
Elle traverse la barrière sans être réfléchie (transmission totale).
Elle retrouve son énergie cinétique initiale en passant dans la région III.

Contrairement à la mécanique quantique, une particule classique ne peut pas être réfléchie si son énergie est suffisante pour franchir la barrière.

La barrière est définie par :

Région I (x < -a/2): V(x) = 0
Région II (-a/2 < x < a/2): V(x) = V₀
Région III (x > a/2): V(x) = 0

2) Équation de Schrödinger stationnaire dans chaque région

L'équation de Schrödinger stationnaire générale est :

- (ℏ²/2m) [∂²ψ(x)/∂x²] + V(x)ψ(x) = Eψ(x)

Appliquée à chaque région, elle devient :

Région I (V(x) = 0) : - (ℏ²/2m) [∂²ψ₁(x)/∂x²] = Eψ₁(x)
Région II (V(x) = V₀) : - (ℏ²/2m) [∂²ψ₂(x)/∂x²] + V₀ψ₂(x) = Eψ₂(x)
Région III (V(x) = 0) : - (ℏ²/2m) [∂²ψ₃(x)/∂x²] = Eψ₃(x)

3) Solutions des fonctions d'onde et coefficients de réflexion/transmission

En l'absence de sources de particules venant de la région III vers la région II, les solutions générales de l'équation de Schrödinger dans chaque région sont :

Région I : ψ₁(x) = A₁exp(ikx) + B₁exp(-ikx) (Onde incidente + Onde réfléchie)
Région II : ψ₂(x) = A₂exp(iKx) + B₂exp(-iKx) (Ondes dans la barrière)
Région III : ψ₃(x) = A₃exp(ikx) (Onde transmise uniquement, pas d'onde réfléchie depuis l'infini de la région III)

Où k = √(2mE/ℏ²) et K = √(2m(E-V₀)/ℏ²).

Les probabilités de réflexion R et de transmission T sont définies comme :

R = |B₁/A₁|² et T = |A₃/A₁|²

Nous définissons les coefficients r et t par : r = B₁/A₁ et t = A₃/A₁.

Les solutions réécrites deviennent :

Région I : ψ₁(x) = A exp(ikx) + r A exp(-ikx)
Région II : ψ₂(x) = C exp(iKx) + D exp(-iKx)
Région III : ψ₃(x) = t A exp(ikx)

Les conditions de continuité de la fonction d'onde ψ(x) et de sa dérivée ψ'(x) aux interfaces (x = -a/2 et x = +a/2) sont essentielles pour déterminer les coefficients :

Condition de continuité de ψ(x) en x = -a/2 :
A exp(-ika/2) + r A exp(ika/2) = C exp(-iKa/2) + D exp(iKa/2)
Condition de continuité de ψ(x) en x = +a/2 :
C exp(iKa/2) + D exp(-iKa/2) = t A exp(ika/2)
Condition de continuité de ψ'(x) en x = -a/2 :
ik A exp(-ika/2) - ik r A exp(ika/2) = iK C exp(-iKa/2) - iK D exp(iKa/2)
Condition de continuité de ψ'(x) en x = a/2 :
iK C exp(iKa/2) - iK D exp(-iKa/2) = ik t A exp(ika/2)

La relation fondamentale R + T = 1 traduit qu'une particule quantique est soit réfléchie, soit transmise par la barrière.

5) Condition de transmission totale

Pour une transmission totale, le coefficient T est nécessairement égal à 1, ce qui implique que R = 0. Pour E ≠ V₀, cette condition est remplie lorsque :

sin[ K a ] = 0, où K = √(2m(E-V₀)/ℏ²).

Ceci signifie a * √(2m(E-V₀)/ℏ²) = nπ, où n est un entier positif.

Calculons la longueur d'onde de De Broglie des électrons dans la barrière (Région II) :

λ_DB = 2π / K = 2πℏ / √(2m(E-V₀))

On peut écrire la condition de transmission totale sous la forme :

a = n * λ_DB / 2

Cela signifie que la largeur de la barrière doit être un multiple entier de la demi-longueur d'onde de De Broglie de la particule à l'intérieur de la barrière pour que la transmission soit totale (phénomène de résonance).

Application numérique :

Si λ_DB = 5 × 10^-10 m = 0.5 nm, alors la condition devient :

a = n * (0.5 nm) / 2 = n * 0.25 nm

Exercice 3: État lié (E < 0) dans un puits de potentiel fini

Cet exercice concerne les états liés (où l'énergie totale E est négative) dans un puits de potentiel fini, représenté par V(x) = -V₀ dans une certaine région et V(x) = 0 ailleurs, avec une paroi infinie à gauche.

Le potentiel est structuré comme suit :

Région I (x < 0): V(x) = +∞ (Paroi infinie)
Région II (0 < x < a): V(x) = -V₀ (Puits)
Région III (x > a): V(x) = 0 (Extérieur du puits)

L'énergie E est négative (E < 0) et est comprise entre -V₀ et 0 (-V₀ < E < 0) pour un état lié dans ce puits.

1) Fonctions d'onde dans chaque région

Région I : V(x) = +∞
La particule ne peut pas se trouver dans la région I, sa probabilité de présence est nulle. Par conséquent, la fonction d'onde est nulle : ψ_I(x) = 0.
Région II : V(x) = -V₀
L'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit pour la région II :
- (ℏ²/2m) [∂²ψ(x)/∂x²] - V₀ψ(x) = Eψ(x)
Ce qui mène à :
ψ''(x) + [2m(E+V₀)/ℏ²] ψ(x) = 0
Puisque pour un état lié -V₀ < E < 0, on a E+V₀ > 0. On définit k = √[2m(E+V₀)/ℏ²]. L'équation différentielle admet pour solution :
ψ(x) = A₂ exp(ikx) + B₂ exp(-ikx)
La condition de continuité de la fonction d'onde au point x = 0 impose ψ_I(0-) = 0 = ψ(0+). Donc, A₂ + B₂ = 0, ce qui signifie B₂ = -A₂.
Ainsi, la fonction d'onde devient :
ψ(x) = A₂ [exp(ikx) - exp(-ikx)] = 2i A₂ sin(kx)
On peut simplifier en posant A = 2i A₂ :
ψ(x) = A sin(kx).
Région III : V(x) = 0
L'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit pour la région III :
- (ℏ²/2m) [∂²ψ(x)/∂x²] = Eψ(x)
Ce qui mène à :
ψ''(x) - [2m(-E)/ℏ²] ψ(x) = 0
Puisque E < 0, -E > 0. On définit κ = √[2m(-E)/ℏ²]. L'équation différentielle admet pour solution :
ψ(x) = B exp(-κx) + C exp(κx)
Pour que la fonction d'onde soit de carré sommable (condition essentielle pour une fonction d'onde physique), elle doit tendre vers zéro lorsque x tend vers l'infini. Le terme exp(κx) tend vers l'infini pour x → +∞. Par conséquent, le coefficient C doit être nul.
D'où la fonction d'onde dans la région III :
ψ(x) = B exp(-κx).

2) Étude des conditions de quantification

Les énergies des états liés sont quantifiées en appliquant les conditions de continuité des fonctions d'onde et de leurs dérivées aux interfaces.

a) Conditions de continuité au point x = a :
1. Continuité de ψ(x) : ψ(a-) = ψ(a+)
  A sin(ka) = B exp(-κa) (1)
2. Continuité de ψ'(x) : ψ'(a-) = ψ'(a+)
  A k cos(ka) = -κ B exp(-κa) (2)
b) Déduction de la condition de quantification :
En divisant l'équation (2) par l'équation (1) (pour A ≠ 0 et B ≠ 0, ce qui est nécessaire pour une solution non triviale), on trouve :
k cot(ka) = -κ
Pour des raisons de simplification et d'analyse graphique, on peut multiplier par a :
ak cot(ka) = -aκ

En utilisant les expressions de k et κ :

k² = 2m(E+V₀)/ℏ²

κ² = 2m(-E)/ℏ²

En additionnant a²k² et a²κ² :

a²k² + a²κ² = a²[2m(E+V₀)/ℏ²] + a²[2m(-E)/ℏ²]

a²k² + a²κ² = (2ma²/ℏ²) * (E + V₀ - E)

a²k² + a²κ² = 2ma²V₀/ℏ²

Cette relation, combinée à ak cot(ka) = -aκ, permet de déterminer graphiquement ou numériquement les valeurs d'énergie E pour les états liés.

FAQ sur la mécanique quantique des potentiels

Qu'est-ce qu'un puits de potentiel infini et pourquoi est-il important?

Un puits de potentiel infini est un modèle théorique en mécanique quantique où une particule est confinée dans une région de l'espace délimitée par des parois impénétrables (potentiel infini). Il est fondamental car il permet de comprendre la quantification de l'énergie et la nature ondulatoire des particules, montrant que seules certaines énergies sont permises.

Comment une particule quantique peut-elle traverser une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière?

Ce phénomène est appelé l'effet tunnel quantique. Contrairement à une particule classique, une particule quantique a une certaine probabilité de "traverser" une barrière de potentiel, même si son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière. Cela est dû à la nature ondulatoire de la particule : la fonction d'onde ne s'annule pas instantanément dans la barrière mais diminue exponentiellement, permettant une probabilité non nulle de la retrouver de l'autre côté.

Quelle est la différence majeure entre un état lié et un état de diffusion en mécanique quantique?

Un état lié correspond à une particule confinée dans une région spécifique de l'espace, avec une énergie négative (par convention, par rapport à un potentiel nul à l'infini). La fonction d'onde d'un état lié est localisée et décroît exponentiellement à l'extérieur de la région de confinement. Un état de diffusion, en revanche, décrit une particule dont l'énergie est positive, lui permettant de se propager librement et d'interagir avec le potentiel sans y être piégée. Les fonctions d'onde de diffusion sont typiquement des ondes planes s'étendant à l'infini.