Examen de rattrapage module p146 -Mécanique quantique - Télé
Télécharger PDFExercice I : Potentiel Carré à une Dimension
Soit le potentiel carré à une dimension défini par :
V(x) =
U₀ si 0 ≤ x ≤ a
0 ailleurs
1. Représentation du Potentiel
Le potentiel carré est une fonction constante égale à U₀ dans l'intervalle [0, a] et nulle en dehors de cet intervalle. Il peut être représenté graphiquement comme suit :
- Une ligne horizontale à la hauteur U₀ entre x = 0 et x = a ; - Une ligne horizontale à la hauteur 0 pour les autres valeurs de x ; - Des discontinuités verticales aux points x = 0 et x = a si le potentiel est infini en ces points.
2. Équation de Schrödinger Stationnaire
À l'intérieur du puits (0 ≤ x ≤ a) :
−(ħ²/2m) d²ψ/dx² + U₀ψ = Eψ
À l'extérieur du puits (x < 0 ou x > a) :
−(ħ²/2m) d²ψ/dx² = Eψ
3. Solutions Générales des Équations
À l'intérieur du puits (0 ≤ x ≤ a) :
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), où k = √(2m(U₀ − E))/ħ.
À l'extérieur du puits (x < 0 ou x > a) :
ψ(x) = C exp(γx) + D exp(−γx) pour x < 0, et ψ(x) = F exp(γx) + G exp(−γx) pour x > a, où γ = √(2mE)/ħ.
4. Conditions aux Limites
Pour les états liés (E < U₀) :
- ψ(x) → 0 quand x → ±∞ ; - ψ(x) doit être continue et dérivable en x = 0 et x = a.
5. Conditions de Continuité
En x = 0 et x = a :
- ψ(0−) = ψ(0+) ; - ψ(a−) = ψ(a+) ; - dψ/dx(0−) = dψ/dx(0+) ; - dψ/dx(a−) = dψ/dx(a+).
Exercice II : Hamiltonien en Base Orthonormée
On considère un système physique avec un espace des états à 3 dimensions. Une base orthonormée {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩} est choisie. Dans cette base, l'hamiltonien est représentée par la matrice :
H =
2 1 1 0
1 2 0
1 0 3
1. Résultats Possibles de la Mesure de l'Énergie
Les valeurs propres de la matrice H sont les énergies possibles du système. Elles peuvent être déterminées en résolvant l'équation caractéristique det(H − EI) = 0.
2. Vecteurs Propres de H
Les vecteurs propres associés aux valeurs propres doivent être calculés en résolvant le système (H − EI)|ψ⟩ = 0 pour chaque valeur propre.
3. Probabilités des Résultats de Mesures
L'état initial est donné par |y₀⟩ = (i|u₁⟩ − i|u₂⟩ + √3|u₃⟩)/2. Les probabilités sont calculées à partir des coefficients de projection de |y₀⟩ sur les vecteurs propres.
4. Vecteur d'État Immédiatement Après la Mesure
Si la mesure donne 3E₀, le vecteur d'état après la mesure est le vecteur propre normalisé associé à cette valeur propre.
5. Évolution de l'État du Système |y(t)⟩
L'état du système à l'instant t est obtenu en appliquant l'opérateur d'évolution e^(−iHt/ħ) à l'état initial |y₀⟩.
Exercice III : Particule dans un État Superposé
L'hamiltonien H est donnée par H|n₁, n₂⟩ = (n₁ + n₂)E₀|n₁, n₂⟩, avec ⟨n₁, n₂|n₁', n₂'⟩ = δ(n₁, n₁')δ(n₂, n₂').
À t = 0, la particule est dans l'état normalisé |y(0)⟩ = a|1, 1⟩ + b|1, 2⟩, où a et b sont des constantes réelles positives.
La valeur moyenne de l'énergie à t = 0 est 3E₀.
Détermination des Constantes a et b
La normalisation de l'état donne a² + b² = 1. La valeur moyenne de l'énergie est ⟨y(0)|H|y(0)⟩ = 3E₀.
En utilisant ces deux conditions, on peut résoudre pour a et b.
FAQ
1. Qu'est-ce qu'un état lié en mécanique quantique ?
Un état lié est une solution de l'équation de Schrödinger où l'énergie E de la particule est inférieure au potentiel V(x) en dehors d'une région finie de l'espace. Cela signifie que la particule est confinée dans cette région.
2. Comment calculer les probabilités de mesure dans un espace à plusieurs dimensions ?
Les probabilités sont obtenues en calculant le module au carré des coefficients de projection de l'état initial sur les vecteurs propres de l'hamiltonien. Si |y⟩ = Σcₙ|ψₙ⟩, alors la probabilité de mesurer Eₙ est |cₙ|².
3. Que représente la valeur moyenne de l'énergie ?
La valeur moyenne de l'énergie, notée ⟨E⟩, est calculée comme ⟨ψ|H|ψ⟩ pour un état |ψ⟩. Elle donne une estimation de l'énergie attendue lors d'une mesure sur ce système.