Correction série n°4 opérateurs, valeurs propres et vecteurs
Télécharger PDFCorrection série n°4 : Opérateurs, valeurs propres et vecteurs propres
Exercice 1
1) Les matrices représentant dans la base {|u1⟩, |u2⟩, |u3⟩} les opérateurs sont :
L = ⎡1 0 0⎤ 0 0 0 0 0 -1⎦
(L)² = ⎡1 0 0⎤ 0 0 0 0 0 1⎦
S = ⎡0 0 1⎤ 0 1 0 1 0 0⎦
(S)² = ⎡0 1 0⎤ 1 0 0 0 0 1⎦
● Les matrices L, (L)², S et S² sont symétriques et réelles, donc les opérateurs associés sont hermitiques. ● Comme l’espace est de dimension finie, ces opérateurs sont diagonalisables et représentent des observables. ● Dans un espace de dimension finie, il est toujours possible de former une base avec les vecteurs propres |vn⟩ d’un opérateur hermitique. ● D’où la définition d’une observable : ∑n gn |vn⟩⟨vn| = Id.
2) Détermination des valeurs propres de L :
det(L - λ Id) = 0 ⇒
⎡1-λ 0 0 ⎤ ⎢0 -λ 0 ⎥ = 0 ⎢0 0 -1-λ⎥
Le polynôme caractéristique est : (1-λ)(-λ)(-1-λ) = 0. Les solutions de ce polynôme sont : λ = 1, λ = 0 et λ = -1. Les vecteurs propres associés à ces valeurs propres sont respectivement |u1⟩, |u2⟩ et |u3⟩.
Détermination des valeurs propres de S :
D’après l’équation aux valeurs propres : S |u2⟩ = |u2⟩ ⇒ λ = 1 est une valeur propre associée au vecteur propre |u2⟩.
En restreignant la base à 2 dimensions engendrée par {|u1⟩, |u3⟩}, l’opérateur associé est S’ = ⎡0 1⎤ 1 0⎦.
det(S’ - λ Id) = 0 ⇒ λ² - 1 = 0 ⇒ λ = 1 et λ = -1.
Vecteur propre associé à λ = 1 :
Soit |v1⟩ = α|u1⟩ + β|u3⟩. S’ |v1⟩ = |v1⟩ ⇒ en écriture matricielle : ⎡0 1⎤ ⎡α⎤ ⎡α⎤ = ⎡α⎤ ⎣1 0⎦ ⎣β⎦ ⎣β⎦ ⇒ α = β.
Le vecteur propre doit être normé : |α|² + |β|² = 1 ⇒ 2|α|² = 1 ⇒ |α| = 2^(-½). On prend α = 2^(-½) ⇒ |v1⟩ = 2^(-½)|u1⟩ + 2^(-½)|u3⟩.
Vecteur propre associé à λ = -1 :
Soit |v3⟩ = α’|u1⟩ + β’|u3⟩. S’ |v3⟩ = -|v3⟩ ⇒ en écriture matricielle : ⎡0 1⎤ ⎡α’⎤ ⎡-α’⎤ = ⎡-α’⎤ ⎣1 0⎦ ⎣β’⎦ ⎣-β’⎦ ⇒ α’ = -β’.
Le vecteur propre doit être normé : |α’|² + |β’|² = 1 ⇒ 2|α’|² = 1 ⇒ |α’| = 2^(-½). On prend α’ = 2^(-½) ⇒ |v3⟩ = 2^(-½)|u1⟩ - 2^(-½)|u3⟩.
3) Vérification de [L², S] = 0 :
(L)²S = S(L)² ⇒ L² commute avec S.
● |v1⟩ est un vecteur propre de S. Vérifions que c’est aussi un vecteur propre de L² : L²|v1⟩ = L(L|v1⟩) = LL(2^(-½)|u1⟩ + 2^(-½)|u3⟩) = L(2^(-½)|u1⟩ - 2^(-½)|u3⟩) = 2^(-½)|u1⟩ + 2^(-½)|u3⟩ = |v1⟩.
● L²|v2⟩ = L²|u2⟩ = L(L|u2⟩) = 0 = 0|u2⟩.
● L²|v3⟩ = L(L|v3⟩) = LL(2^(-½)|u1⟩ - 2^(-½)|u3⟩) = L(2^(-½)|u1⟩ + 2^(-½)|u3⟩) = 2^(-½)|u1⟩ - 2^(-½)|u3⟩ = |v3⟩.
Les vecteurs propres communs à L² et S sont : |v1⟩ = 2^(-½)|u1⟩ + 2^(-½)|u3⟩ (valeurs propres 1 et 1), |v2⟩ = |u2⟩ (valeurs propres 0 et 1), |v3⟩ = 2^(-½)|u1⟩ - 2^(-½)|u3⟩ (valeurs propres 1 et -1).
Il n’y a pas de couples de valeurs propres semblables, la dégénérescence des couples est égale à 1. La base formée de vecteurs propres communs à ces deux observables est donc unique, ce qui prouve qu’il s’agit d’un ensemble complet de vecteurs propres communs (ECOC).
Exercice 2
1) Calcul de la matrice adjointe de M :
M = ⎡0 λ⎤ ⎣-λ 0 ⎦ ⇒ M+ = ⎡0 λ⎤ -λ 0 ⎦ ⇒ M+ = M ⇒ M est hermitique.
2) Calcul des valeurs propres de M :
det(M - λ Id) = ⎡-λ λ⎤ ⎣-λ -λ⎦ = λ² - λ² = 0 ⇒ λ² - 1 = 0 ⇒ λ = 1 et λ = -1.
3) Vecteurs propres associés :
Vecteur propre associé à λ = 1 :
Soit |v1⟩ = α|u1⟩ + β|u2⟩. M|v1⟩ = |v1⟩ ⇒ en écriture matricielle : ⎡0 λ⎤ ⎡α⎤ ⎡α⎤ = ⎡α⎤ ⎣-λ 0 ⎦ ⎣β⎦ ⎣β⎦ ⇒ λα = α et -λβ = β ⇒ α = β.
Le vecteur propre doit être normé : |α|² + |β|² = 1 ⇒ 2|α|² = 1 ⇒ |α| = 2^(-½). On prend α = 2^(-½) ⇒ |v1⟩ = 2^(-½)|u1⟩ + 2^(-½)|u2⟩.
Vecteur propre associé à λ = -1 :
Soit |v2⟩ = α’|u1⟩ + β’|u2⟩. M|v2⟩ = -|v2⟩ ⇒ en écriture matricielle : ⎡0 λ⎤ ⎡α’⎤ ⎡-α’⎤ = ⎡-α’⎤ ⎣-λ 0 ⎦ ⎣β’⎦ ⎣-β’⎦ ⇒ λα’ = -α’ et -λβ’ = -β’ ⇒ α’ = -β’.
Le vecteur propre doit être normé : |α’|² + |β’|² = 1 ⇒ 2|α’|² = 1 ⇒ |α’| = 2^(-½). On prend α’ = 2^(-½) ⇒ |v2⟩ = 2^(-½)|u1⟩ - 2^(-½)|u2⟩.
4) Les matrices représentant les projecteurs sur ces vecteurs propres sont :
P1 = |v1⟩⟨v1| = ⎡1/2 λ/2⎤ ⎣-λ/2 1/2⎦
P2 = |v2⟩⟨v2| = ⎡1/2 -λ/2⎤ ⎣λ/2 1/2⎦
5) Relation de fermeture :
P1 + P2 = ⎡1 0⎤ 0 1⎦ ⇒ C’est la matrice identité.
Relation d’orthogonalité : P1P2 = ⎡0 0⎤ 0 0⎦ ⇒ Ces deux projecteurs sont orthogonaux.
Exercice 3
1) Partons de l’équation aux valeurs propres : A|ψ⟩ = a|ψ⟩. En multipliant les deux membres par ⟨ψ| à gauche, on obtient : ⟨ψ|A|ψ⟩ = a⟨ψ|ψ⟩ = a.
Le conjugué de cette égalité est : (⟨ψ|A|ψ⟩)* = a* ⇒ ⟨ψ|A+|ψ⟩ = a* = a*⟨ψ|ψ⟩. Cela montre que : A+|ψ⟩ = a*|ψ⟩ ⇒ |ψ⟩ est un vecteur propre de A+ avec la valeur propre a*.
2) Montrons que [A, A+] = 0 :
A|ψ⟩ = a|ψ⟩ (1) A+|ψ⟩ = a*|ψ⟩ (2)
Multiplions (1) par A+ à gauche et (2) par A à gauche : A+A|ψ⟩ = aA+|ψ⟩ = aa*|ψ⟩ (3) AA+|ψ⟩ = a*A|ψ⟩ = aa*|ψ⟩ (4)
En soustrayant (4) - (3), on obtient : (AA+ - A+A)|ψ⟩ = 0 ⇒ [A, A+] = 0.
3) Décomposition d’un opérateur A = P + iQ :
● P est la partie hermitique de A. ● iQ est la partie anti-hermitique de A.
Si A = P + iQ, alors A+ = P - iQ. Puisque [A, A+] = 0 ⇒ [P + iQ, P - iQ] = 0 ⇒ (P² - iPQ + iQP + Q²) - (P² + iPQ - iQP + Q²) = 0 ⇒ -2iPQ + 2iQP = 0 ⇒ PQ - QP = 0 ⇒ P et Q commutent.
FAQ
Qu’est-ce qu’un opérateur hermitique ?
Un opérateur hermitique est un opérateur linéaire dont la matrice est égale à sa matrice adjointe (transposée et conjuguée). Cela signifie que ses valeurs propres sont réelles et que ses vecteurs propres forment une base orthonormée.
Pourquoi les opérateurs hermitiques sont-ils diagonalisables ?
Les opérateurs hermitiques sont diagonalisables car ils admettent une base complète de vecteurs propres orthogonaux. Cette propriété est cruciale en mécanique quantique, où ils représentent des observables physiques.
Comment vérifier si deux opérateurs commutent ?
Deux opérateurs A et B commutent si AB = BA. En mécanique quantique, cela signifie qu’ils peuvent être mesurés simultanément et qu’ils partagent des vecteurs propres communs.