Exercices fractions rationnelles et racines de polynômes alg
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Rappel :
1. Racines conjuguées d'un polynôme à coefficients réels
Soit P(x) un polynôme à coefficients réels. Si z est une racine d'ordre k de P(x), alors son conjugué z̅ est aussi une racine de P(x) du même ordre.
Preuve :
Supposons que P(z) = 0. Alors, P(z) = anzn + ... + a1z + a0 = 0.
En prenant le conjugué de cette égalité : P(z) = anzn + ... + a1z + a0 = 0̅ = 0.
Puisque les coefficients ai sont réels, ai = a̅i. Donc, a̅nz̅n + ... + a̅1z̅ + a̅0 = 0.
Cela signifie que P(z̅) = 0, et donc z̅ est aussi une racine de P(x). Le principe s'étend à l'ordre de la racine.
Remarque : Si P(x) ∈ ℝ[x], et P(z)=0, alors P(z̅)=0.
2. Décomposition en éléments simples de la somme de fractions rationnelles
Soient F et G deux fractions rationnelles sur K=ℝ ou ℂ. Alors la partie entière de (F+G) est la somme des parties entières de F et G, et la décomposition en éléments simples de (F+G) est la somme des décompositions en éléments simples de F et G.
Exercice 13
Soit P(x) = x5 - x4 + 2x3 - 2x2 + x - 1.
a) Déterminer l'ordre de la racine i pour P(x)
Calculons P(i) :
P(i) = i5 - i4 + 2i3 - 2i2 + i - 1
P(i) = i - 1 + 2(-i) - 2(-1) + i - 1
P(i) = i - 1 - 2i + 2 + i - 1 = 0.
Donc, i est une racine de P(x).
Calculons P'(x) pour déterminer son ordre :
P'(x) = 5x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1.
P'(i) = 5i4 - 4i3 + 6i2 - 4i + 1
P'(i) = 5(1) - 4(-i) + 6(-1) - 4(i) + 1
P'(i) = 5 + 4i - 6 - 4i + 1 = 0.
Donc, i est au moins une racine d'ordre 2.
Calculons P''(x) :
P''(x) = 20x3 - 12x2 + 12x - 4.
P''(i) = 20i3 - 12i2 + 12i - 4
P''(i) = 20(-i) - 12(-1) + 12i - 4
P''(i) = -20i + 12 + 12i - 4 = 8 - 8i.
P''(i) = 8 - 8i ≠ 0.
Donc, i est une racine d'ordre 2 de P(x).
b) Factorisation de P(x)
Puisque i est une racine d'ordre 2 de P(x), et comme P(x) ∈ ℝ[x] (c'est-à-dire que les coefficients de P(x) sont réels), alors son conjugué i̅ = -i est aussi une racine de P(x) d'ordre 2.
Puisque i et -i sont des racines de P(x) d'ordre 2, P(x) est divisible par (x-i)2 (x-(-i))2, ce qui est égal à ((x-i)(x+i))2 = (x2+1)2.
Ainsi, P(x) peut s'écrire sous la forme P(x) = (x2+1)2 Q(x).
Pour calculer Q(x), nous avons deux méthodes :
Méthode classique (Division Euclidienne) :
On effectue la division euclidienne de P(x) par (x2+1)2 = x4 + 2x2 + 1.
Autre méthode (Par identification) :
Le degré de P(x) est 5. Le degré de (x2+1)2 est 4. Donc, le degré de Q(x) est 5 - 4 = 1. Q(x) est de la forme ax+b.
P(x) = (x4+2x2+1)(ax+b)
En comparant le coefficient dominant de P(x) (qui est 1) : a = 1.
En comparant le terme constant de P(x) (P(0)=-1) : (04+2(0)2+1)(a(0)+b) = b. Donc b = -1.
Ainsi, Q(x) = x-1.
Finalement, P(x) = (x2+1)2 (x-1).
La factorisation de P(x) dans ℝ[x] est : P(x) = (x2+1)2 (x-1).
La factorisation de P(x) dans ℂ[x] est : P(x) = (x-i)2 (x+i)2 (x-1).
c) Décomposition de F(x) = (3x2+x3) / ((x-1)(x2+1)2) dans ℝ[x]
Soit F(x) = (3x2+x3) / ((x-1)(x2+1)2). Le degré du numérateur est 3, le degré du dénominateur est 5. Donc, la partie entière est nulle (E=0).
La forme de la décomposition en éléments simples dans ℝ[x] est :
F(x) = a/(x-1) + (Ax+B)/(x2+1) + (Cx+D)/((x2+1)2)
Calcul de a :
a = [(x-1) F(x)]x=1 = [(3x2+x3) / (x2+1)2]x=1 = (3(1)2+13) / (12+1)2 = (3+1) / (2)2 = 4/4 = 1.
Donc, a = 1.
Calcul de C et D :
Nous utilisons la méthode par identification ou en évaluant F(x)(x2+1)2 mod (x2+1). Soit G(x) = (3x2+x3)/(x-1).
Alors (Cx+D) = G(x) mod (x2+1). En posant x2 = -1 :
G(x) = (3(-1)+x(-1))/(x-1) = (-3-x)/(x-1) = (-3-x)(x+1)/((x-1)(x+1)) = (-3x-3-x2-x)/(x2-1)
G(x) = (-(-1)-4x-3)/(-1-1) = (1-4x-3)/(-2) = (-4x-2)/(-2) = 2x+1.
Donc, Cx+D = 2x+1, ce qui implique C=2 et D=1.
Calcul de A et B :
En utilisant la limite à l'infini : limx→∞ x F(x) = 0.
D'autre part, limx→∞ x F(x) = a + A.
Donc, 0 = 1 + A, ce qui donne A = -1.
En utilisant F(0) : F(0) = (0)/( (-1)(1) ) = 0.
D'autre part, F(0) = a/(-1) + B/(1) + D/(1) = -a + B + D.
Donc, 0 = -1 + B + 1, ce qui donne B = 0.
La décomposition en éléments simples de F(x) dans ℝ[x] est :
F(x) = 1/(x-1) + (-x)/(x2+1) + (2x+1)/((x2+1)2).
Décomposition de F(x) dans ℂ[x]
Pour la décomposition dans ℂ[x], les coefficients complexes sont généralement notés différemment. La forme est :
F(x) = A0/(x-1) + A1/(x-i) + A2/(x-i)2 + A3/(x+i) + A4/(x+i)2.
Les coefficients pour les pôles conjugués sont conjugués entre eux : A3 = A̅1 et A4 = A̅2.
A0 = 1 (coefficient réel).
Calcul de A2 (correspondant à 'b' dans le texte original) :
A2 = [ (x-i)2 F(x) ]x=i = [ (3x2+x3) / ((x-1)(x+i)2) ]x=i
A2 = (3i2+i3) / ((i-1)(i+i)2) = (-3-i) / ((i-1)(2i)2) = (-3-i) / ((i-1)(-4)) = (3+i) / (4-4i)
A2 = (3+i)(4+4i) / ((4-4i)(4+4i)) = (12+12i+4i+4i2) / (16+16) = (8+16i) / 32 = 1/4 + 1/2 i.
Donc, A4 = A̅2 = 1/4 - 1/2 i.
Les calculs des autres coefficients (A1 et A3) sont plus complexes et impliquent des dérivées. Les valeurs présentées dans le texte original (c=1+i et a=1-i pour A1 et A3) conduisent à des incohérences avec les autres méthodes de calcul.
Exercice 14
a) Déterminer les racines de P(x) = x4 - 5x2 + 4
On a : P(x) = y2 - 5y + 4, avec y = x2.
Calculons le discriminant : Δ = (-5)2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 = 32.
Les racines de l'équation en y sont :
y1 = (5 - 3) / 2 = 1
y2 = (5 + 3) / 2 = 4
Donc, P(x) se factorise comme P(x) = (y-4)(y-1) = (x2-4)(x2-1).
En factorisant davantage : P(x) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1).
Les racines de P(x) sont 1, -1, 2 et -2.
b) Décomposer F(x) = (2x2+1) / (x4 - 5x2 + 4) en éléments simples dans ℝ[x]
On a F(x) = (2x2+1) / ((x-1)(x+1)(x-2)(x+2)).
Le degré du numérateur est 2, le degré du dénominateur est 4. La partie entière est nulle (E=0).
La forme de la décomposition en éléments simples dans ℝ[x] est :
F(x) = a/(x-1) + b/(x+1) + c/(x-2) + d/(x+2).
Remarque : F(x) est une fonction paire (F(x)=F(-x)). Cela implique que a = -b et c = -d, ce qui simplifie le calcul des coefficients.
Calcul de a (pour le pôle x=1) :
a = [ (x-1) F(x) ]x=1 = [ (2x2+1) / ((x+1)(x-2)(x+2)) ]x=1
a = (2(1)2+1) / ((1+1)(1-2)(1+2)) = 3 / (2 * -1 * 3) = 3 / -6 = -1/2.
Puisque F(x) est paire, b = -a = 1/2.
Calcul de c (pour le pôle x=2) :
c = [ (x-2) F(x) ]x=2 = [ (2x2+1) / ((x-1)(x+1)(x+2)) ]x=2
c = (2(2)2+1) / ((2-1)(2+1)(2+2)) = (8+1) / (1 * 3 * 4) = 9 / 12 = 3/4.
Puisque F(x) est paire, d = -c = -3/4.
La décomposition de F(x) dans ℝ[x] est :
F(x) = (-1/2)/(x-1) + (1/2)/(x+1) + (3/4)/(x-2) + (-3/4)/(x+2).
Exercice 15
Décomposer F(x) = x4 / ((x-2)(x2+x+2)) en éléments simples dans ℝ[x]
On remarque que le degré du numérateur (4) est supérieur au degré du dénominateur (3). Nous devons donc calculer la partie entière.
Le dénominateur est Q(x) = (x-2)(x2+x+2) = x3 + x2 + 2x - 2x2 - 2x - 4 = x3 - x2 - 4.
Effectuons la division euclidienne de x4 par x3 - x2 - 4 :
x4 = x(x3 - x2 - 4) + x3 + 4x
x3 + 4x = 1(x3 - x2 - 4) + x2 + 4x + 4
Donc, x4 = (x+1)(x3 - x2 - 4) + (x2 + 4x + 4).
La partie entière est E(x) = x+1, et le reste est R(x) = x2+4x+4.
Ainsi, F(x) = (x+1) + (x2+4x+4) / ((x-2)(x2+x+2)).
Pour décomposer F(x) dans ℝ[x], il suffit de décomposer la fraction F1(x) = (x2+4x+4) / ((x-2)(x2+x+2)).
Le polynôme x2+x+2 est irréductible dans ℝ[x] car son discriminant Δ = 12 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0.
La forme de la décomposition de F1(x) est :
F1(x) = a/(x-2) + (Ax+B)/(x2+x+2).
Calcul de a :
a = [ (x-2) F1(x) ]x=2 = [ (x2+4x+4) / (x2+x+2) ]x=2
a = (22+4(2)+4) / (22+2+2) = (4+8+4) / (4+2+2) = 16 / 8 = 2.
Donc, a = 2.
Calcul de A et B :
En utilisant la limite à l'infini : limx→∞ x F1(x) = 1.
D'autre part, limx→∞ x F1(x) = a + A.
Donc, 1 = 2 + A, ce qui donne A = -1.
En utilisant F1(0) : F1(0) = (02+4(0)+4) / ((-2)(02+0+2)) = 4 / (-2 * 2) = 4 / -4 = -1.
D'autre part, F1(0) = a/(-2) + B/2 = -a/2 + B/2.
Donc, -1 = -2/2 + B/2 = -1 + B/2.
Cela implique B/2 = 0, donc B = 0.
Enfin, la décomposition de F(x) dans ℝ[x] est :
F(x) = x+1 + 2/(x-2) + (-x)/(x2+x+2).
Exercice 16
Décomposer en éléments simples la fraction F(x) = 1 / ((x-1)3 (x+1)) dans ℝ[x]
On a F(x) = 1 / ((x-1)3 (x+1)). Le degré du numérateur est 0, le degré du dénominateur est 4. La partie entière est nulle (E=0).
La forme de la décomposition en éléments simples dans ℝ[x] est :
F(x) = a/(x+1) + b/(x-1) + c/(x-1)2 + d/(x-1)3.
Calcul de a (pour le pôle x=-1) :
a = [ (x+1) F(x) ]x=-1 = [ 1 / (x-1)3 ]x=-1 = 1 / (-1-1)3 = 1 / (-2)3 = 1 / -8 = -1/8.
Calcul de d (pour le pôle x=1, coefficient de l'ordre maximum) :
d = [ (x-1)3 F(x) ]x=1 = [ 1 / (x+1) ]x=1 = 1 / (1+1) = 1/2.
Calcul de b et c :
En utilisant la limite à l'infini : limx→∞ x F(x) = 0.
D'autre part, limx→∞ x F(x) = a + b.
Donc, 0 = -1/8 + b, ce qui donne b = 1/8.
En utilisant F(0) : F(0) = 1 / ((-1)3 (1)) = 1 / (-1) = -1.
D'autre part, F(0) = a/(1) + b/(-1) + c/(-1)2 + d/(-1)3 = a - b + c - d.
-1 = -1/8 - 1/8 + c - 1/2
-1 = -2/8 + c - 1/2 = -1/4 + c - 1/2 = -3/4 + c.
Donc, c = -1 + 3/4 = -1/4.
La décomposition en éléments simples de F(x) dans ℝ[x] est :
F(x) = (-1/8)/(x+1) + (1/8)/(x-1) + (-1/4)/(x-1)2 + (1/2)/(x-1)3.
Exercice 17
Décomposer en éléments simples dans ℝ[x] les fractions suivantes : F(x) = (x3-2x2) / (x2+2x+2)3 et G(x) = x5 / (x2+x+1)n
Remarque :
1) Décomposition d'un élément simple de type polynôme irréductible de degré 2
Soit H(x) = (Ax+B)/Q(x) où A, B ∈ ℝ et Q(x) est un polynôme irréductible de degré 2 dans ℝ[x]. Dans ce cas, H(x) est déjà sous sa forme d'élément simple dans ℝ[x]. Il n'y a pas de décomposition supplémentaire à effectuer.
2) Décomposition d'une fraction F(x) = N(x)/D(x)k où D(x) est un polynôme irréductible de degré m
Pour décomposer F(x) = N(x)/D(x)k, où D(x) est un polynôme irréductible de degré m, on effectue des divisions euclidiennes successives du numérateur par D(x).
On écrit N(x) = Q1(x)D(x) + R1(x), avec deg(R1) < deg(D).
Alors F(x) = Q1(x)/D(x)k-1 + R1(x)/D(x)k.
La partie R1(x)/D(x)k est un élément simple. Si k-1 > 0, on continue le processus avec Q1(x)/D(x)k-1. On répète cette opération jusqu'à ce que la puissance de D(x) au dénominateur devienne 1.
a) Décomposition de F(x) = (x3-2x2) / (x2+2x+2)3 dans ℝ[x]
Soit Q(x) = x2+2x+2. Son discriminant Δ = 22 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0, donc Q(x) est irréductible dans ℝ[x].
La décomposition de F(x) sera de la forme :
F(x) = (Ax+B)/Q(x)3 + (Cx+D)/Q(x)2 + (Ex+F)/Q(x).
Nous appliquons la méthode des divisions euclidiennes successives (décrite dans la remarque 2) sur le numérateur N(x) = x3-2x2 par Q(x) = x2+2x+2.
1. Division de N(x) par Q(x) :
x3-2x2 = (x-4)(x2+2x+2) + (6x+8).
Donc, F(x) = (x-4)/(x2+2x+2)2 + (6x+8)/(x2+2x+2)3.
2. Division du quotient (x-4) par Q(x) :
x-4 = (0)(x2+2x+2) + (x-4).
Donc, F(x) = (0)/(x2+2x+2) + (x-4)/(x2+2x+2)2 + (6x+8)/(x2+2x+2)3.
La décomposition finale de F(x) dans ℝ[x] est :
F(x) = (x-4)/(x2+2x+2)2 + (6x+8)/(x2+2x+2)3.
b) Décomposition de G(x) = x5 / (x2+x+1)n dans ℝ[x]
Soit Q(x) = x2+x+1. Son discriminant Δ = 12 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0, donc Q(x) est irréductible dans ℝ[x].
Nous appliquons la méthode des divisions euclidiennes successives du numérateur N(x) = x5 par Q(x) = x2+x+1.
1. Division de N(x) par Q(x) :
x5 = (x3-x2+1)(x2+x+1) + (-x-1).
Donc, G(x) = (x3-x2+1)/(x2+x+1)n-1 + (-x-1)/(x2+x+1)n.
Nous distinguons deux cas :
Cas où n=1 :
G(x) = (-x-1)/(x2+x+1). Cette fraction est déjà sous forme d'élément simple car le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur irréductible.
Cas où n ≥ 2 :
Nous continuons le processus en décomposant (x3-x2+1)/(x2+x+1)n-1. Nous effectuons une nouvelle division euclidienne du numérateur (x3-x2+1) par (x2+x+1) :
x3-x2+1 = (x-2)(x2+x+1) + (3x+3).
Donc, G(x) = (x-2)/(x2+x+1)n-2 + (3x+3)/(x2+x+1)n-1 + (-x-1)/(x2+x+1)n.
Ce processus se poursuit jusqu'à obtenir la décomposition complète en éléments simples.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?
Une fraction rationnelle est une expression mathématique de la forme P(x)/Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes et Q(x) n'est pas le polynôme nul. Elle est similaire à une fraction numérique, mais avec des polynômes au lieu de nombres entiers.
Pourquoi décomposer les fractions rationnelles en éléments simples ?
La décomposition en éléments simples est une technique fondamentale en mathématiques, particulièrement utile en calcul intégral (pour intégrer des fonctions rationnelles), en transformation de Laplace et de Fourier, et en automatique pour l'étude des systèmes linéaires. Elle permet de transformer une fraction complexe en une somme de fractions plus simples à manipuler.
Comment détermine-t-on l'ordre d'une racine d'un polynôme ?
Une racine 'a' d'un polynôme P(x) est d'ordre k si P(a) = 0, P'(a) = 0, ..., P(k-1)(a) = 0, et P(k)(a) ≠ 0. En d'autres termes, 'a' est une racine simple du polynôme dérivé (k-1) fois, mais pas du polynôme dérivé k fois.