M124 algèbre 2 corrigé examen partiel 15 mars 2021 -Algèbre

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Partie A : Étude d'un endomorphisme et d'un système linéaire

Il s'agit d'un corrigé de partiel d'algèbre 2 datant du 15 mars 2021, portant sur l'étude d'un endomorphisme et d'un système linéaire associé.

1. Analyse de l'endomorphisme f_k et de sa matrice A_k

Soit l'endomorphisme f_k défini par :

f_k(x, y, z) = (ky + z, -kx + ky + z, -kx + y + 2kz), pour tout (x, y, z) ∈ ℝ³.

La matrice associée A_k est donnée par son déterminant :

det (A_{k}) = |\begin{matrix} 0 & k & 1 \\ - k & k & 1 \\ - k & 1 & 2 k \end{matrix}| = k (2 k^{2} - 1)

Les valeurs de k pour lesquelles det(A_k) = 0 sont k = 0, k = 1/√2, et k = -1/√2.

Si k ∉ {0, 1/√2, -1/√2}, alors det(A_k) ≠ 0. Dans ce cas, le rang de la matrice A_k est maximal : rg(A_k) = 3.
Si k = 0, alors rg(A₀) = 2.
Si k = 1/√2, alors rg(A_k) = 2 car, par exemple, le mineur d'ordre 2 : $|\begin{matrix} 0 & 1 / \sqrt{2} \\ - 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{matrix}|$ ≠ 0.
Si k = -1/√2, alors rg(A_k) = 2 pour la même raison.

2. Résolution du système linéaire

Le système linéaire associé à l'endomorphisme f_k est un système de Cramer si et seulement si sa matrice associée, A_k, est inversible, ce qui se produit lorsque det(A_k) ≠ 0. Ainsi, le système est de Cramer si et seulement si k ∉ {0, 1/√2, -1/√2}.

Si k = 0, le système est contradictoire (incompatible), ce qui signifie qu'il n'admet aucune solution.
Si k = 1/√2, le système s'écrit : $\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} y + z & = & - 1 \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} x + \frac{1}{\sqrt{2}} y + z & = & 0 \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} x + y + 2 \frac{1}{\sqrt{2}} z & = & 1 \end{matrix}$
qui est équivalent à :
$\{\begin{matrix} - x + y + \sqrt{2} z & = & 1 - \sqrt{2} \\ - x + \sqrt{2} y + 2 z & = & 0 \end{matrix}$
puis à :
$\{\begin{matrix} x & = & \sqrt{2} y + \sqrt{2} z \\ y & = & 1 \end{matrix}$
Le système admet une infinité de solutions. Il est compatible.
Si k = -1/√2, le système est également compatible et admet une infinité de solutions.

Clarification : Un système est dit "de Cramer" s'il admet une unique solution. Cela se produit lorsque le déterminant de sa matrice associée est non nul. S'il n'est pas de Cramer, il peut être "compatible" (admettant une ou plusieurs solutions) ou "incompatible" (n'admettant aucune solution).

Partie B : Diagonalisation et Trigonalisation d'endomorphismes

1. Étude de l'endomorphisme A₀

Pour k = 0, la matrice A₀ n'est pas inversible (det(A₀) = 0), ce qui implique que l'endomorphisme f₀ associé n'est pas bijectif. Un endomorphisme non bijectif peut néanmoins être diagonalisable.

a. Valeurs propres de A₀

Le polynôme caractéristique de A₀ est P_A₀(λ) :

P_{A_{0}} (λ) = |\begin{matrix} - λ & 0 & 1 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 1 & - λ \end{matrix}| = - λ (λ^{2 - 1) = - λ (λ - 1) (λ + 1)}

Les valeurs propres de A₀ sont donc λ = 0, λ = -1 et λ = 1.

b. Sous-espaces propres de A₀

E₀ (pour λ = 0) :

E₀ = {(x, y, z) ∈ ℝ³, A₀(x, y, z) = 0} = ker(A₀). En résolvant le système, on obtient y=0, z=0, x est libre. Ainsi, E₀ = vect{e₀ = (1, 0, 0)}.
E_-1 (pour λ = -1) :

E_-1 = {(x, y, z) ∈ ℝ³, A₀(x, y, z) = -(x, y, z)}. En résolvant le système, on trouve que E_-1 = vect{e_-1 = (-1, -1, 1)}.
E₁ (pour λ = 1) :

E₁ = {(x, y, z) ∈ ℝ³, A₀(x, y, z) = (x, y, z)}. En résolvant le système, on trouve que E₁ = vect{e₁ = (1, 1, 1)}.

Puisqu'il y a trois valeurs propres distinctes pour une matrice 3x3, A₀ est diagonalisable.

c. Base de diagonalisation et matrice de passage

Une base ℬ' relativement à laquelle A₀ est diagonale est ℬ' = {e₀, e_-1, e₁}.

Dans cette base, la matrice D de A₀ est :

D = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

La matrice de passage P_ℬ->ℬ', de la base canonique ℬ à la base ℬ', est formée par les vecteurs propres en colonnes :

P_{ℬ \to ℬ'} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})

La matrice de passage inverse P_ℬ'->ℬ est l'inverse de P_ℬ->ℬ' :

P_{ℬ' \to ℬ} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 2 & - 2 & 0 \\ 0 - 1 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})

2. Étude de l'endomorphisme A₁ : Trigonalisation

a. Valeurs propres et diagonalisabilité de A₁

Le polynôme caractéristique de la matrice A₁ (pour k=1) est P_A₁(λ) = -( λ - 1)³. Par conséquent, λ = 1 est une valeur propre triple.

L'endomorphisme A₁ n'est pas diagonalisable car la dimension du sous-espace propre associé à λ=1 est inférieure à sa multiplicité algébrique (qui est 3). Cependant, A₁ est trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé sur ℝ (toutes ses racines sont réelles).

b. Construction d'une base de trigonalisation

Le sous-espace propre E₁(A₁) associé à λ = 1 est :

E₁(A₁) = {(x, y, z) ∈ ℝ³, A₁(x, y, z) = (x, y, z)} = vect{u₁ = (1, 0, 1)}.

Pour construire une base ℬ'' de trigonalisation (base de Jordan), nous cherchons des vecteurs u₂ et u₃ tels que :

A₁ u₂ = u₁ + u₂

En résolvant cette équation pour u₂ = (x, y, z), on trouve y = 1 et x = z. En choisissant x = 0, on obtient u₂ = (0, 1, 0).
A₁ u₃ = u₂ + u₃

En résolvant cette équation pour u₃ = (x, y, z), on trouve y = -1 et x = z - 1. En choisissant x = 0, on obtient u₃ = (0, -1, 1).

La famille ℬ'' = {u₁ = (1, 0, 1), u₂ = (0, 1, 0), u₃ = (0, -1, 1)} forme une base. Ceci est vérifié par le calcul de son déterminant :

|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}| = 1 \neq 0

c. Matrice de A₁ dans la base ℬ'' et matrice de passage

La matrice J de A₁ dans la base ℬ'' (forme de Jordan) est :

J = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

La matrice de passage P_ℬ->ℬ'' est :

P_{ℬ \to ℬ''} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})

d. Calcul des puissances de A₁

Soit N = J - I₃ (où I₃ est la matrice identité d'ordre 3). La matrice N est nilpotente d'ordre 3, c'est-à-dire N² ≠ 0 et N³ = 0.

On peut écrire J = I₃ + N. Comme I₃ et N commutent, la formule du binôme de Newton peut être utilisée pour calculer Jⁿ pour n ≥ 1 :

J^{n} = (I_{3} + N)^{n} = I_{3}^{n} + n I_{3}^{n - 1} N + \frac{n (n - 1)}{2} I_{3}^{n - 2} N^{2}

Grâce à la nilpotence de N (N³ = 0), cette somme se simplifie à :

J^{n} = I_{3} + n N + \frac{n (n - 1)}{2} N^{2}

D'autre part, la relation entre A₁ et J est A₁ = P_ℬ->ℬ'' J (P_ℬ->ℬ'')^-1. Par conséquent, les puissances de A₁ sont :

(A_{1})^{n} = P_{ℬ \to ℬ''} J^{n} (P_{ℬ \to ℬ''})^{- 1}

Note : Le calcul de (A₁)ⁿ est le suivant :

(A_{1})^{n} = (\begin{matrix} 2 - n - n^{2} & n (1 + n) / 2 & 1 - n \\ - n (1 + n)/2 & (2 + n + n^{2}) / 2 & - n \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Clarification : La diagonalisation permet de simplifier le calcul des puissances d'une matrice en la transformant en une matrice diagonale. Lorsque la matrice n'est pas diagonalisable mais trigonalisable, on peut la transformer en une forme de Jordan, ce qui permet également de calculer ses puissances plus simplement qu'avec la matrice initiale.

Foire Aux Questions (FAQ)

1. Qu'est-ce qu'un système de Cramer et quand l'utilise-t-on ?

Un système de Cramer est un système d'équations linéaires qui possède une unique solution. Il est caractérisé par le fait que le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues, et que le déterminant de la matrice des coefficients est non nul. On l'utilise pour trouver une solution unique à un système linéaire.

2. Quelle est la différence entre un endomorphisme diagonalisable et un endomorphisme trigonalisable ?

Un endomorphisme est diagonalisable s'il existe une base de l'espace vectoriel dans laquelle sa matrice est diagonale. Cela n'est possible que si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace total. Un endomorphisme est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure (ou inférieure). Tout endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé (toutes ses racines sont dans le corps de base) est trigonalisable.

3. Comment calcule-t-on les puissances d'une matrice non diagonalisable ?

Pour calculer les puissances d'une matrice non diagonalisable mais trigonalisable, on utilise généralement la décomposition de Jordan. On cherche une matrice de passage P telle que A = P J P^-1, où J est la forme de Jordan de A. On calcule ensuite Jⁿ en utilisant la formule du binôme pour les blocs de Jordan (qui peuvent être écrits comme somme d'une matrice identité et d'une matrice nilpotente), puis on obtient Aⁿ = P Jⁿ P^-1.

M124 algèbre 2 corrigé examen partiel 15 mars 2021 -Algèbre

Partie A : Étude d'un endomorphisme et d'un système linéaire

1. Analyse de l'endomorphisme fk et de sa matrice Ak

2. Résolution du système linéaire

Partie B : Diagonalisation et Trigonalisation d'endomorphismes

1. Étude de l'endomorphisme A0

a. Valeurs propres de A0

b. Sous-espaces propres de A0