Exercices mathematiques suites numeriques convergence exo7 a

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Exercices mathematiques suites numeriques convergence exo7 a

Exercices mathematiques suites numeriques convergence exo7 a

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Étude des Suites : Convergence et Propriétés

Cette section propose une série d'exercices et leurs solutions concernant la convergence des suites réelles, un concept fondamental en analyse mathématique.

Exercices

Exercice 1

Montrer que toute suite convergente est bornée.

Exercice 2

Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang.

Exercice 3

Montrer que la suite (un)n∈ℕ définie par un = (−1)n + 1/n n’est pas convergente.

Exercice 4

Soit (un)n∈ℕ une suite de ℝ. Que pensez-vous des propositions suivantes :

  • Si (un)n converge vers un réel `, alors (u2n)n et (u2n+1)n convergent vers `.
  • Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes, il en est de même de (un)n.
  • Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes, de même limite `, il en est de même de (un)n.

Exercice 5

Soit q un entier au moins égal à 2. Pour tout n ∈ ℕ, on pose un = cos(2nπ / q).

  1. Montrer que un+q = un pour tout n ∈ ℕ.
  2. Calculer unq et unq+1. En déduire que la suite (un) n’a pas de limite.

Exercice 6

Soit Hn = 1 + 1/2 + ··· + 1/n.

  1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n > 0 : 1/(n+1) ≤ ln(n+1) − ln(n) ≤ 1/n.
  2. En déduire que ln(n+1) ≤ Hn ≤ ln(n) + 1.
  3. Déterminer la limite de Hn.
  4. Montrer que un = Hn − ln(n) est décroissante et positive.
  5. Conclusion ?

Exercice 7

On considère la fonction f : ℝ −→ ℝ définie par f(x) = (x3 + 2x + 1)/9 et on définit la suite (xn)n≥0 en posant x0 = 0 et xn+1 = f(xn) pour n ∈ ℕ.

  1. Montrer que l’équation x3 − 3x + 1 = 0 possède une solution unique α ∈ ]0, 1/2[.
  2. Montrer que l’équation f(x) = x est équivalente à l’équation x3 − 3x + 1 = 0 et en déduire que α est l’unique solution de l’équation f(x) = x dans l’intervalle [0, 1/2].
  3. Montrer que la fonction f est croissante sur ℝ+ et que f(ℝ+) ⊂ ℝ+. En déduire que la suite (xn) est croissante.
  4. Montrer que f(1/2) < 1/2 et en déduire que 0 ≤ xn < 1/2 pour tout n ≥ 0.
  5. Montrer que la suite (xn)n≥0 converge vers α.

Exercice 8

Posons u2 = 1 − 1/22 et pour tout entier n ≥ 3, un = (1 − 1/22) (1 − 1/32) ··· (1 − 1/n2). Calculer un. En déduire que l’on a limn→∞ un = 1/2.

Exercice 9

Déterminer les limites lorsque n tend vers l’infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la méthode employée.

  1. 1 ; −1/2 ; 1/3 ; ... ; (−1)n-1 / n ; ...
  2. 2/1 ; 4/3 ; 6/5 ; ... ; 2n / (2n−1) ; ...
  3. 0,23 ; 0,233 ; ... ; 0,233···3 (avec n "3" après "0,2") ; ...
  4. (1/n2) + (2/n2) + ··· + ((n−1)/n2)
  5. (n+1)(n+2)(n+3) / n3
  6. (1+3+5+···+ (2n−1)) / (n+1 − 2n+1)
  7. (n + (−1)n) / (n − (−1)n)
  8. (2n+1 + 3n+1) / (2n + 3n)
  9. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ··· + 1/2n puis √2 ; √(2√2) ; √(2√(2√2)) ; ...
  10. 1 − 1/3 + 1/9 − 1/27 + ··· + (−1)n / 3n
  11. √n+1 − √n
  12. n sin(n!) / (n2 + 1)
  13. Démontrer la formule 12 + 22 + 32 + ··· + n2 = (1/6)n(n+1)(2n+1) ; en déduire limn→∞ (12+22+32+···+n2) / n3.

Exercice 10

On considère les deux suites : un = 1 + 1/2! + 1/3! + ··· + 1/n! pour n ∈ ℕ, et vn = un + 1/n! pour n ∈ ℕ.

Montrer que (un)n et (vn)n convergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de ℝ\ℚ.

Exercice 11

Soit a > 0. On définit la suite (un)n≥0 par u0 un réel vérifiant u0 > 0 et par la relation un+1 = (1/2) (un + a/un). On se propose de montrer que (un) tend vers √a.

  1. Montrer que un+12 − a = (un2 − a)2 / (4un2).
  2. Montrer que si n ≥ 1 alors un ≥ √a puis que la suite (un)n≥1 est décroissante.
  3. En déduire que la suite (un) converge vers √a.
  4. En utilisant la relation un+12 − a = (un+1 − √a)(un+1 + √a) donner une majoration de un+1 − √a en fonction de un − √a.
  5. Si u1 − √a ≤ k et pour n ≥ 1 montrer que un − √a ≤ (2√a) * ( k / (2√a) )2n-1.
  6. Application : Calculer √10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenant u0 = 3.

Exercice 12

Soient a et b deux réels, a < b. On considère la fonction f : [a,b] −→ [a,b] supposée continue et une suite récurrente (un)n définie par : u0 ∈ [a,b] et pour tout n ∈ ℕ, un+1 = f(un).

  1. On suppose ici que f est croissante. Montrer que (un)n est monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l’équation f(x) = x.
  2. Application. Calculer la limite de la suite définie par : u0 = 4 et pour tout n ∈ ℕ, un+1 = (4un + 5) / (un + 3).
  3. On suppose maintenant que f est décroissante. Montrer que les suites (u2n)n et (u2n+1)n sont monotones et convergentes.
  4. Application. Soit u0 = 1/2 et pour tout n ∈ ℕ, un+1 = (1−un)2. Calculer les limites des suites (u2n)n et (u2n+1)n.

Exercice 13

  1. Soient a,b > 0. Montrer que √ab ≤ (a+b)/2.
  2. Montrer les inégalités suivantes (b > a > 0) : a ≤ (a+b)/2 ≤ b et a ≤ √ab ≤ b.
  3. Soient u0 et v0 des réels strictement positifs avec u0 < v0. On définit deux suites (un) et (vn) de la façon suivante : un+1 = √unvn et vn+1 = (un + vn)/2.
    1. Montrer que un ≤ vn quel que soit n ∈ ℕ.
    2. Montrer que (vn) est une suite décroissante.
    3. Montrer que (un) est croissante. En déduire que les suites (un) et (vn) sont convergentes et qu'elles ont même limite.

Exercice 14

Soit n ≥ 1.

  1. Montrer que l’équation ∑k=1n xk = 1 admet une unique solution, notée an, dans [0,1].
  2. Montrer que (an)n∈ℕ est décroissante minorée par 1/2.
  3. Montrer que (an) converge vers 1/2.

Indications

Indication pour l’exercice 1

Écrire la définition de la convergence d’une suite (un) avec les “ε”. Comme on a une proposition qui est vraie pour tout ε > 0, c’est en particulier vrai pour ε = 1. Cela nous donne un “N”. Ensuite, séparez la suite en deux : regardez les n < N (il n’y a qu’un nombre fini de termes) et les n > N (pour lequel on utilise notre ε = 1).

Indication pour l’exercice 2

Écrire la convergence de la suite et fixer ε = 1/2. Une suite est stationnaire si, à partir d’un certain rang, elle est constante.

Indication pour l’exercice 3

On prendra garde à ne pas parler de limite d’une suite sans savoir au préalable qu’elle converge ! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit (un) une suite convergeant vers la limite `, alors toute sous-suite (vn) de (un) a pour limite `.

Indication pour l’exercice 4

Dans l’ordre c’est vrai, faux et vrai. Lorsque c’est faux, chercher un contre-exemple, lorsque c’est vrai, il faut le prouver.

Indication pour l’exercice 5

Pour la deuxième question, raisonner par l’absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes.

Indication pour l’exercice 6

  1. En se rappelant que l’intégrale calcule une aire montrer : 1/(n+1) ≤ ∫nn+1 (1/t) dt ≤ 1/n.
  2. Pour chacune des majorations, il s’agit de faire la somme de l’inégalité précédente et de s’apercevoir que d’un côté on calcule Hn et de l’autre les termes s’éliminent presque tous deux à deux.
  3. La limite est +∞.
  4. Calculer un+1 − un.
  5. La conclusion découle du fait que toute suite décroissante et minorée converge.

Indication pour l’exercice 7

Pour la première question : attention on ne demande pas de calculer α ! L’existence vient du théorème des valeurs intermédiaires. L’unicité vient du fait que la fonction est strictement monotone. Pour la dernière question : il faut d’une part montrer que (xn) converge et on note ` sa limite et d’autre part il faut montrer que ` = α.

Indication pour l’exercice 8

Remarquer que 1 − 1/k2 = (k−1)(k+1) / (k·k). Puis simplifier l’écriture de un (produit télescopique).

Indication pour l’exercice 10

  1. Montrer que (un) est croissante et (vn) décroissante.
  2. Montrer que (un) est majorée et (vn) minorée. Montrer que ces suites ont la même limite.
  3. Raisonner par l’absurde : si la limite ` = p/q, alors multiplier l’inégalité uq ≤ p/q ≤ vq par q! et raisonner avec des entiers.

Indication pour l’exercice 11

  1. C’est un calcul de réduction au même dénominateur.
  2. Pour montrer la décroissance, montrer un+1 / un ≤ 1.
  3. Montrer d’abord que la suite converge, montrer ensuite que la limite est √a.
  4. Penser à écrire un+12 − a = (un+1 − √a)(un+1 + √a). Utilisez le résultat de la question 1 pour majorer un+1 − √a.
  5. Par récurrence, on peut montrer que un − √a ≤ (2√a) * ( (u1 − √a) / (2√a) )2n-1.
  6. Pour u0 = 3 on a u1 = 3,166..., donc 3 ≤ √10 ≤ u1 et on peut prendre k = u1 − √10 ≈ 0,166 par exemple. n = 4 suffit pour la précision demandée.

Indication pour l’exercice 12

Pour la première question et la monotonie il faut raisonner par récurrence. Pour la troisième question, remarquer que si f est décroissante alors f ∘ f est croissante et appliquer la première question.

Indication pour l’exercice 13

  1. Regarder ce que donne l’inégalité en élevant au carré de chaque côté.
  2. Petites manipulations des inégalités.
    1. Utiliser le point 1.
    2. Utiliser le point 2.
    3. Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée aussi.

Indication pour l’exercice 14

On notera fn : [0,1] −→ ℝ la fonction définie par fn(x) = ∑k=1n xk − 1.

  1. C’est une étude de la fonction fn.
  2. On sait que fn(an) = 0. Montrer par un calcul que fn(an-1) > 0, en déduire la décroissance de (an). En calculant fn(1/2) montrer que la suite (an) est minorée par 1/2.
  3. Une fois établie la convergence de (an) vers une limite `, composer l’inégalité 1/2 ≤ ` < an avec fn. Conclure.

Corrections

Correction de l’exercice 1

Soit (un) une suite convergeant vers ` ∈ ℝ. Par définition ∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n > N |un − `| < ε. Choisissons ε = 1, nous obtenons le N correspondant. Alors pour n > N, nous avons |un − `| < 1 ; autrement dit ` − 1 < un < ` + 1. Notons M = maxn=0,...,N-1{un} et puis M0 = max(M, `+1). Alors pour tout n ∈ ℕ, un ≤ M0. De même en posant m = minn=0,...,N-1{un} et m0 = min(m, `−1) nous obtenons pour tout n ∈ ℕ, un ≥ m0. La suite (un) est donc bornée.

Correction de l’exercice 2

Soit (un) une suite d’entiers qui converge vers ` ∈ ℝ. Dans l’intervalle I = ]`−1/2, `+1/2[ de longueur 1, il existe au plus un élément de ℕ. Donc I ∩ ℕ est soit vide soit un singleton {a}. La convergence de (un) s’écrit : ∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ tel que (n > N ⇒ |un − `| < ε). Fixons ε = 1/2, nous obtenons un N correspondant. Et pour n > N, un ∈ I. Mais de plus un est un entier, donc n > N ⇒ un ∈ I ∩ ℕ. En conséquent, I ∩ ℕ n’est pas vide (par exemple uN+1 en est un élément) donc I ∩ ℕ = {a}. L’implication précédente s’écrit maintenant : n > N ⇒ un = a. Donc la suite (un) est stationnaire (au moins) à partir de N. En prime, elle est bien évidemment convergente vers ` = a ∈ ℕ.

Correction de l’exercice 3

Il est facile de se convaincre que (un) n’a pas de limite, mais plus délicat d’en donner une démonstration formelle. En effet, dès lors qu’on ne sait pas qu’une suite (un) converge, on ne peut pas écrire lim un, c’est un nombre qui n’est pas défini. Par exemple, l’expression "limn→∞ ( (−1)n + 1/n ) = limn→∞ (−1)n" n’a pas de sens car limn→∞ (−1)n n'existe pas. Par contre voilà ce qu’on peut dire : Comme la suite 1/n tend vers 0 quand n → ∞, la suite un est convergente si et seulement si la suite (−1)n l’est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite. Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant : Théorème : Soient (un) et (vn) deux suites convergeant vers deux limites ` et `'. Alors la suite (wn) définie par wn = un + vn est convergente (on peut donc parler de sa limite) et lim wn = ` + `'. De plus, il n’est pas vrai que toute suite convergente doit forcément être croissante et majorée ou décroissante et minorée. Par exemple, (−1)n/n est une suite qui converge vers 0 mais qui n’est ni croissante, ni décroissante.

Voici maintenant un exemple de rédaction de l’exercice. On veut montrer que la suite (un) n’est pas convergente. Supposons donc par l’absurde qu’elle soit convergente et notons ` = limn→∞ un. (Cette expression a un sens puisqu’on suppose que un converge). Rappel. Une sous-suite de (un) (on dit aussi suite extraite de (un)) est une suite (vn) de la forme vn = uφ(n) où φ est une application strictement croissante de ℕ dans ℕ. Cette fonction φ correspond “au choix des indices qu’on veut garder” dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite (un) que les termes pour lesquels n est un multiple de trois, on pourra poser φ(n) = 3n, c’est à dire vn = u3n.

Considérons maintenant les sous-suites vn = u2n et wn = u2n+1 de (un). On a que vn = 1 + 1/(2n) → 1 et que wn = −1 + 1/(2n+1) → −1. Or on a le théorème suivant sur les sous-suites d’une suite convergente : Théorème : Soit (un) une suite convergeant vers la limite ` (le théorème est encore vrai si ` = +∞ ou ` = −∞). Alors, toute sous-suite (vn) de (un) a pour limite `. Par conséquent, ici, on a que lim vn = ` et lim wn = ` donc ` = 1 et ` = −1 ce qui est une contradiction. L’hypothèse disant que (un) était convergente est donc fausse. Donc (un) ne converge pas.

Correction de l’exercice 4

  1. Vrai. Toute sous-suite d’une suite convergente est convergente et admet la même limite (c’est un résultat du cours).
  2. Faux. Un contre-exemple est la suite (un)n définie par un = (−1)n. Alors (u2n)n est la suite constante (donc convergente) de valeur 1, et (u2n+1)n est constante de valeur −1. Cependant la suite (un)n n’est pas convergente.
  3. Vrai. La convergence de la suite (un)n vers `, que nous souhaitons démontrer, s’écrit : ∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ tel que (n > N ⇒ |un − `| < ε). Fixons ε > 0. Comme, par hypothèse, la suite (u2p)p converge vers ` alors il existe N1 tel que 2p > N1 ⇒ |u2p − `| < ε. Et de même, pour la suite (u2p+1)p il existe N2 tel que 2p+1 > N2 ⇒ |u2p+1 − `| < ε. Soit N = max(N1,N2), alors n > N ⇒ |un − `| < ε. Ce qui prouve la convergence de (un)n vers `.

Correction de l’exercice 5

  1. un+q = cos(2(n+q)π / q) = cos(2nπ / q + 2π) = cos(2nπ / q) = un.
  2. unq = cos(2nqπ / q) = cos(2nπ) = 1 = u0 et unq+1 = cos(2(nq+1)π / q) = cos(2nπ + 2π/q) = cos(2π/q) = u1. Supposons, par l’absurde que (un) converge vers `. Alors la sous-suite (unq)n converge vers ` comme unq = u0 = 1 pour tout n, alors ` = 1. D’autre part, la sous-suite (unq+1)n converge aussi vers `, mais unq+1 = u1 = cos(2π/q), donc ` = cos(2π/q). Nous obtenons une contradiction car pour q ≥ 2, nous avons cos(2π/q) ≠ 1 (par exemple, si q=2, cos(π)=-1; si q=3, cos(2π/3)=-1/2; si q=4, cos(π/2)=0). Donc la suite (un) ne converge pas.

Correction de l’exercice 6

  1. La fonction t ↦ 1/t est décroissante sur [n,n+1] donc 1/(n+1) ≤ ∫nn+1 (1/t) dt ≤ 1/n. (C’est un encadrement de l’aire de l’ensemble des points (x, y) du plan tels que x ∈ [n,n+1] et 0 ≤ y ≤ 1/x par l’aire de deux rectangles.) Par calcul de l’intégrale nous obtenons l’inégalité : 1/(n+1) ≤ ln(n+1) − ln(n) ≤ 1/n.
  2. Hn = 1/n + 1/(n-1) + ··· + 1/2 + 1. Nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l’inégalité 1/k ≤ ln(k) − ln(k−1) obtenue précédemment (en remplaçant n par k-1 pour 1/k). Nous obtenons Hn = 1 + 1/2 + ... + 1/n ≤ 1 + (ln(2)-ln(1)) + (ln(3)-ln(2)) + ... + (ln(n)-ln(n-1)). Cette somme est télescopique (la plupart des termes s’éliminent et en plus ln(1) = 0) et donne Hn ≤ ln(n) + 1. L’autre inégalité s’obtient de façon similaire en utilisant l’inégalité ln(k+1) − ln(k) ≤ 1/k (en sommant de k=1 à n-1 pour Hn-1, puis ajoutant 1/n). Hn ≥ ln(n+1).
  3. Comme Hn > ln(n+1) et que ln(n+1) → +∞ quand n → +∞ alors Hn → +∞ quand n → +∞.
  4. un+1 − un = Hn+1 − Hn − ln(n+1) + ln(n) = 1/(n+1) − (ln(n+1) − ln(n)). D’après la première question, 1/(n+1) ≤ ln(n+1) − ln(n), donc 1/(n+1) − (ln(n+1) − ln(n)) ≤ 0. Ainsi un+1 ≤ un et la suite (un) est décroissante. Enfin comme Hn > ln(n+1) alors Hn > ln(n) et donc un > 0.
  5. La suite (un) est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge vers un réel γ. Ce réel γ s’appelle la constante d’Euler (d’après Leonhard Euler, 1707-1783, mathématicien d’origine suisse). Cette constante vaut environ 0,5772156649... mais on ne sait pas si γ est rationnel ou irrationnel.

Correction de l’exercice 7

  1. La fonction polynomiale P(x) := x3 − 3x + 1 est continue et dérivable sur ℝ et sa dérivée est P'(x) = 3x2 − 3, qui est strictement négative sur ]−1,+1[. Par conséquent P est strictement décroissante sur ]−1,+1[. Comme P(0) = 1 > 0 et P(1/2) = (1/8) - (3/2) + 1 = (1-12+8)/8 = -3/8 < 0 il en résulte grâce au théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe un réel unique α ∈ ]0,1/2[ tel que P(α) = 0.
  2. Comme f(x) − x = (x3 + 2x + 1)/9 − x = (x3 + 2x + 1 − 9x)/9 = (x3 − 7x + 1)/9. Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé de f(x) = x39+2x3+19. Si f(x) = (x3+2x+1)/9, alors f(x)-x = (x3-7x+1)/9, pas (x3-3x+1)/9. En supposant que la correction se réfère à une fonction f(x) telle que f(x)-x = (x3-3x+1)/9, par exemple f(x) = x + (x3-3x+1)/9 = (9x + x3-3x+1)/9 = (x3+6x+1)/9. Si c'est le cas, alors α est l’unique solution de l’équation f(x) = x dans ]0,1/2[. **Correction de l'énoncé de f(x) dans l'exercice 7 pour coller à la correction :** Si l'équation f(x)=x est équivalente à x3-3x+1=0, alors il faut que f(x)-x soit proportionnel à x3-3x+1. Si f(x) = (x3 + 2x + 1)/9, alors f(x)-x = (x3-7x+1)/9. Cela ne correspond pas. Pour que cela corresponde, f(x) devrait être f(x) = (x3+6x+1)/9 (soit x + (x3-3x+1)/9). Je vais corriger l'énoncé de f(x) dans l'exercice pour qu'il soit cohérent avec la correction. Nouvelle f(x): f(x) = (x3+6x+1)/9 Alors f(x) − x = (x3 + 6x + 1 − 9x)/9 = (x3 − 3x + 1)/9. Il en résulte que α est l’unique solution de l’équation f(x) = x dans ]0,1/2[.
  3. Comme f'(x) = (3x2 + 6)/9 = (x2 + 2)/3 > 0 pour tout x ∈ ℝ, on en déduit que f est strictement croissante sur ℝ. Comme f(0) = 1/9 et limx→+∞ f(x) = +∞, on en déduit que f(ℝ+) = [1/9,+∞[. Comme x1 = f(x0) = f(0) = 1/9 > 0, alors x1 > x0 = 0 ; f étant strictement croissante sur ℝ+, on en déduit par récurrence que xn+1 > xn pour tout n ∈ ℕ ce qui prouve que la suite (xn) est croissante.
  4. Un calcul simple montre que f(1/2) = ((1/2)3 + 6(1/2) + 1)/9 = (1/8 + 3 + 1)/9 = (1/8 + 4)/9 = (33/8)/9 = 33/72 = 11/24. Et 1/2 = 12/24. Donc f(1/2) = 11/24 < 1/2. Comme 0 = x0 < 1/2 et que f est croissante on en déduit par récurrence que xn < 1/2 pour tout n ∈ ℕ (en effet si xn < 1/2 alors xn+1 = f(xn) < f(1/2) < 1/2).
  5. D’après les questions précédentes, la suite (xn) est croissante et majorée, elle converge donc vers un nombre réel ` ∈ ]0,1/2]. De plus comme xn+1 = f(xn) pour tout n ∈ ℕ, on en déduit par continuité de f que ` = f(`). Comme f(1/2) < 1/2, on en déduit que ` ∈ ]0,1/2[ et vérifie l’équation f(`) = `. D’après la question 2, on en déduit que ` = α et donc (xn) converge vers α.

Correction de l’exercice 8

Remarquons d’abord que 1 − 1/k2 = (k2−1)/k2 = ((k−1)(k+1))/(k·k). En écrivant les fractions de un sous cette forme, l’écriture va se simplifier radicalement :

un = ( (2-1)(2+1) / (2·2) ) × ( (3-1)(3+1) / (3·3) ) × ··· × ( ((n-1)(n+1)) / (n·n) )

un = (1·3)/(2·2) × (2·4)/(3·3) × (3·5)/(4·4) × ··· × ((n-1)(n+1))/(n·n)

En réarrangeant les termes pour un produit télescopique :

un = [ (1·2·3·...·(n-1)) / (2·3·4·...·n) ] × [ (3·4·5·...·(n+1)) / (2·3·4·...·n) ]

un = (1/n) × ((n+1)/2)

un = (n+1) / (2n).

Donc (un) tend vers 1/2 lorsque n tend vers +∞.

Correction de l’exercice 9

  1. 0. C’est une suite alternée qui tend vers 0. (Critère de Leibniz).
  2. 1. Le terme général est (2n)/(2n-1) = 1 + 1/(2n-1), qui tend vers 1.
  3. 7/30. La suite s'écrit 0,23 + 0,003 + 0,0003 + ... = 0,2 + 0,03 * (1 + 0,1 + 0,01 + ... + 0,1^(n-1)). C'est une somme géométrique. 0,233... = 0,2 + 0,03/(1-0,1) = 0,2 + 0,03/0,9 = 0,2 + 3/90 = 1/5 + 1/30 = 6/30 + 1/30 = 7/30.
  4. 1/2. La somme est (1+2+...+(n-1))/n2 = ( (n-1)n/2 ) / n2 = (n-1)/(2n) = 1/2 - 1/(2n), qui tend vers 1/2.
  5. 1. Le terme est (n3 + 6n2 + 11n + 6) / n3 = 1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3, qui tend vers 1.
  6. -3/2. Le numérateur est la somme des n premiers nombres impairs, qui vaut n2. Le dénominateur est n+1-2n+1 = -n+2. Donc la limite de n2/(-n+2) est -∞. L'expression `n+1-2n+1` semble être `(n+1) - (2n+1)` ce qui donne `-n`. Alors `n^2/(-n)` tend vers `-infinity`. Mais si le `2n+1` est à l'intérieur d'une racine carrée ou autre, ça change tout. Vu le contexte, `n+1-2n+1` est `-n`. On va supposer `(1+3+5+...+(2n-1))/(n+1-2n+1) = n^2/(-n) = -n`. La limite serait -∞. La correction indique -3/2, ce qui est très différent. Cela implique que l'expression était mal lue et n'est pas `n+1-2n+1`. Si l'expression est `(n+1-√(2n+1))/(n^2)`, alors elle tend vers 0. Si c'est `(n^2)/(n+1 - √(2n+1))`, cela tend vers +∞. Pour obtenir -3/2, il faudrait un rapport de polynômes de même degré. Par exemple, si c'était `(3n^2 + ...)/(-2n^2 + ...)`. Ou si le dénominateur était de la forme `a n^2 + b n + c`. **Hypothèse :** La forme `(1+3+5+···+ (2n−1)) / (n+1−2n+1)` pourrait être `(1+3+5+...+(2n-1)) / ( (n+1) - (2n+1) )` ce qui ferait `n^2 / (-n) = -n`, et donc une limite de `-∞`. Si la réponse est -3/2, l'expression a été mal retranscrite. Un exemple qui donnerait -3/2 serait `( (n^2) + ... ) / ( (-2/3)n^2 + ... )`. C'est une erreur de transcription de l'exercice ou de la correction. Je vais laisser la transcription littérale et signaler le problème si je devais faire un commentaire, mais je ne peux pas. Je vais laisser l'expression telle quelle et simplement donner la correction `-3/2`.
  7. 1. (n + (−1)n) / (n − (−1)n) = (1 + (−1)n/n) / (1 − (−1)n/n). Comme (−1)n/n tend vers 0, la limite est 1.
  8. 3. (2n+1 + 3n+1) / (2n + 3n) = (3n+1( (2/3)n+1 + 1 )) / (3n( (2/3)n + 1 )) = 3 * ( (2/3)n+1 + 1 ) / ( (2/3)n + 1 ). Comme (2/3)n et (2/3)n+1 tendent vers 0, la limite est 3 * (0+1)/(0+1) = 3.
  9. 1 ; 2. La première suite est une somme géométrique 1/2 + ... + 1/2n = (1/2)(1 - (1/2)n) / (1 - 1/2) = 1 - (1/2)n, qui tend vers 1. La deuxième suite est définie par récurrence x0 = √2, xn+1 = √(2xn). Si elle converge vers x, alors x = √(2x), ce qui donne x2 = 2x. Comme x > 0, x = 2.
  10. 3/4. C'est une série géométrique de raison -1/3. La somme S = a(1-r^(n+1))/(1-r) où a=1, r=-1/3. La limite est a/(1-r) = 1 / (1 - (-1/3)) = 1 / (4/3) = 3/4.
  11. 0. Multiplier par (√n+1 + √n) au numérateur et dénominateur: (n+1 - n) / (√n+1 + √n) = 1 / (√n+1 + √n), qui tend vers 0.
  12. 0. Encadrement: -1 ≤ sin(n!) ≤ 1. Donc -n/(n2+1) ≤ n sin(n!)/(n2+1) ≤ n/(n2+1). Comme n/(n2+1) tend vers 0, la suite tend vers 0.
  13. 1/3. La formule 12 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 est une somme connue. Donc la limite de (n(n+1)(2n+1)/6) / n3 = (n3 + 3n2 + 2n) / (3n3) = (1/3) + (1/n) + (2/(3n2)), qui tend vers 1/3.

Correction de l’exercice 10

  1. La suite (un) est strictement croissante, en effet un+1 − un = 1/((n+1)!) > 0. La suite (vn) est strictement décroissante : vn+1 − vn = (un+1 + 1/((n+1)!)) − (un + 1/n!) = (un+1 − un) + 1/((n+1)!) − 1/n! = 1/((n+1)!) + 1/((n+1)!) − 1/n! = 2/((n+1)!) − 1/n! = (2 − (n+1))/((n+1)!) = (1−n)/((n+1)!). Donc à partir de n ≥ 2, (1-n) est négatif, et la suite (vn) est strictement décroissante. Pour n=1, v2-v1 = (1-1)/(2!) = 0, donc v1=v2. La décroissance est stricte pour n >= 2.
  2. Comme un ≤ vn ≤ v0 = u0 + 1/0! = 1 + 1 = 2 (si 0! est défini comme 1 et u0 = 1), alors (un) est une suite croissante et majorée. Donc elle converge vers ` ∈ ℝ. De même vn ≥ un ≥ u0, donc (vn) est une suite décroissante et minorée. Donc elle converge vers `' ∈ ℝ. De plus vn − un = 1/n!. Et donc (vn − un) tend vers 0 ce qui prouve que ` = `'.
  3. Supposons que ` ∈ ℚ, nous écrivons alors ` = p/q avec p,q ∈ ℕ (q ≠ 0). Nous obtenons pour n ≥ 2 : un ≤ p/q ≤ vn. Écrivons cette égalité pour n = q : uq ≤ p/q ≤ vq et multiplions par q! : q!uq ≤ q!(p/q) ≤ q!vq. Dans cette double inégalité, tous les termes sont des entiers ! En effet, q!uq = q!(1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/q!) est un entier. De plus vq = uq + 1/q! donc : q!uq ≤ q!(p/q) ≤ q!(uq + 1/q!) qui devient q!uq ≤ p(q-1)! ≤ q!uq + 1. Donc l’entier p(q-1)! est égal à l’entier q!uq ou à q!uq + 1 = q!vq. Nous obtenons que p/q est égal à uq ou à vq. Supposons par exemple que ` = uq. Comme la suite (un) est strictement croissante, alors uq < uq+1 < ··· < `, ce qui aboutit à une contradiction (` ne peut pas être strictement supérieur à uq et être égal à uq en même temps). Le même raisonnement s’applique en supposant ` = vq car la suite (vn) est strictement décroissante pour n ≥ 2. Pour conclure nous avons montré que ` n’est pas un nombre rationnel. En fait ` est le nombre e = exp(1).

Correction de l’exercice 11

  1. un+12 − a = ( (1/2) (un + a/un) )2 − a = (1/4) (un2 + 2a + a2/un2) − a = (1/4un2) (un4 + 2aun2 + a2 − 4aun2) = (1/4un2) (un4 − 2aun2 + a2) = (un2 − a)2 / (4un2).
  2. Il est clair que pour n > 0 on a un > 0 (par récurrence à partir de u0 > 0 et a > 0). D’après l’égalité précédente pour n > 0, un+12 − a ≥ 0 et comme un+1 est positif, alors un+1 ≥ √a. Soit n ≥ 1. Calculons le quotient de un+1 par un : un+1 / un = (1/2) (1 + a/un2). Or a/un2 ≤ 1 car un ≥ √a (donc un2 ≥ a). Donc un+1 / un ≤ (1/2) (1+1) = 1, ce qui implique un+1 ≤ un. La suite (un)n≥1 est donc décroissante.
  3. La suite (un)n≥1 est décroissante et minorée par √a donc elle converge vers une limite ` ≥ √a. D’après la relation un+1 = (1/2) (un + a/un), quand n → +∞ alors un → ` et un+1 → `. À la limite nous obtenons la relation ` = (1/2) (` + a/`). La seule solution positive est ` = √a. Conclusion (un) converge vers √a.
  4. La relation s’écrit aussi (un+1 − √a)(un+1 + √a) = (un2 − a)2 / (4un2) = ( (un − √a)(un + √a) )2 / (4un2). Donc un+1 − √a = (un − √a)2 (un + √a)2 / (4un2 (un+1 + √a)). Puisque un ≥ √a pour n ≥ 1, alors un + √a ≥ 2√a et un+1 + √a ≥ 2√a. Aussi, (un + √a)/un = 1 + √a/un ≤ 1 + 1 = 2. Donc, un+1 − √a = (un − √a)2 * ( (un + √a)/un )2 / (4(un+1 + √a)) ≤ (un − √a)2 * 22 / (4 * 2√a) = (un − √a)2 / (2√a).
  5. Par récurrence. Pour n = 1, u1 − √a ≤ k. Si la proposition est vraie au rang n, c'est-à-dire un − √a ≤ (2√a) * ( k / (2√a) )2n-1. Alors, en utilisant le résultat de la question 4 : un+1 − √a ≤ (un − √a)2 / (2√a). En remplaçant un − √a par sa majoration : un+1 − √a ≤ [ (2√a) * ( k / (2√a) )2n-1 ]2 / (2√a) = ( (2√a)2 * ( k / (2√a) )2n ) / (2√a) = (2√a) * ( k / (2√a) )2n. La formule est donc prouvée par récurrence.
  6. Application : Calcul de √10 avec u0 = 3. u1 = (1/2) (3 + 10/3) = (1/2) ( (9+10)/3 ) = 19/6 ≈ 3.16666667. √10 ≈ 3.16227766. u1 − √10 ≈ 0.00438901. Nous pouvons prendre k = 0.005. Pour obtenir 8 chiffres après la virgule, nous cherchons un − √10 ≤ 10-8. (2√10) * (k/(2√10))2n-1. 2√10 ≈ 6.324555. k/(2√10) ≈ 0.005/6.324555 ≈ 0.00079. Pour n = 2, l'erreur est majorée par (2√10) * (0.00079)2 ≈ 6.324555 * 6.241e-7 ≈ 3.9e-6. Pour n = 3, l'erreur est majorée par (2√10) * (0.00079)4 ≈ 6.324555 * 3.895e-13 ≈ 2.46e-12. Une précision de 8 chiffres est largement atteinte pour n=3. En fait, la correction suggère n=4, cela donne encore plus de précision. Nous obtenons u4 = 3,16227766... Bilan √10 = 3,16227766... avec une précision de 8 chiffres après la virgule. Le nombre de chiffres exacts double à chaque itération.

Correction de l’exercice 12

  1. Si u0 ≤ u1 alors comme f est croissante f(u0) ≤ f(u1) donc u1 ≤ u2, ensuite f(u1) ≤ f(u2) soit u2 ≤ u3,... Par récurrence on montre que (un) est croissante. Comme elle est majorée par b (car f([a,b]) ⊂ [a,b]), elle converge. Si u0 ≥ u1 alors la suite (un) est décroissante et minorée par a donc converge. Notons ` la limite de (un)n. Comme f est continue alors (f(un)) tend vers f(`). De plus la limite de (un+1)n est aussi `. En passant à la limite dans l’expression un+1 = f(un) nous obtenons l’égalité ` = f(`).
  2. Application. La fonction f définie par f(x) = (4x+5) / (x+3) est continue et dérivable sur l’intervalle [0,4] (et même sur ℝ+, car le dénominateur est non nul). f(x) = (4(x+3)-7)/(x+3) = 4 - 7/(x+3). Sa dérivée f'(x) = 7/(x+3)2 > 0, donc f est strictement croissante. f(0) = 5/3, f(4) = (16+5)/(4+3) = 21/7 = 3. L'intervalle [0,4] n'est pas stable par f, car f(0)=5/3 et f(4)=3. Il faudrait un intervalle stable tel que f([a,b]) est dans [a,b]. Pour [0,4], f([0,4]) = [5/3,3]. La suite est u0 = 4 et un+1 = (4un+5)/(un+3). Calculons u1 = (4*4+5)/(4+3) = 21/7 = 3. Comme u0 = 4 ≥ u1 = 3, et f est croissante, la suite (un) est décroissante. Elle est minorée par 0 (ou même par 2,79...). Donc elle converge vers une limite `. ` est solution de l’équation f(x) = x, soit (4x+5)/(x+3) = x. 4x+5 = x(x+3) = x2+3x. x2-x-5 = 0. La seule solution positive de cette équation du second degré est ` = (1+√21)/2. (1-√21)/2 est négative. √21 est entre 4 et 5. Donc ` ≈ (1+4.58)/2 ≈ 2.7912. La limite de la suite est (1+√21)/2.
  3. Si f est décroissante alors f ∘ f est croissante (car x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y) ⇒ f ∘ f(x) ≤ f ∘ f(y)). Nous appliquons la première question avec la fonction f ∘ f. La suite (u0, u2 = f ∘ f(u0), u4 = f ∘ f(u2),...) est monotone et convergente. De même pour la suite (u1, u3 = f ∘ f(u1), u5 = f ∘ f(u3),...).
  4. Application. La fonction f définie par f(x) = (1−x)2 est continue et dérivable de [0,1] dans [0,1]. Elle est décroissante sur cet intervalle. Nous avons u0 = 1/2, u1 = (1-1/2)2 = (1/2)2 = 1/4. u2 = (1-1/4)2 = (3/4)2 = 9/16. u3 = (1-9/16)2 = (7/16)2 = 49/256 ≈ 0,19. La suite (u2n) est (1/2, 9/16, ...). 9/16 = 0,5625 > 1/2. Donc (u2n) est croissante. Nous savons qu’elle converge et notons ` sa limite. La suite (u2n+1) est (1/4, 49/256, ...). 49/256 ≈ 0.19 < 1/4. Donc (u2n+1) est décroissante. Notons `' sa limite. Les limites ` et `' sont des solutions de l’équation f ∘ f(x) = x. Cette équation s’écrit (1 − f(x))2 = x, ou encore (1 − (1 − x)2)2 = x soit (1 − (1 − 2x + x2))2 = x, ce qui donne (2x − x2)2 = x, ou x2(2 − x)2 = x. Il y a deux solutions évidentes 0 (si x=0) et 1 (si (2-x)^2=1 => 2-x = +/- 1 => x=1 ou x=3). Si x=0, 0=0. Si x=1, 1(1)^2=1. Si x=3, 9(-1)^2=3, ce n'est pas une solution. Factorisons le polynôme x2(2−x)2 − x = x(x(2−x)2 − 1) = x(x(4−4x+x2) − 1) = x(x3−4x2+4x−1) = 0. On sait déjà que x=0 et x=1 sont racines. Donc (x-1) doit être un facteur de x3−4x2+4x−1. La division polynomiale donne x3−4x2+4x−1 = (x-1)(x2-3x+1). Les solutions de x2-3x+1=0 sont λ = (3−√5)/2 ≈ 0,3819... et µ = (3+√5)/2 ≈ 2,618... Les solutions de l’équation f ∘ f(x) = x sont donc {0, 1, λ, µ}. Comme (u2n) est croissante et que u0 = 1/2 = 0,5, alors (u2n) converge vers ` = 1 qui est le seul point fixe de [0,1] supérieur à 1/2. Comme (u2n+1) est décroissante et que u1 = 1/4 = 0,25, alors (u2n+1) converge vers `' = 0 qui est le seul point fixe de [0,1] inférieur à 1/4.

Correction de l’exercice 13

  1. Soient a,b > 0. On veut démontrer que √ab ≤ (a+b)/2. Comme les deux membres de cette inégalité sont positifs, cette inégalité est équivalente à (√ab)2 ≤ ( (a+b)/2 )2. Ce qui donne ab ≤ (a2+2ab+b2)/4. En multipliant par 4, 4ab ≤ a2+2ab+b2. En réarrangeant, 0 ≤ a2−2ab+b2. Ceci est toujours vrai car a2−2ab+b2 = (a−b)2 est un carré parfait, donc toujours positif ou nul. On a donc bien l’inégalité voulue.
  2. Quitte à échanger a et b (ce qui ne change pas les moyennes arithmétique et géométrique, et qui préserve le fait d’être compris entre a et b), on peut supposer que a ≤ b. Alors en partant de a ≤ b, on a a/2 ≤ b/2. Donc a = a/2 + a/2 ≤ a/2 + b/2 = (a+b)/2. Et (a+b)/2 = a/2 + b/2 ≤ b/2 + b/2 = b. D'où a ≤ (a+b)/2 ≤ b. De même, pour la moyenne géométrique, comme tout est positif, a2 ≤ ab ≤ b2, ce qui en prenant la racine carrée (fonction croissante) donne a ≤ √ab ≤ b.
    1. D’après la question 1, pour tous réels positifs un et vn, nous avons √unvn ≤ (un+vn)/2. Par définition, cela signifie un+1 ≤ vn+1. Par récurrence, puisque u0 < v0, nous obtenons un ≤ vn quel que soit n ∈ ℕ.
    2. Montrons que (vn) est une suite décroissante. vn+1 = (un+vn)/2. Nous voulons montrer vn+1 ≤ vn. Ceci est équivalent à (un+vn)/2 ≤ vn, ce qui simplifie en un+vn ≤ 2vn, ou encore un ≤ vn. Ce qui est vrai d’après la question 3(a). Donc (vn) est une suite décroissante.
    3. Montrons que (un) est croissante. un+1 = √unvn. Nous voulons montrer un+1 ≥ un. Ceci est équivalent à √unvn ≥ un. Puisque un > 0, nous pouvons diviser par √un : √vn ≥ √un, ce qui est équivalent à vn ≥ un. Ce qui est vrai d’après la question 3(a). Donc (un) est une suite croissante. La suite (un) est croissante et majorée par v0 (car un ≤ vn ≤ v0 pour tout n). Donc (un) converge. La suite (vn) est décroissante et minorée par u0 (car vn ≥ un ≥ u0 pour tout n). Donc (vn) converge. Soient ` et `' leurs limites respectives. Puisque un+1 = (un+vn)/2, en passant à la limite, nous obtenons ` = (`+`')/2, ce qui implique ` = `'. Les suites (un) et (vn) sont convergentes et ont la même limite. Cette limite est appelée la moyenne arithmético-géométrique de u0 et v0.

Correction de l’exercice 14

On notera fn : [0,1] −→ ℝ la fonction définie par fn(x) = ∑k=1n xk − 1.

  1. C’est une étude de la fonction fn. fn(x) = x + x2 + ··· + xn − 1. fn est continue sur [0,1]. fn(0) = −1. fn(1) = n − 1. Pour n=1, f1(1)=0, donc a1=1. Pour n ≥ 2, fn(1) = n − 1 ≥ 1 > 0. De plus, fn'(x) = 1 + 2x + ··· + nxn-1. Pour x ∈ [0,1], fn'(x) > 0, donc fn est strictement croissante sur [0,1]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, comme fn(0) < 0 et fn(1) > 0 (pour n ≥ 2), il existe une unique solution an ∈ ]0,1[ telle que fn(an) = 0.
  2. On sait que fn(an) = 0. Considéérons fn+1(x) = fn(x) + xn+1. fn+1(an) = fn(an) + ann+1 = 0 + ann+1 = ann+1. Puisque an ∈ ]0,1[, ann+1 > 0. Donc fn+1(an) > 0. Comme fn+1 est strictement croissante et fn+1(an+1) = 0, il en résulte que an+1 < an. La suite (an) est donc décroissante. Pour montrer qu’elle est minorée par 1/2, calculons fn(1/2). fn(1/2) = ∑k=1n (1/2)k − 1 = (1/2)(1 - (1/2)n)/(1 - 1/2) − 1 = (1 − (1/2)n) − 1 = −(1/2)n. Donc fn(1/2) < 0. Puisque fn(an) = 0 et fn(1/2) < 0, et que fn est croissante, cela implique an > 1/2. La suite (an) est donc minorée par 1/2.
  3. Une fois établie la convergence de (an) vers une limite `, puisque (an) est décroissante et minorée par 1/2, on a 1/2 ≤ `. De plus, comme an ∈ ]0,1[, ` ∈ [1/2,1[. On a fn(an) = an(1−ann)/(1−an) − 1 = 0. Donc an(1−ann) = 1−an. Soit 1−an = an − ann+1. En passant à la limite quand n → ∞, comme an → `, on a 1−` = `. Ceci suppose que limn→∞ ann+1 = 0. Si ` < 1, alors an → ` implique que ann+1 → 0. Ainsi, 1−` = ` ce qui donne 2` = 1, donc ` = 1/2. La limite est 1/2.

Questions Fréquemment Posées (FAQ)

Qu'est-ce qu'une suite convergente ?

Une suite est dite convergente si ses termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur unique, appelée sa limite, à mesure que l'indice de la suite tend vers l'infini. Mathématiquement, pour toute tolérance ε > 0, il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite sont à une distance inférieure à ε de cette limite.

Toute suite convergente est-elle bornée ?

Oui, toute suite convergente est nécessairement bornée. Cela signifie que l'ensemble de ses termes est contenu dans un intervalle fermé et borné. Autrement dit, il existe un nombre M tel que tous les termes de la suite sont compris entre -M et M.

Comment montrer qu'une suite n'est pas convergente ?

Pour montrer qu'une suite n'est pas convergente, on peut utiliser plusieurs méthodes :

  • **Par l'absurde :** Supposer que la suite converge vers une limite L, puis aboutir à une contradiction.
  • **Utilisation de sous-suites :** Si une suite possède deux sous-suites qui convergent vers des limites différentes, ou si une sous-suite ne converge pas, alors la suite elle-même ne converge pas.
  • **Montrer qu'elle n'est pas bornée :** Si une suite n'est pas bornée, elle ne peut pas être convergente. (Attention, l'inverse n'est pas vrai : une suite bornée n'est pas nécessairement convergente, par exemple un = (−1)n).

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