Exercices applications lineaires matrices determinants laine
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Exercice 1
Soit f: R3 → R2 définie pour tout vecteur x = (x1, x2, x3) ∈ R3 par f(x) = (x1 + x2 + x3, 2x1 + x2 − x3)
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau de f (ker(f)).
Exercice 2
Soit f: R3 → R2 définie par f(x, y, z) = (x + y + z, −x + 2y + 2z)
On appelle B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et B' = (e'1, e'2) la base canonique de R2.
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Donner une base et la dimension du noyau de f (ker(f)) et une base et la dimension de l'image de f (Im(f)).
Exercice 3
Soit f: R3 → R2 définie pour tout vecteur x = (x, y, z) ∈ R3 par : f(x) = (−2x + y + z, x − 2y + z)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Donner une base de ker(f), en déduire dim(Im(f)).
3. Donner une base de Im(f).
Exercice 4
On considère l’application h: R2 → R2 définie par : h(x, y) = (x − y, −3x + 3y)
1. Montrer que h est une application linéaire.
2. Montrer que h est ni injective ni surjective.
3. Donner une base de son noyau et une base de son image.
Exercice 5
Soit f l’application linéaire f: R3 → R3 définie par : f(x1, x2, x3) = (x1 − x3, 2x1 + x2 − 3x3, −x2 + 2x3)
Et soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
1. Calculer f(e1), f(e2) et f(e3).
2. Déterminer les coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3) dans la base canonique.
3. Calculer une base de ker(f) et une base de Im(f).
Exercice 6
Soit f: R3 → R3 définie pour tout vecteur x = (x, y, z) ∈ R3 par : f(x) = (−2x + y + z, x − 2y + z, x + y − 2z)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Donner une base de ker(f), en déduire dim(Im(f)).
3. Donner une base de Im(f).
Exercice 7
Soit B = (e1, e2, e3). Soit f: R3 → R3 l’application linéaire définie pour tout x = (x, y, z) ∈ R3 par : f(x) = (6x − 4y − 4z, 5x − 3y − 4z, x − y)
1. Montrer qu’il existe un vecteur v ∈ R3, non nul, tel que ker(f) = Vect(v), déterminer un vecteur qui convient.
2. Soit u = e1 + e2 et v = e2 − e3
a. Calculer f(u) et f(v)
b. En déduire que {u, v} est une base de Im(f). On pourra utiliser une autre méthode.
3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant Im(f).
4. A-t-on ker(f) + Im(f) = R3?
Exercice 8
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4 et B' = (e'1, e'2, e'3) la base canonique de R3.
Soit f: R4 → R3 une application linéaire définie par f(e1) = e'1 − e'2 + 2e'3; f(e2) = 2e'1 + e'2 − 3e'3; f(e3) = 3e'1 − e'3 et f(e4) = −e'1 − 2e'2 + 5e'3
1. Déterminer l’image par f des vecteurs x = (x1, x2, x3, x4)
2. Déterminer une base de ker(f) et sa dimension.
3. Déterminer une base de Im(f) et sa dimension.
Exercice 9
Soit f: R4 → R4 l’application définie pour tout x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 par : f(x) = (x1 − x2 + x3, 0, x1 + x2 − x3 + x4, x4)
Soit F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4, x1 + x2 − x3 + x4 = 0}
1. Donner une base de ker(f) et sa dimension.
2. Donner une base (La plus simple possible) de Im(f) et sa dimension.
3. A-t-on ker(f) + Im(f) = R4?
4. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4, en donner une base et sa dimension.
5. A-t-on ker(f) + F = R4?
Exercice 10
On appelle B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4.
Soit f: R4 → R4 qui, à un vecteur x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 associe le vecteur f(x) ∈ R4 défini par : f(x) = (x1 − x2 + 2x3 + 2x4, x1 + 2x2 − x3 + 2x4, −x1 + x2 − 2x3 − 2x4, −x1 + x2 − x3 − x4)
On admettra que f est une application linéaire.
1. Déterminer une base du noyau de f.
2. Déterminer une base de l’image de f.
3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant Im(f).
Exercice 11
Soit f un endomorphisme de R3 dont l'image des vecteurs de la base canonique B = (e1, e2, e3) est :
f(e1) = −7e1 − 6e2
f(e2) = 8e1 + 7e2
f(e3) = 6e1 + 6e2 − e3
1. Pour tout vecteur x = x1e1 + x2e2 + x3e3 déterminer f o f(x).
2. En déduire que f est inversible (c'est-à-dire bijective) et déterminer f^(-1).
Exercice 12
Soit f: R4 → R4 définie pour tout (x, y, z, t) ∈ R4 par f(x, y, z, t) = (x − 2y, y − 2z, 0, x − y − z − t)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f.
3. A-t-on ker(f) + Im(f) = R4?
Exercice 13
Soit l’application f: R4 → R3 définie pour tout x = (x, y, z, t) ∈ R4 par : f(x, y, z, t) = (x + y, z + t, x + y + z + t)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Déterminer une base de ker(f).
3. Déterminer une base de Im(f).
Exercice 14
Soit f: R3 → R3 l’application définie par : f(x1, x2, x3) = (−2x1 + 4x2 + 4x3, −x1 + x3, −2x1 + 4x2 + 4x3)
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer une base de ker(f) et une base de Im(f).
3. A-t-on ker(f) + Im(f) = R3?
Exercice 15
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
Soit f un endomorphisme de R3 défini par : f(e1) = 2e1 + e2 + 3e3; f(e2) = e2 − 3e3; f(e3) = −2e2 + 2e3
1. Soit x = (x1, x2, x3) ∈ R3 un vecteur. Déterminer l’image par f du vecteur x. (Calculer f(x)).
2. Soient E_2 = {x ∈ R3, f(x) = 2x} et E_moins_1 = {x ∈ R3, f(x) = −x}
Montrer que E_2 et E_moins_1 sont des sous-espaces vectoriels de R3.
3. Déterminer une base de E_2 et une base de E_moins_1.
4. Y a-t-il E_2 + E_moins_1 = R3?
Exercice 16
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
Soit f: R3 → R3 l’application linéaire telle que :
f(e1) = (1/3)(−e1 + 2e2 + 2e3)
f(e2) = (1/3)(2e1 − e2 + 2e3)
f(e3) = (1/3)(2e1 + 2e2 − e3)
Soient E_moins_1 = {x ∈ R3 | f(x) = −x} et E_1 = {x ∈ R3 | f(x) = x}
1. Montrer que E_moins_1 et E_1 sont des sous-espaces vectoriels de R3.
2. Montrer que e1 − e2 et e1 − e3 appartiennent à E_moins_1 et que e1 + e2 + e3 appartient à E_1.
3. Que peut-on en déduire sur les dimensions de E_moins_1 et de E_1 ?
4. Déterminer E_moins_1 ∩ E_1.
5. A-t-on E_moins_1 + E_1 = R3?
6. Calculer f^2 = f o f et en déduire que f est bijective et déterminer f^(-1).
Exercice 17
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
Soit B' = (u, v, w) avec u = (1/3)(2, −2, 1); v = (1/3)(2, 1, −2); w = (1/3)(1, 2, 2)
Soit f l’endomorphisme de R3 défini par :
f(e1) = 3e1 + e2 − e3
f(e2) = e1 + 7e2
f(e3) = −e1 − e3
1. Montrer que B' est une base de R3.
2. Soit x = (x1, x2, x3) ∈ R3, calculer f(x).
3. Montrer que :
f(u) = 3u − 3v
f(v) = 3u + 3v
f(w) = −3u + 3v + 3w
Exercice 18
Soit f l’application de R3 dans R3 qui à tout vecteur x = (x, y, z) associe le vecteur f(x) = (2x + y + 2z, y, −x − y − z)
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3. On note f^2 = f o f.
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Calculer f(e1), f(e2) et f(e3), puis f^2(e1), f^2(e2) et f^2(e3), que peut-on en déduire sur f^2(x) pour tout x ∈ R3?
3. Donner une base de Im(f) et une base de ker(f − Id), montrer que ces deux espaces vectoriels sont égaux.
4. Montrer que ker(f) + Im(f) = R3
Exercice 19
Soit E un espace vectoriel. Soit f un endomorphisme de E tel que f^2 = Id (où Id est l'endomorphisme identité).
On pose E_1 = ker(f − Id) et E_2 = ker(f + Id)
1. Soit v1 ∈ E_1 et v2 ∈ E_2. Calculer f(v1) et f(v2).
2. Pour tout v ∈ E écrire v = (f(v) + v)/2 + (v - f(v))/2 et montrer que E_1 + E_2 = E
3. On suppose que E est de dimension finie et que f ≠ Id et f ≠ -Id. Soit (e1, e2, ..., en) une base de E telle que : E_1 = Vect(e1, ..., ek) et E_2 = Vect(ek+1, ..., en) calculer f(ei) dans la base (e1, e2, ..., en).
Exercice 20
Soit B = (e1, e2) la base canonique de R2.
Soit f un endomorphisme de R2 tel que f(e1) = e1 + e2 et tel que dim(ker(f)) = 1
1. Déterminer f(e2) en fonction d’un paramètre a ∈ R.
2. Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2) ∈ R2 en fonction de a.
3. Déterminer une base du noyau de f.
Exercice 21
Soit f: R4 → R l’application définie pour tout x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 par f(x) = x1 + x2 + x3 + x4
On appelle B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4.
1. Calculer les images des vecteurs de la base canonique par f. En déduire la dimension de Im(f).
2. Déterminer la dimension de ker(f) et en donner une base.
Exercice 22
Soit f l’application de R^n dans R définie pour tout x = (x1, x2, ..., xn) par : f(x) = x1 + x2 + ... + xn
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Déterminer les dimensions de Im(f) et de ker(f).
Exercice 23
Soit f une application linéaire de E dans E, E étant un espace vectoriel de dimension n avec n pair.
Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes
(a) f^2 = 0 (où 0 est l’application linéaire nulle) et n = 2 dim(Im(f))
(b) Im(f) = ker(f)
Exercice 24
Question de cours
Soit f une application linéaire de E vers F. Montrer que : f est injective si et seulement si ker(f) = {0_E}.
Exercice 25
Soit f: E → F une application linéaire et lambda un réel.
1. Soit E_lambda = ker(f − lambda * Id). Calculer f(x) pour x ∈ E_lambda. Montrer que E_lambda est un sous-espace vectoriel de E.
2. Soit G ⊂ E un sous-espace vectoriel de E, montrer que f(G) est un sous-espace vectoriel de F.
3. Si lambda ≠ 0, montrer que f(E_lambda) = E_lambda
Exercice 26
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p.
Soit f: E → F une application linéaire.
1. Montrer que si n < p alors f n’est pas surjective.
2. Montrer que si n > p alors f n’est pas injective.
Exercice 27
Soit f: E → F une application linéaire.
Montrer que : ker(f) ∩ Im(f) = f(ker(f^2))
Exercice 28
Soient f et g deux endomorphismes de R^n.
Montrer que g(ker(f o g)) = ker(g) ∩ Im(f)
Exercice 29
Soit f un endomorphisme de E un espace vectoriel.
1. Montrer que ker(f) ⊂ ker(f^2).
2. Montrer que Im(f^2) ⊂ Im(f).
Exercice 30
Soit f un endomorphisme de E, un espace vectoriel.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
(i) ker(f) ∩ Im(f) = {0_E}
(ii) ker(f) = ker(f o f)
Exercice 31
Soit f: R^n → R^p, une application linéaire, B = (e1, ..., en) la base canonique de R^n et B' = (e'1, ..., e'p) la base canonique de R^p.
1. n = 3, p = 2
f(e1) = e'1 + 2e'2, f(e2) = 2e'1 − e'2 et f(e3) = −e'1 + e'2
a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2, x3) par f.
b) Déterminer la matrice de f de la base B dans la base B'.
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
2. n = 3 et p = 3, dans cette question B' = B
f(e1) = 3e1 + 2e2 + 2e3, f(e2) = 2e1 + 3e2 + 2e3 et f(e3) = 2e1 + 2e2 + 3e3
a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2, x3) par f.
b) Déterminer la matrice de f de la base B dans la base B.
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
Exercice 32
Soit f: R^n → R^p, une application linéaire, B = (e1, ..., en) la base canonique de R^n et B' = (e'1, ..., e'p) la base canonique de R^p.
1. n = 2, p = 3
A = Mat(f, B, B') =
( 1 0 )
( 2 1 )
( -1 1 )
a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2) par f.
b) Déterminer l’image de la base B (c’est-à-dire f(e1) et f(e2)).
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
2. n = 4, p = 4, dans cette question B' = B
A = Mat(f, B, B) =
( 1 0 2 -1 )
( -1 2 0 -1 )
( 1 -1 1 0 )
( 2 3 7 -5 )
a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2, x3, x4) par f.
b) Déterminer l’image de la base B (c’est-à-dire f(e1), f(e2), f(e3) et f(e4) ).
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
Exercice 33
Soit f: R^n → R^p, une application linéaire, B = (e1, ..., en) la base canonique de R^n et B' = (e'1, ..., e'p) la base canonique de R^p.
1. n = 3 et p = 3 dans cette question B' = B. Soit x = (x1, x2, x3) ∈ R3
f(x) = (x1 + x2, 2x1 − x3, 3x1 + x2 − x3)
(On admet que f est une application linéaire).
a) Déterminer l’image de la base B (c’est-à-dire f(e1), f(e2), et f(e3) ).
b) Déterminer la matrice de f de la base B dans la base B.
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
2. n = 3 et p = 3 dans cette question B' = B. Soit x = (x1, x2, x3) ∈ R3
f(x) = (x1 + x2, x1 + x2, x1 + x2)
(On admet que f est une application linéaire).
a) Déterminer l’image de la base B (c’est-à-dire f(e1), f(e2), et f(e3) ).
b) Déterminer la matrice de f de la base B dans la base B.
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
Exercice 34
Soit f: R4 → R3 l’application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques de R4 et R3 est
A =
( 1 1 2 1 )
( 1 1 -2 5 )
( 1 -2 1 -11 )
1. Déterminer une base du noyau de f.
2. Déterminer une base de l’image de f. Quel est le rang de f ?
Exercice 35
Déterminer le rang de la matrice A =
( 2 1 1 1 1 )
( 1 1 1 1 1 )
( 1 2 1 1 1 )
( 1 1 2 1 1 )
( 1 1 1 2 1 )
Exercice 36
Soit la matrice A définie par : A =
( 13 -8 -12 )
( 12 -7 -12 )
( 6 -4 -5 )
1. Montrer que A est inversible et calculer son inverse A^(-1).
2. En déduire A^n, pour tout n entier.
Exercice 37
Soit A la matrice définie par : A =
( 0 1 1 )
( 1 0 1 )
( 1 1 0 )
1. Calculer A^2.
2. Trouver un polynôme P de degré 2 tel que P(A) = 0.
3. En déduire A^(-1).
4. Retrouver A^(-1) par une autre méthode.
Exercice 38
Soit A =
( 1 0 0 )
( 0 0 1 )
( 0 -1 0 )
1. Calculer A^2 et A^3. Calculer A^3 − A^2 + A − Id.
2. Exprimer A^(-1) en fonction de A^2, A et Id.
3. Exprimer A^4 en fonction de A^2, A et Id.
Exercice 39
Soit A la matrice A =
( 3 0 1 )
( -1 3 -2 )
( -1 1 0 )
Calculer (A − 2Id)^3, puis en déduire que A est inversible et déterminer A^(-1) en fonction de A, Id et de A^2.
Exercice 40
À tout nombre réel a on associe la matrice : A(a) =
( ch(a) sh(a) )
( sh(a) ch(a) )
1. Calculer le produit des matrices A(a1) et A(a2), où a1 et a2 sont deux réels quelconques.
2. Montrer que A(a) est inversible, et déterminer A^(-1)(a).
Exercice 41
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
Soit f: R3 → R3 l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est
A =
( 1 2 -2 )
( 2 1 -2 )
( 2 2 -3 )
1. Montrer que E_1 = {x ∈ R3, f(x) = x} est un sous-espace vectoriel de R3 dont on donnera une base u.
2. Soient v = (0,1,1) et w = (1,1,2) deux vecteurs de R3. Calculer f(v) et f(w).
3. Montrer que B' = (u, v, w) est une base de R3.
4. Déterminer la matrice de passage P de B à B'.
5. Calculer P^(-1).
6. Déterminer la matrice A' de f dans la base B'.
7. Donner la relation entre A, A' et P.
Exercice 42
Soit f une application de R2 dans R2 définie par : f(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2) et B = (e1, e2) la base canonique de R2.
1. Montrer que f est un endomorphisme de R2.
2. Déterminer la matrice A de f dans la base B.
3. a) Déterminer le noyau et l'image de f.
b) En déduire que f est inversible.
c) Déterminer A^(-1) dans la base B, en déduire f^(-1).
4. Montrer que A = k * R. Où k est le rapport d'une homothétie dont on donnera le rapport et R est la matrice d'une rotation dont on donnera l'angle.
Soient u = e1 + e2 et v = e1 − e2 deux vecteurs de R2. On pose B' = (u, v).
5. Montrer que B' = (u, v) est une base de R2.
6. Calculer f(u) et f(v).
7. Déterminer la matrice de f dans la base B'.
Exercice 43
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est :
A =
( 1 4 4 )
( -1 -3 -3 )
( 0 2 3 )
Soient u = e1 − e2 + e3, v = 2e1 − e2 + e3 et w = 2e1 − 2e2 + e3 trois vecteurs de R3.
1. Montrer que B' = (u, v, w) est une base de R3.
2. Déterminer la matrice de passage P de B à B'. Calculer P^(-1).
3. Déterminer la matrice A' de f dans la base B'.
4. a) Calculer P^(-1)AP en fonction de A'.
b) Calculer A'^4.
c) En déduire les valeurs de A^4.
Exercice 44
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
Soit f une application linéaire de R3 dans R3 définie par :
f(e1) = −3e1 + 2e2 − 4e3
f(e2) = e1 − e2 + 2e3
f(e3) = 4e1 − 2e2 + 5e3
1. Déterminer la matrice A de f dans la base canonique.
2. Montrer que E = {x ∈ R3, f(x) = x} est un sous-espace vectoriel de R3. Montrer que la dimension de E est 1 et donner un vecteur non nul u de E.
3. Montrer que F = {(x1, x2, x3) ∈ R3, −2x1 + 2x2 + 3x3 = 0} est un sous-espace vectoriel de R3. Donner une base (v, w) de F.
4. Montrer que B' = (u, v, f(v)) est une base de R3.
5. Montrer que E + F = R3.
6. Déterminer la matrice A' de f dans la base B'.
Exercice 45
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
Soit f l’application linéaire qui à un vecteur x = (x1, x2, x3) ∈ R3 associe le vecteur f(x) = (x2 − 2x3, 2x1 − x2 + 4x3, x1 − x2 + 3x3)
1. Déterminer la matrice A de f dans la base canonique.
2. Déterminer une base (u, v) de ker(f − Id).
3. Donner un vecteur w tel que ker(f) = Vect(w).
4. Montrer que B' = (u, v, w) est une base de R3.
5. Déterminer la matrice A' de f dans la base B'.
6. Montrer que Im(f) = ker(f − Id)
7. Montrer que ker(f) + Im(f) = R3.
Exercice 46
Soit f l’endomorphisme de R3 défini pour tout x = (x1, x2, x3) par f(x) = (−10x1 + 3x2 + 15x3, −2x1 + 3x3, −6x1 + 2x2 + 9x3)
1. Déterminer la matrice A de f dans la base canonique de R3.
2. Déterminer la dimension du noyau et de l’image de f. On donnera un vecteur directeur u de ker(f).
3. A-t-on ker(f) + Im(f) = R3?
4. Déterminer un vecteur v tel que f(v) = u.
5. Montrer que E_moins_1 = {x ∈ R3, f(x) = −x} est un sous-espace vectoriel de R3, déterminer un vecteur directeur de E_moins_1 que l’on notera w.
6. Montrer que B' = (u, v, w) est une base de R3.
7. Déterminer la matrice A' de f dans la base B' et donner la relation reliant A et A'.
Exercice 47
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4.
Soit f l'endomorphisme de R4 dont la matrice par rapport à la base B est :
A =
( -6 -3 0 6 )
( 6 3 0 -6 )
( 0 0 -3 3 )
( 0 0 0 0 )
Soit B' = (u, v, w, z) une famille de R4 définie par :
u = e1 − e2
v = e1 − e2 − e3
w = 2e1 − 2e2 + e3 + e4
z = −e1 + 2e2
1. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de R4.
2. Calculer f(u), f(v), f(w) et f(z) et les exprimer dans la base B' = (u, v, w, z).
3. Déterminer la matrice A' de f dans la base B'.
Exercice 48
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4.
Soit f un endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est
A =
( -3 -2 3 0 )
( 3 1 -3 -1 )
( 1 0 -1 -1 )
( -1 -1 2 -1 )
On pose :
u = (−1,1,0, −1)
v = (1, −2, −1,1)
w = (−2,3,1, −1)
z = (2, −1,0,1)
1. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de R4.
2. Donner la matrice de passage P de B à B'. Calculer P^(-1).
3. Calculer f(u), f(v), f(w) et f(z) dans la base B'.
4. Déterminer la matrice A' de f dans la base B'.
5. Calculer J = A' + Id, puis J^4 et en déduire (A' + Id)^4.
Exercice 49
Soit f un endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique, B = (e1, e2, e3, e4), est
A =
( -7 6 6 6 )
( 0 2 0 0 )
( -3 3 2 3 )
( -6 3 6 5 )
Soient u, v, w et z quatre vecteurs
u = −2e1 − e2 − e3 − e4
v = e2 − e4
w = 2e1 + e3 + e4
z = 3e1 + e3 + 2e4
1. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de R4.
2. Calculer f(u), f(v), f(w) et f(z) dans la base B' = (u, v, w, z)
3. En déduire la matrice A' de f dans la base B'.
4. Déterminer la matrice P de passage de B à B'.
5. Calculer P^(-1).
6. Calculer P^(-1)AP.
Exercice 50
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4.
Soit f un endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est :
A =
( 1 0 -1 1 )
( 1 0 -1 1 )
( 0 1 -1 1 )
( 0 1 -1 0 )
On pose u = e1 + e2 + e3, v = e1, w = f(u) et z = f^2(u).
1. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de R4.
2. Donner la matrice de passage P de B à B' . Calculer P^(-1).
3. Calculer f(u), f(v), f(w) et f(z) dans la base B'.
4. Déterminer la matrice A' de f dans la base B'.
5. Calculer A'^4 et en déduire A^4.
6. Donner une base de ker(f)
7. Donner une base de Im(f).
Exercice 51
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4.
Soit f l’endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est :
A =
( -1 -1 0 0 )
( 0 0 0 0 )
( -2 0 -1 1 )
( -1 0 0 0 )
1. Déterminer un vecteur u non nul tel que ker(f) = Vect(u).
2. Déterminer un vecteur v tel que f(v) = u.
3. Déterminer un vecteur w tel que f(w) = −w.
4. Soit z = (−1,0,0, −1), montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de R4.
5. Calculer f(z) dans la base B'.
6. Déterminer la matrice A' de f dans B'.
7. Quel est le rang de f.
8. Soit x = 2e1 − e2 − e3 + e4 = (2, −1, −1,1)
Calculer f(x), f^2(x), f^3(x) et on admettra que B'' = (x, f(x), f^2(x), f^3(x)) est une base de R4.
9. Calculer f^4(x) et montrer que f^4(x) = −2f^3(x) − f^2(x)
En déduire la matrice A'' de f dans la base B''.
10. Montrer que A et A'' sont deux matrices semblables (c’est-à-dire qu’il existe une matrice P, inversible, telle que A'' = P^(-1)AP).
FAQ (Foire Aux Questions)
Qu'est-ce qu'une application linéaire ?
Une application linéaire est une fonction entre deux espaces vectoriels qui préserve l'addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire. Autrement dit, pour tout vecteur u, v et tout scalaire lambda, f(u + v) = f(u) + f(v) et f(lambda * u) = lambda * f(u).
Quelle est la relation entre le noyau et l'image d'une application linéaire ?
Pour une application linéaire f: E → F, le noyau (ker(f)) est l'ensemble des vecteurs de E qui sont envoyés sur le vecteur nul de F, et l'image (Im(f)) est l'ensemble des vecteurs de F qui sont des images de vecteurs de E. Le théorème du rang établit une relation fondamentale : dim(E) = dim(ker(f)) + dim(Im(f)).
Comment déterminer si une matrice est inversible ?
Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul (det(A) ≠ 0). D'autres critères incluent : si son noyau (associé à l'application linéaire qu'elle représente) est réduit au vecteur nul, si son rang est égal à sa dimension, ou si elle est bijective.