Ce document didactique, destiné aux étudiants universitaires en mécanique du solide, offre une exploration approfondie des concepts de géométrie des masses à travers une série d'exercices corrigés. Il vise à renforcer la compréhension et la maîtrise des notions clés.
Il couvre les notions suivantes:
- Calcul du centre d'inertie et de gravité de solides variés.
- Détermination des matrices et moments d'inertie.
- Identification des axes principaux d'inertie.
- Application des théorèmes fondamentaux de la mécanique du solide.
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Exercice 1
Déterminer les coordonnées (xG, yG, zG) du centre d’inertie G des solides suivants :
- Un arc de cercle C(O, R) homogène, vu sous un angle 2α, d’axe de symétrie l’axe Ox, de densité linéique λ.
- Une plaque homogène (P) plane, d’épaisseur négligeable, ayant la forme d’un triangle rectangle OAB. Les sommets sont O(0,0), A(a,0) et B(0,b), où a et b sont des réels positifs. La densité surfacique est σ.
- Une demi-sphère pleine S(O, R) de centre O, de rayon R et d’axe de symétrie l’axe Oz. La densité de S est ρ.
- Un cône plein homogène, de sommet O, de rayon R, de hauteur h, ayant pour axe de symétrie l’axe Oz. Son demi-angle au sommet est α, et sa densité volumique ρ.
Solution Exercice 1
1. Calcul du centre de masse d’un arc de cercle
L’axe Ox est un axe de symétrie, donc le centre d’inertie appartient à cet axe. Les coordonnées yG et zG sont nulles. La coordonnée xG est calculée par intégration.
2. Calcul du centre de masse d’une plaque triangulaire
La plaque se trouvant dans le plan (xOy), le centre de masse a pour composantes zG = 0. Les composantes xG et yG sont à déterminer. Les variables x et y ne sont pas indépendantes puisque la droite AB a pour équation linéaire. La masse de la plaque est : m = ∫∫σ ds = σ * (aire du triangle). C'est la moitié de la masse du rectangle de côtés a et b.
L’élément de surface choisi peut être ds = y dx ou ds = x dy. Pour le calcul de certaines coordonnées, l'élément de surface ds = y dx est utilisé. Pour d'autres, ds = x dy est plus approprié.
Remarque : Dans cette dernière méthode, le choix d’un élément de surface inadéquat peut donner des résultats faux. Pour cette raison, il est conseillé aux étudiants de prendre le plus petit élément de surface (ds = dx dy) pour calculer les coordonnées de G.
3. Calcul du centre de masse d’une demi-sphère
L’axe Oz est l’axe de révolution de la demi-sphère, donc son centre de masse est sur cet axe. Les coordonnées xG et yG sont nulles. En coordonnées sphériques, l'élément de volume est dm = ρ r² sinθ dr dθ dϕ et la coordonnée z est z = r cosθ. Le calcul de zG se fait par intégration.
4. Calcul du centre de masse d’un cône
Le centre de masse est sur l’axe de révolution du cône (l'axe Oz dans ce cas). Les coordonnées xG et yG sont nulles. L'élément de volume dm peut être exprimé en coordonnées cylindriques (dm = ρ r dϕ dr dz).
Autre méthode pour le cône
L’élément de volume choisi est un disque d’axe Oz, de rayon r et d’épaisseur dz. Le centre de masse du cône peut être trouvé en intégrant sur ces disques.
Exercice 2
Un solide (S) a la forme d’un demi-cercle de centre C, de rayon a et fermé par son diamètre. Le fil constituant (S) a une densité linéique constante λ et les dimensions de sa section sont négligeables devant le rayon a. Soit R(C, x, y, z) un repère orthonormé direct lié au solide (S) de masse m.
- Calculer en fonction de a, la position du centre d’inertie G de (S).
- Montrer que Cx, Cy, et Cz sont les axes principaux d’inertie de (S).
- Déterminer la matrice d’inertie au point C dans la base (C, x, y, z).
- En déduire la matrice d’inertie au point G relativement à la même base.
Solution Exercice 2
1. Calcul du centre de masse de (S)
Le solide (S) est composé d'un diamètre (segment de masse m1) et d'un arc de demi-cercle (de masse m2).
Le centre d’inertie G1 du diamètre, de masse m1, coïncide avec le centre géométrique C.
L’axe Cy est un axe de symétrie du demi-cercle. Son centre de masse G2 est alors sur l'axe y, et sa masse m2 est égale à λπa. Avec y = a cos θ et dm = λ a dθ, on calcule la position de G2.
Le centre d’inertie G du solide (S) est donné par la barycentre des centres d'inertie de ses composants. La masse totale du solide est m = m1 + m2. En utilisant les expressions m1 = λ(2a) et m2 = λ(πa), les coordonnées de G sont déterminées.
2. Axes principaux d’inertie
L'axe Cy est un axe de symétrie pour le demi-cercle, ce qui en fait un axe principal d’inertie. Par conséquent, les produits d’inertie D et F (associés à des termes impliquant y) sont nuls.
Le plan (yCz) est un plan de symétrie du solide. Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie et contenu dans le solide est un axe principal d'inertie. Par conséquent, Cx est un axe principal d’inertie, ce qui implique E=0 et F=0.
De même, Cz est un axe principal d'inertie. Ainsi, la matrice d’inertie est diagonale car Cx, Cy et Cz sont des axes principaux d'inertie.
3. Calcul de la matrice d’inertie de S au point C
La matrice d'inertie est calculée en considérant les contributions du demi-cercle et du diamètre.
Calcul de la matrice d’inertie du demi-cercle : Le demi-cercle est dans le plan (xOy), ce qui simplifie certains termes de la matrice d'inertie. Les éléments A, B, C, D, E, F sont calculés par intégration.
Calcul de la matrice d’inertie du diamètre : Pour un élément de longueur dl du diamètre, les composantes suivant Oy et Oz sont nulles (y=0, z=0), ce qui simplifie les termes A, B, C. dm = λ dl.
La matrice d’inertie du solide (S) au centre C est la somme des matrices d'inertie du demi-cercle et du diamètre.
4. Calcul de la matrice d’inertie de S au centre de masse G
D’après le théorème d’Huygens généralisé (ou théorème de Steiner), la matrice d'inertie en un point G peut être déduite de la matrice d'inertie en un autre point C par la relation : I_G = I_C - M * [d_vector² * Identity - d_vector * d_vector_transpose].
Connaissant les coordonnées de G par rapport à C, on peut déterminer la matrice d'inertie au point G.
Exercice 3
Un solide (S) homogène et plein est formé d’un cône de révolution de hauteur h et une demi-sphère fixée à la base du cône de rayon R et de centre O. Soit le repère R(O, x, y, z) tel que Oz coïncide avec l’axe de révolution du cône.
- Déterminer les centres d'inertie G1 du cône et G2 de la demi-sphère.
- Déduire le centre d'inertie G du solide (S).
- Calculer la matrice d’inertie du solide (S) en O dans la base (O, x, y, z).
- Calculer le moment d’inertie du solide (S) par rapport à la droite passant par O et d’équation (x=0, z=y).
Solution Exercice 3
1. Centres d'inertie G1 du cône et G2 de la demi-sphère
Centre d'inertie G1 du cône : L’axe Oz est un axe de révolution, G1 est sur Oz, et par conséquent : xG1 = yG1 = 0. La coordonnée zG1 est calculée par intégration. Soit α le demi-angle au sommet du cône.
Centre d'inertie G2 de la demi-sphère : L’élément de volume choisi est un disque d’épaisseur dz, d’axe Oz et de rayon r, se trouvant à la distance z du centre O de la demi-sphère. La demi-sphère est centrée en O, G2 est sur Oz. xG2 = yG2 = 0. La coordonnée zG2 est calculée par intégration.
2. Centre d’inertie du solide (S)
Le centre d'inertie G du solide (S) est le barycentre des centres d'inertie G1 et G2, pondéré par leurs masses respectives M1 (masse du cône) et M2 (masse de la demi-sphère).
3. Matrice d’inertie du solide en O dans la base (O, x, y, z)
La matrice d'inertie du solide (S) en O est la somme des matrices d'inertie du cône et de la demi-sphère en O.
Matrice d’inertie du cône en O : Oz étant un axe de révolution, les produits d'inertie sont nuls. Les moments d'inertie sont Ixx, Iyy et Izz. Les variables r et z ne sont pas indépendantes et sont reliées par l’équation de la génératrice du cône où α est le demi-angle au sommet du cône. Les moments d'inertie sont calculés par intégration.
Matrice d’inertie de la demi-sphère en O : Oz étant un axe de révolution, les produits d'inertie sont nuls. Les moments d'inertie Ixx, Iyy et Izz sont calculés par intégration.
Matrice d’inertie du solide (S) : Elle est obtenue par addition des matrices d'inertie du cône et de la demi-sphère en O.
4. Moment d’inertie du solide par rapport à la droite d’équation (x=0, z=y)
Le moment d'inertie d'un solide par rapport à une droite est donné par la formule I = uᵀ * I * u, où u est le vecteur unitaire porté par cette droite et I est la matrice d'inertie au point O. Le vecteur unitaire porté par cette droite est (0, 1/√2, 1/√2).
Exercice 4
Soit une sphère pleine, homogène S de rayon R et de centre O.
- Calculer la matrice d’inertie de S au point O, puis au point A(0, 0, -R).
- Calculer le moment d’inertie de S par rapport à la droite D tangente à la sphère au point A.
- Calculer le moment d’inertie de S en A dans la base (A, ex, ey, ez), puis sa matrice d’inertie dans la base qui se déduit à partir de (A, ex, ey, ez) par une rotation d’un angle α autour de l’axe Ay.
Solution Exercice 4
1. Matrice d’inertie de la sphère au centre O
La sphère a une symétrie sphérique. Tout diamètre est un axe principal de symétrie. Donc, les moments d'inertie principaux sont égaux : Ixx = Iyy = Izz = A, et tous les produits d'inertie sont nuls (D=F=E=0). Pour une sphère homogène de masse M et rayon R, A = (2/5)MR². La matrice d'inertie est donc diagonale avec ces valeurs.
Matrice d’inertie au point A(0, 0, -R)
Le centre d’inertie de la sphère coïncide avec son centre géométrique O. Nous utilisons le théorème d’Huygens pour translater la matrice d'inertie du point O au point A. Dans le repère d’origine A, avec des axes Ax, Ay, Az parallèles respectivement aux axes Ox, Oy et Oz, le centre d’inertie G (qui est O) a pour coordonnées (0, 0, R) par rapport à A.
2. Moment d’inertie de S par rapport à la droite tangente à S au point A
La matrice d’inertie du solide au point A est diagonale en raison de la symétrie de révolution. L’axe Az est l’axe de révolution de la sphère, donc tous les axes contenus dans le plan (xAy) et passant par A sont équivalents. Le moment d’inertie de la sphère par rapport à une droite tangente D au point A (par exemple, parallèle à l'axe Ax ou Ay) peut être calculé à l'aide de cette matrice.
3. Moment d’inertie de S en A(0, 0, -R)
Matrice d’inertie en A de S dans la base (A, ex, ey, ez) : Cette matrice a été calculée précédemment par le théorème d'Huygens.
Matrice d’inertie dans la base transformée : Pour obtenir la matrice d’inertie dans la nouvelle base qui se déduit de la base (A, ex, ey, ez) par une rotation d’un angle α autour de l’axe Ay, on utilise la formule de changement de base : I' = P * I * Pᵀ, où P est la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle base. La matrice de changement de base pour une rotation autour de Ay est standard.
Exercice 5
Soit (P) une plaque triangulaire OAB homogène de masse m, d’épaisseur négligeable, rectangle en O, où a et b sont des réels positifs. (X, Y, Z) est la base liée à (P), telle que OA = aX et OB = bY.
- Déterminer son centre d’inertie G par calcul direct et en utilisant le théorème de Guldin.
- Déterminer les matrices d’inertie de (P) en O dans la base (X, Y, Z).
- En déduire la matrice d’inertie de (P) en G dans la même base.
- On suppose que le triangle est isocèle (a=b). Déterminer les axes principaux et les moments principaux de (P) en O.
Solution Exercice 5
1. Détermination du centre de masse par application du théorème de Guldin
Le théorème de Guldin (ou Pappus-Guldinus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution et la surface d'une surface de révolution. Pour le centre de masse, il stipule que le volume engendré en faisant tourner une plaque autour d'un axe est égal au produit de la surface de la plaque par la longueur du cercle décrit par son centre de masse (L = 2πrG, où rG est la distance du centre de masse à l'axe de rotation).
En tournant autour de Ox : La plaque engendre un cône de hauteur a et de rayon de base b. Son volume est V = (1/3)πb²a. Son centre de masse G décrit un cercle de rayon yG centré sur Ox, de longueur L = 2πyG. Par le théorème de Guldin, V = Surface(P) * L.
De même, en tournant autour de Oy : La plaque engendre un cône de hauteur b et de rayon a. Son volume est V = (1/3)πa²b. Son centre de masse G décrit un cercle de rayon xG centré sur Oy, de longueur L = 2πxG. Par le théorème de Guldin, V = Surface(P) * L.
La surface du triangle OAB est (1/2)ab. En utilisant ces relations, on peut trouver xG et yG.
2. Matrices d’inertie en O
La plaque est dans le plan (xOy) et n’admet pas de symétrie simple (pour un triangle rectangle non isocèle), donc les produits d’inertie ne sont pas tous nuls. La matrice d’inertie en O s’écrit sous la forme générale. Les coordonnées X et Y sont reliées par l’équation de la droite AB (voir exercice 1). Les termes de la matrice sont calculés par intégration double sur la surface du triangle.
3. Matrice d’inertie en G
D’après le théorème d’Huygens généralisé, la matrice d’inertie en G peut être déduite de la matrice d’inertie en O en utilisant les coordonnées du centre de masse G par rapport à O et la masse m de la plaque.
4. Axes et moments principaux si (P) est isocèle (a=b)
Si la plaque (P) est isocèle (a=b), elle admet comme axe de symétrie l’axe Ou faisant l’angle π/4 avec l’axe Ox. L’axe Ou est par conséquent un axe principal d’inertie. Les axes Ov (perpendiculaire à Ou dans le plan xOy) et Oz (perpendiculaire au plan de la plaque) sont également des axes principaux d’inertie. Par conséquent, la matrice d’inertie en O dans la base (U, V, Z) est diagonale et ses éléments sont les moments principaux d'inertie.
La matrice de passage de la base (X, Y, Z) à la base (U, V, Z) est une matrice de rotation d'angle π/4 autour de l'axe Z.
Rappel : Diagonalisation de la matrice d'inertie
D’une manière générale, déterminer les moments d’inertie et les axes principaux d’inertie revient à diagonaliser la matrice d’inertie. Pour cela, il faut déterminer les valeurs propres (qui seront les moments d'inertie principaux) et les vecteurs propres (qui définiront les axes principaux d'inertie) de la matrice d’inertie. Chaque vecteur propre, une fois normé, représente un axe principal d'inertie, et la valeur propre associée est le moment d'inertie principal autour de cet axe.
Exercice 6
Soit V le volume délimité par la surface d'équation x² + y² = 2pz. Soit un repère orthonormé direct tel que le paraboloïde se trouve dans l’espace défini par z > 0.
- Calculer le volume de cette paraboloïde de révolution d’axe Oz.
- Calculer la position de son centre de masse.
- Calculer sa matrice d’inertie au sommet O.
Solution Exercice 6
1. Volume de la paraboloïde
L’élément de volume choisi est une portion d’une couronne centrée sur l’axe Oz et d’épaisseur dz. En coordonnées cylindriques, l'élément de volume est dV = 2πr dr dz. Les variables r et z ne sont pas indépendantes (r² = 2pz), on ne peut pas séparer les intégrales directement sans substitution. Le volume est calculé par intégration sur la hauteur du paraboloïde.
2. Position du centre de masse
Oz étant l'axe de symétrie, le centre d’inertie se trouve sur cet axe. Donc, XG = YG = 0. La coordonnée zG est calculée par intégration du premier moment de masse par rapport au volume total.
3. Matrice d’inertie de (S) au point O
Oz est l’axe de révolution, donc tous les produits d’inertie sont nuls (Ixy = Ixz = Iyz = 0) et les moments d’inertie Iox et Ioy sont égaux. La matrice d'inertie est donc diagonale et de la forme : I = diag(Iox, Iox, Ioz). Ces moments sont calculés par intégration.
Exercice 7
Calculer la matrice d’inertie :
- en son centre d’inertie d’un cylindre plein droit à base circulaire.
- en son centre d’inertie d’une sphère pleine.
- en son centre d’inertie d’un parallélépipède droit.
- en son sommet d’un cône de révolution homogène de hauteur h dont le rayon du cercle de base est R.
Solution Exercice 7
1. Matrice d’inertie d’un cylindre droit en son centre d'inertie G
L’axe Gz est l’axe de révolution du cylindre. Les axes Gx et Gy sont équivalents et les moments d’inertie par rapport à ces axes sont égaux (Ixx = Iyy = A). Le moment d'inertie autour de l'axe de révolution est C = (1/2)MR². La matrice s’écrit alors sous la forme diagonale : I = diag(A, A, C).
2. Matrice d’inertie d’une sphère pleine en G
Tout diamètre de la sphère est un axe de révolution et donc un axe principal d’inertie. Par conséquent, tous les axes passant par le centre de la sphère sont équivalents, et les moments d’inertie par rapport à ces axes sont, par conséquent, tous égaux. Pour une sphère homogène de masse M et rayon R, le moment d'inertie autour de tout diamètre est I = (2/5)MR². La matrice d’inertie s’écrit alors : I = diag((2/5)MR², (2/5)MR², (2/5)MR²).
3. Matrice d’inertie d’un parallélépipède plein en G
Soit un parallélépipède de côtés a, b, c le long des axes Gx, Gy, Gz respectivement. Les trois axes Gx, Gy et Gz sont des axes de symétrie et par conséquent des axes principaux d’inertie. Donc, tous les produits d’inertie sont nuls. L'élément de masse est dm = ρ dx dy dz. Les moments d'inertie sont calculés par intégration et sont donnés par : Ixx = (1/12)M(b²+c²), Iyy = (1/12)M(a²+c²), Izz = (1/12)M(a²+b²). La matrice est diagonale avec ces valeurs.
4. Matrice d’inertie d’un cône en son sommet O
L’axe Oz est l’axe de révolution du cône. Les produits d'inertie sont nuls (Ixy = Ixz = Iyz = 0). Les moments d'inertie Iox et Ioy sont égaux en raison de la symétrie de révolution. La matrice est diagonale et de la forme : I = diag(Iox, Iox, Ioz).
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que le centre d'inertie d'un solide ?
Le centre d'inertie, aussi appelé centre de masse ou centre de gravité pour un champ de pesanteur uniforme, est le point moyen de la masse d'un système. C'est le point par lequel passe la résultante des forces de pesanteur, et il représente le comportement global du solide lors de sa translation. Sa position dépend de la répartition de la masse dans le solide.
Qu'est-ce qu'une matrice d'inertie et à quoi sert-elle ?
La matrice d'inertie est un tenseur qui décrit la distribution de la masse d'un corps rigide par rapport à un point donné et à un système d'axes de coordonnées. Elle est essentielle pour analyser le comportement rotationnel d'un solide. Elle permet de calculer le moment cinétique et l'énergie cinétique de rotation, ainsi que les moments d'inertie autour de n'importe quel axe passant par le point considéré.
Quand utilise-t-on le théorème de Huygens (ou théorème de Steiner) ?
Le théorème de Huygens (ou théorème de Steiner) est utilisé pour calculer le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe quelconque, connaissant son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par le centre de masse du solide. Il est particulièrement utile pour simplifier les calculs en évitant des intégrations complexes, en se basant sur une connaissance préalable du moment d'inertie autour du centre de masse.