Ce document est une épreuve de rattrapage de Mécanique, destinée aux étudiants universitaires des filières SMP3 et Physique 4. Conçue pour l'année universitaire 2006/2007 de la Faculté des Sciences de Tétouan, elle vise à évaluer la compréhension et l'application des principes fondamentaux de la mécanique du solide et des systèmes.
Elle couvre les notions suivantes :
- Le calcul des matrices d'inertie et des centres de masse pour des solides composés.
- La cinématique et la dynamique des systèmes de solides en rotation.
- L'application du Principe Fondamental de la Dynamique et la manipulation des torseurs d'actions mécaniques.
Examen mecanique smp3 physique 4 - Télécharger pdf
Télécharger PDFPartie I : Étude d'un solide composite
On considère un solide Σ, formé d'une barre rectiligne (O0A), solide S1, homogène, de section négligeable, de longueur 2L et de masse m1. Cette barre est soudée en O0 à un disque D(O0,R), solide S2, homogène, de masse m2 et de rayon R. On note G le centre de masse de Σ. On pose la masse totale M = m1 + m2.
1. Matrices d'inertie
Déterminer, en fonction des données, les matrices d'inertie II(S1, O0), II(S2, O0) et II(Σ, O0).
2. Centre de masse et matrice d'inertie
Calculer le vecteur position OG et la matrice d'inertie II(Σ, G).
Partie II : Cinématique et dynamique d'un système de deux solides
Soient R0(O0, x0, y0, z0) un repère Galiléen. Σ est un système formé de deux solides S1 et S2.
S1 est une tige (AB) dont l'extrémité A est fixe sur l'axe (O0, z0) avec O0A = Rz0, et AB = 2Lx0, où R et L sont des constantes positives.
S2 est un solide de révolution d'axe (O0, x0), de masse m2, dont le centre G décrit la tige avec AG = x x0 (variable ; 0 < x < 2L).
On note I le point de contact de S2 et du plan (O0, x0, y0) avec IG = Rz1. Soit R1(O1, x1, y1, z1) le repère déduit de R0(O0, x0, y0, z0) par une rotation appropriée. Soit R2(G, x2, y2, z2) le repère d'origine G lié à S2, déduit de R1(O1, x1, y1, z1) par une rotation autour de x1 d'un angle θ. Les bases sont définies par ces rotations. On donne la matrice d'inertie de S2 en G : II(S2, G) = diag(A, B, C).
Tous les résultats sont à exprimer dans la base appropriée.
1. Calcul des torseurs et moments
Calculer le torseur cinétique T(S1/R0), le torseur cinétique T(S2/R0), et le moment cinétique L(S1/R0) au point G. Donner également l'énergie cinétique de S1 par rapport à R0.
2. Équations du mouvement
On suppose que l'action de S1 sur S2 est représentée par le torseur Γ1, et celle du plan sur S2 par le torseur Γ2. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) sous la forme des moments au solide S2, en considérant les moments M(G) pour S2 et M(I) pour l'action du plan, et écrire les équations du mouvement (sans les développer).
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une matrice d'inertie ?
La matrice d'inertie, ou tenseur d'inertie, est une représentation mathématique qui décrit la distribution de la masse d'un corps rigide par rapport à un point ou un axe. Elle est cruciale pour calculer le moment cinétique et l'énergie cinétique de rotation, et donc pour analyser la dynamique de rotation des solides.
Quel est le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) ?
Le Principe Fondamental de la Dynamique est une loi fondamentale de la mécanique qui établit la relation entre les forces agissant sur un corps et l'accélération qu'il subit. Pour un solide rigide, le PFD est exprimé par deux équations : le théorème de la résultante dynamique (force = masse x accélération du centre de masse) et le théorème du moment cinétique (somme des moments des forces = dérivée du moment cinétique).
Qu'est-ce qu'un torseur cinétique ?
En mécanique des solides, un torseur cinétique est un outil mathématique qui regroupe en un seul objet le moment cinétique et la quantité de mouvement d'un solide. Il permet de caractériser complètement l'état cinématique d'un solide rigide en mouvement et est particulièrement utile dans l'application du Principe Fondamental de la Dynamique.