Correction serie 2 mécanique quantique -Mécanique quantique
Télécharger PDFSuperposition de 3 ondes (paquet d'ondes)
1) La détermination de la fonction d'onde (x,t) somme de 3 ondes :
ψ(x,t) = F(k₀)eᶦ(k₀x - ω₀t) + F(k₁)eᶦ[(k₀ + Δk)x - (ω₀ + Δω)t] + F(k₂)eᶦ[(k₀ - Δk)x - (ω₀ - Δω)t]
Le maximum est obtenu lorsque le cosinus est égal à 1, soit :
Δk x - Δω t = 2π
On en déduit :
Xₘ = (2π Δω) / (Δk² x)
Vitesse de groupe du paquet d'ondes
La relation de dispersion exprime la pulsation ω en fonction du vecteur d'onde k :
ω = (ħ k²) / (2m)
Calcul de la vitesse de groupe
a) La vitesse de groupe d'un paquet d'ondes est donnée par :
Vg = (dω / dk) / k
En utilisant la relation de dispersion, on obtient :
Vg = (ħ k) / m
b) À partir de Vg = (ħ k) / m, on déduit que :
ΔVg = ħ Δk / m
En module, on a :
p = ħ k
Δp = ħ Δk
Donc, l'inégalité de Heisenberg spatiale devient :
Δx Δp ≥ ħ / 2
En remplaçant Δp par ħ Δk, on obtient :
Δx Δk ≥ 1 / 2
En considérant la limite inférieure de l'inégalité de Heisenberg spatiale (Δx₀ Δk ≥ 1 / 2), on a :
ΔVg = ħ Δk / m = ħ / (2m Δx₀)
Évolution du paquet d'ondes
c) Le paquet d'ondes étudié peut être décomposé en paquets d'ondes quasi-monochromatiques, chacun correspondant à un ensemble d'ondes sinusoïdales dont le vecteur d'onde est compris dans l'intervalle [k₀; k₀ + Δk] et se déplaçant à une vitesse égale à la vitesse de groupe Vg(k).
La grandeur ΔVg représente donc l'ordre de grandeur de la différence des vitesses de déplacement de tous ces paquets d'ondes quasi-monochromatiques.
d) À l'instant t, l'extension spatiale du paquet d'ondes a augmenté de ΔVg t. Ainsi :
Δx(t) = Δx₀ + (ħ Δk / m) t
Le paquet d'ondes voit son extension doubler après une durée d'évolution t₀ donnée par :
t₀ = (2m Δx₀²) / ħ
Remarque sur la dispersion
On remarque que la dispersion de la vitesse de groupe est liée à la dérivée seconde dω/dk².
Quand cette dérivée est nulle, il n'y a pas de dispersion de la vitesse de groupe et donc pas de déformation du paquet d'ondes lors de sa propagation.
Un signe positif de cette dérivée correspond à un étalement du paquet d'ondes.
Application numérique
Cas de l'électron : t₀ ≈ 2 × 10⁻¹⁶ s
Cette durée est du même ordre de grandeur que la période de révolution sur une orbite du modèle de Bohr. Cela montre que l'hypothèse d'une trajectoire localisée est à rejeter. Pendant la durée d'une révolution, la probabilité de présence de l'électron s'étale dans tout le volume de l'atome, nécessitant un traitement quantique.
Cas d'une gouttelette d'eau : t₀ ≈ 8 × 10¹⁰ s
Cette durée, de l'ordre de 2 × 10¹⁰ s, est considérable. Pendant toute son existence, la gouttelette reste un système matériel localisé.
FAQ
Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes ?
Un paquet d'ondes est une superposition d'ondes sinusoïdales de fréquences et de vecteurs d'onde proches, permettant de modéliser une onde localisée dans l'espace.
Comment la vitesse de groupe est-elle calculée ?
La vitesse de groupe est obtenue en dérivant la relation de dispersion ω(k) par rapport à k, puis en divisant par k : Vg = (dω / dk) / k.
Pourquoi la dispersion est-elle importante dans l'étude des paquets d'ondes ?
La dispersion influence l'étalement du paquet d'ondes au cours de sa propagation. Si la dérivée seconde dω/dk² est positive, le paquet s'étale ; si elle est nulle, il conserve sa forme.