Travaux dirigés de mécanique quantique série n°2 -Mécanique
Télécharger PDFTravaux dirigés de Mécanique Quantique – Série n°2
Exercice 1
Longueur d'onde de De Broglie
1- Calculer la longueur d'onde de De Broglie pour : • Un électron, d'énergie cinétique égale à 10 eV, sachant que me = 9,1 × 10-31 kg • Une personne, de masse m = 70 kg, se déplaçant à une vitesse de l'ordre du mètre par seconde. Commenter les ordres de grandeur obtenus.
2- Les fullerènes C60 sont les molécules les plus grosses pour lesquelles des phénomènes ondulatoires ont été observés. Dans les expériences correspondantes, les molécules ont une vitesse moyenne de 220 m/s. Calculer la longueur d'onde de De Broglie de ces molécules. Comment se compare-t-elle aux dimensions de la molécule (de l'ordre du nanomètre) ?
Exercice 2
Le modèle de Bohr
Pour expliquer la stabilité de l'atome, Bohr imagina que les électrons devaient se mouvoir sur des orbites circulaires. Sur la première orbite, de rayon a0, la quantité de mouvement de l'électron vérifie : p0 = h/a0.
1- Afin qu'on puisse parler de trajectoire au sens classique du terme, quelle limitation doit-on imposer aux indéterminations Δr et Δp pour l'orbite de Bohr considérée ?
2- Montrer que ces limitations sont incompatibles avec l'inégalité de Heisenberg spatiale.
3- Que doit-on en déduire pour le modèle de Bohr ?
Exercice 3
L'effet photoélectrique
La photocathode d'une cellule photoélectrique est en césium. La longueur d'onde seuil du césium est λ0 = 0,660 μm. L'intensité du courant de saturation est is = 7,20 μA lorsque la cathode reçoit un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde λ = 0,450 μm et de puissance P = 1,00 mW.
Déterminer : 1- Le travail W0 d'extraction d'un photoélectron. 2- L'énergie cinétique maximale (Ecmax) et la vitesse maximale d'un électron (vmax). 3- Le potentiel d'arrêt Ua. 4- Le nombre n de photons reçus par la cathode par unité de temps. 5- Le nombre ne d'électrons émis par la cathode par unité de temps. 6- L'intensité is du courant de saturation si la puissance du faisceau lumineux est P' = P/3.
Exercice 4
Particule dans une boîte unidimensionnelle
Une particule de masse m, d'énergie E, est confinée dans un intervalle 0 < x < L où son énergie potentielle est choisie nulle V(x) = 0.
1- On adopte dans cette question seulement un traitement classique. On admet que la densité de probabilité de présence classique de la particule entre x et x + dx est proportionnelle à la durée de passage dt entre ces deux abscisses.
a- En exploitant la conservation de l'énergie, exprimer la vitesse classique (v) de la particule à l'abscisse x.
b- Montrer qu'après normalisation, la densité de probabilité de présence classique s'exprime ainsi : dPcl/dx = L-1.
c- Calculer la probabilité de présence de la particule entre les abscisses 0 et L/4.
2- On adopte maintenant un traitement quantique. L'énergie E de la particule correspond à un état stationnaire représenté par la fonction d'onde :
ψn(x,t) = An sin(πnx/L) e-iEt/h, où n ∈ ℕ*.
a- Déterminer la constante An en normalisant cette fonction d'onde.
b- Calculer la probabilité de présence de la particule entre 0 et L.
c- Que devient ce dernier résultat dans la limite où n » 1 ? Comment ce résultat se compare-t-il au résultat de la théorie classique ?
FAQ
1- Comment calculer la longueur d'onde de De Broglie ? Utilisez la formule λ = h/p, où h est la constante de Planck et p la quantité de mouvement.
2- Que signifie l'inégalité de Heisenberg spatiale ? Elle exprime que le produit des incertitudes sur la position (Δx) et la quantité de mouvement (Δp) d'une particule est toujours supérieur ou égal à h/4π.
3- Pourquoi le modèle de Bohr est-il incompatible avec la mécanique quantique ? Les incertitudes imposées par les relations de Heisenberg rendent impossible une description classique précise des orbites électroniques.