T.d. de mécanique quantique smp4 correction série n°2 -Mécan
Télécharger PDFParticule dans un puits semi-infini
Une particule de masse m et d’énergie E est soumise à un potentiel U(x) semi-infini défini par :
- U(x) = +∞ pour x < 0
- U(x) = 0 pour 0 ≤ x ≤ a (région 1)
- U(x) = U₀ pour x > a (région 2)
Équation de Schrödinger indépendante du temps
L’équation générale s’écrit :
ϕ''(x) + 2m/ħ²[E − U(x)]ϕ(x) = 0
Région 1 (0 ≤ x ≤ a)
Dans cette région, U(x) = 0, donc l’équation devient :
ϕ₁''(x) + k² ϕ₁(x) = 0 avec k² = 2mE/ħ²
La solution générale est :
ϕ₁(x) = A sin(kx) (conditions de continuité et de normalisation)
Région 2 (x > a)
Dans cette région, U(x) = U₀, donc l’équation devient :
ϕ₂''(x) − q² ϕ₂(x) = 0 avec q² = 2m(U₀ − E)/ħ²
La solution physiquement acceptable est :
ϕ₂(x) = B e^(−qx) (bornée à l’infini)
Conditions de continuité au point x = a
En x = a, on impose :
- ϕ₁(a⁻) = ϕ₂(a⁺) ⇒ A sin(ka) = B e^(−qa)
- ϕ₁'(a⁻) = ϕ₂'(a⁺) ⇒ A k cos(ka) = −q B e^(−qa)
En divisant ces équations, on obtient :
tan(ka) = −k/q
Résolution graphique
On définit k₀² = 2mU₀/ħ², donc q² = k₀² − k².
L’équation devient :
|sin(ka)| = k/k₀ √(k₀² − k²)
Pour qu’il existe des solutions, il faut :
- k₀a > π/2 (soit U₀ > π²ħ²/(8ma²))
- Plus U₀ est grand, plus k₀ augmente, et plus le nombre de solutions croît.
- Si U₀ ≫ ħ²/(ma²), les solutions se rapprochent de celles du puits infini : Eₙ ≈ (nπ)²ħ²/(2ma²)
Densité de probabilité et profondeur de pénétration
La densité de probabilité dans la région 2 est :
ρ(x) = |B|² e^(−2qx)
La profondeur de pénétration x₀ est définie par :
ρ(x₀) = ρ(a)/e ⇒ x₀ = a + ħ/(2√(2m(U₀ − E)))
Facteur de transmission d’une barrière de potentiel
Une particule de masse m et d’énergie E > 0 rencontre une barrière de potentiel définie par :
- V(x) = 0 pour x < 0
- V(x) = V₀ > E pour x > 0
Équations de Schrödinger stationnaires
Pour x < 0 : ϕ₁''(x) + k² ϕ₁(x) = 0 avec k² = 2mE/ħ²
Pour x > 0 : ϕ₂''(x) − α² ϕ₂(x) = 0 avec α² = 2m(V₀ − E)/ħ²
Les solutions sont :
- ϕ₁(x) = A₁ e^(ikx) + B₁ e^(−ikx)
- ϕ₂(x) = A₂ e^(−αx) (bornée à l’infini)
Conditions de continuité en x = 0
On impose :
- ϕ₁(0⁻) = ϕ₂(0⁺)
- ϕ₁'(0⁻) = ϕ₂'(0⁺)
Le rapport des amplitudes donne :
|B₁/A₁|² = 1 (réflexion totale) et |A₂/A₁|² ≠ 0 (la particule pénètre dans la région 2).
Transmission d’un puits de potentiel delta
Une particule de masse m et d’énergie E est soumise à un potentiel V(x) = −αδ(x), où α est une constante négative et δ(x) est la fonction de Dirac.
Équation de Schrödinger
L’équation générale est :
ψ''(x) + 2m/ħ²[E − V(x)]ψ(x) = 0
Dans les régions x < 0 et x > 0, V(x) = 0, donc :
ψ''(x) + k² ψ(x) = 0 avec k² = 2mE/ħ²
Les solutions sont :
- ψ_I(x) = A e^(ikx) + B e^(−ikx) pour x < 0
- ψ_II(x) = C e^(ikx) pour x > 0 (pas de réflexion)
Discontinuité de ψ'(x) au point x = 0
On obtient :
ψ'_II(0⁺) − ψ'_I(0⁻) = 2mα/ħ² ψ(0)
Le rapport de transmission est :
T(E) = |C/A|² = 1/(1 + m²α²/(4ħ⁴k²E))
Effet tunnel dans un double puits carré
Une particule de masse m est située dans un double puits carré, où le potentiel est défini par :
- V(x) = V₀ − E pour 0 < |x| < a₂ (région II)
- V(x) = 0 ailleurs (régions I et III)
Équations aux valeurs propres
Dans les trois régions, les équations sont :
- ψ₁''(x) + k² ψ₁(x) = 0 (région I)
- ψ₂''(x) − q² ψ₂(x) = 0 (région II)
- ψ₃''(x) + k² ψ₃(x) = 0 (région III)
Avec k² = 2mE/ħ² et q² = 2m(V₀ − E)/ħ².
Fonctions d’onde paires et impaires
Les solutions paires sont :
ψ_s(x) = A cos(kx) + B sin(kx) pour |x| ≤ a₂
ψ_s(x) = α cosh(qx) pour 0 ≤ |x| ≤ a₂ + b
Les solutions impaires sont :
ψ_a(x) = A cos(kx) + B sin(kx) pour |x| ≤ a₂
ψ_a(x) = α sinh(qx) pour 0 ≤ |x| ≤ a₂ + b
Conditions de raccordement et quantification de l’énergie
L’équation de quantification est :
tanh(q a₂) = −k/q tan(k b)
Résolution graphique et discussion
On définit η = E/V₀ et v₀ = 2m b²/ħ².
L’équation devient :
tanh(π a₂/b √v₀ (1 − η)) tan(π√v₀ η) = −η/(1 − η)
Pour v₀ ≫ 1, la fonction tangente présente de nombreuses divergences, augmentant le nombre d’états liés.
Condition pour un seul état pair d’énergie inférieure à V₀
Il faut que V₀ vérifie :
π²ħ²/(8ma₂²) < V₀ < 9π²ħ²/(8ma₂²)
FAQ
Qu’est-ce qu’un puits semi-infini en mécanique quantique ?
Un puits semi-infini est un potentiel où la particule est confinée dans une région semi-illimitée, avec une énergie potentielle nulle dans une zone finie et infinie ailleurs.
Comment résoudre graphiquement l’équation pour un puits semi-infini ?
La résolution graphique consiste à tracer tan(ka) et −k/q et à trouver leurs points d’intersection. Ces points correspondent aux valeurs possibles de k pour les états liés.
Qu’est-ce que l’effet tunnel en mécanique quantique ?
L’effet tunnel est un phénomène où une particule traverse une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à la hauteur de cette barrière, grâce à la nature probabiliste de la mécanique quantique.