Mécanique quantique travaux dirigés séric n°8 -Mécanique qua
Télécharger PDFExercice n°1 : Mécanique quantique et oscillateur harmonique
On considère les états propres de l'opérateur annihilation a : |a⟩ = b|y⟩ + ct|b⟩, où b et ct sont des coefficients complexes.
1. Action des opérateurs a et a* sur un ket propre |n⟩
L'opérateur annihilation a agit sur un ket propre |n⟩ de l'hamiltonienne H comme suit : a|n⟩ = √n|n−1⟩. L'opérateur création a* agit sur |n⟩ comme suit : a*|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩.
2. Relation de récurrence pour les coefficients cₙ
En développant |a⟩ sur la base des états propres |n⟩, on obtient : |a⟩ = Σₙ=0^∞ cₙ|n⟩. En appliquant l'opérateur a sur |a⟩, on établit la relation de récurrence suivante : cₙ√n = b cₙ₋₁.
3. Expression de bₙ cₙ en fonction de c₀
On montre que : bₙ cₙ = √n c₀.
4. Normalisation de l'état |a⟩
Pour que l'état |a⟩ soit normé, on détermine c₀ tel que : ⟨a|a⟩ = Σₙ=0^∞ |cₙ|² = 1. En utilisant la relation bₙ cₙ = √n c₀, on obtient : c₀ = e^(−|b|²/2) / √(Σₙ=0^∞ (|b|²)^n / n!). Si on choisit le facteur de phase réel, alors : c₀ = e^(−|b|²/2). L'expression de |a⟩ devient : |a⟩ = Σₙ=0^∞ (b^n / √n!) e^(−|b|²/2) |n⟩.
5. Coïncidence avec l'état fondamental
Pour l'état |a⟩ où b = 0, on a : |a⟩ = Σₙ=0^∞ cₙ|n⟩ = c₀|0⟩, ce qui correspond à l'état fondamental de l'oscillateur harmonique.
6. Expression de l'opérateur hamiltonien H
L'opérateur hamiltonien H est donné par : H = ħω (a* a + 1/2).
7. Expression de H en fonction de a et a*
On pose : X = √(ħ/2mω) (a + a*), P = i√(mωħ/2) (a* − a). En utilisant la relation [a, a*] = 1, on établit que : H = (X² + P²)/2 − ħω/2. Finalement, on obtient : H = ħω (a* a + 1/2).
8. Valeurs moyennes des opérateurs X, P, H, X² et P² sur l'état |a⟩
Pour l'état |a⟩ normé, on a : ⟨X⟩ = b√(ħ/2mω) (e^(−|b|²/2) + e^(−|b|²/2)), ⟨P⟩ = 0. ⟨H⟩ = ħω (⟨a* a⟩ + 1/2) = ħω (|b|² + 1/2). ⟨X²⟩ = (2|b|² + 1) ħ/(2mω). ⟨P²⟩ = mωħ (|b|² + 1/2).
9. Calcul de ΔX et ΔP
On obtient : ΔX = √(⟨X²⟩ − ⟨X⟩²) = √(ħ/(2mω)), ΔP = √(⟨P²⟩ − ⟨P⟩²) = √(mωħ/2). Ainsi : ΔX ΔP = ħ/2.
Exercice n°2 : Collision élastique de deux protons
Ce problème traite la collision élastique de deux protons en appliquant les principes de la relativité restreinte.
1. Expression de p₁ et v₁
On montre que : p₁ = 1 − (m₂/c²)², v₁ = c√(1 − (m₂/c²)²).
2. Expression de cos(α)
L'angle α entre les directions des deux protons après collision vérifie : cos(α) = (E₁ − E₀)/(E₁ + 3E₀), où E₁ et E₀ sont les énergies des protons.
3. Condition pour des directions perpendiculaires
Pour que les directions des deux protons soient perpendiculaires après collision, il faut que : cos(α) = 0, ce qui implique que : E₁ = 3E₀.
Exercice n°11 : Coefficients de développement et relations
On rappelle les relations pour les opérateurs annihilation et création : a|n⟩ = √n|n−1⟩, a*|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩.
1. Développement de |a⟩ sur la base |n⟩
On a : |a⟩ = Σₙ=0^∞ cₙ√(n+1)|n⟩. En utilisant la relation de récurrence, on obtient : cₙ√(n+1) = b cₙ₋₁.
2. Relation de récurrence pour les coefficients cₙ
En remplaçant n par n+1, on établit : cₙ₊₁ = b cₙ / √(n+1).
3. Démonstration de la relation pour cₙ
En utilisant le changement de variable m = n + 1, on obtient : cₙ = √(n+1) cₙ₊₁ / b. En remplaçant n par n−1, on démontre : cₙ₋₁ = √(n−1) cₙ / b². Pour n ≥ 2, on a : cₙ = √(n(n−1)) cₙ₋₂ / b³. Ainsi, en généralisant : cₙ = √(n!) c₀ / bⁿ.
4. Calcul de la norme de |a⟩
Pour que |a⟩ soit normé, on a : ⟨a|a⟩ = Σₙ=0^∞ |cₙ|² = 1. En utilisant cₙ = √(n!) c₀ / bⁿ, on obtient : c₀ = e^(−|b|²/2). Ainsi, la condition de normalisation est vérifiée.
FAQ
1. Que signifie l'opérateur annihilation a et l'opérateur création a* en mécanique quantique ?
L'opérateur annihilation a diminue le nombre quantique d'un état de 1 (|n⟩ → |n−1⟩), tandis que l'opérateur création a* l'augmente de 1 (|n⟩ → |n+1⟩). Ils sont utilisés pour décrire les états quantiques d'un oscillateur harmonique.
2. Comment normalise-t-on un état quantique ?
Un état quantique est normalisé si sa norme est égale à 1, c'est-à-dire ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Cela implique que la somme des carrés des modules des coefficients de développement doit être égale à 1.
3. Quelle est la relation entre les opérateurs X, P et l'hamiltonien H dans un oscillateur harmonique ?
Les opérateurs X et P sont définis en fonction de a et a* comme suit : X = √(ħ/2mω) (a + a*), P = i√(mωħ/2) (a* − a). L'hamiltonien H s'exprime alors comme : H = (X² + P²)/2 − ħω/2.