Exercices physique maths chimie 1er cycle universitaire algè
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Nous vous présentons ce manuel dans sa deuxième partie, qui comprend des séries d'examens des années précédentes, accompagnées de modèles de solutions rédigées de façon simple et bien détaillée.
Ce support sera utile pour les étudiants de première année universitaire des filières de physique, chimie et mathématiques, que ce soit en facultés des sciences, en sciences et techniques ou en classes préparatoires aux grandes écoles.
Il contient à la fois l'électricité, l'optique géométrique, la chimie générale, l'analyse et l'algèbre.
C'est avec un réel plaisir que nous avons effectué ce modeste travail afin que les étudiants :
- Puissent avoir une idée précise du niveau et du degré de difficulté des examens.
- Puissent bien assimiler leurs cours.
- Puissent disposer de supports conçus pour bien se préparer aux examens et obtenir de bonnes notes par la suite.
Nous conseillons aux étudiants de bien assimiler leurs cours de chaque matière et de travailler les séries de travaux dirigés avant d'aborder la résolution des examens. L'objectif est de bien comprendre les concepts et d'évaluer leur niveau.
Nos remerciements et notre gratitude s’adressent à tous les collègues qui ont participé à la rédaction de ces documents. Merci à tous.
Nous tenons à remercier tous les amis qui ont contribué de loin ou de près par leurs encouragements pour la sortie de ce modeste effort.
Informations importantes
Nous remercions chaleureusement tous ceux qui prennent la peine de nous signaler les erreurs qu'ils trouvent dans nos documents. Votre contribution est précieuse pour l'amélioration continue.
Électricité 1
Contrôle N° 1 d'Électricité 1 (Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM)
Question de cours :
Rappeler les propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique.
Exercice 1 : Système de quatre charges ponctuelles
Soient quatre charges ponctuelles disposées aux sommets d’un carré dont la longueur de la diagonale est 2a.
1. Déterminer le champ ⃗E et le potentiel V électrostatique au centre O du carré dans les cas suivants :
- Cas 1 : +q, +q, +q, +q aux sommets (voir Figure 1)
- Cas 2 : +q, -q, +q, -q aux sommets (voir Figure 1)
- Cas 3 : -q, +q, +q, +q aux sommets (voir Figure 1)
- Cas 4 : +q, +q, -q, -q aux sommets (voir Figure 1)
Représenter ⃗E(O) dans chacun de ces cas.
Exercice 2 : Distribution cylindrique de charges
On considère un cylindre de rayon R, de longueur infinie, chargé uniformément en surface par une densité surfacique de charges σ. À l'aide du théorème de Gauss, on désire déterminer le champ électrostatique ⃗E en tout point M de l’espace, créé par cette distribution. M est un point situé à la distance r de l'axe (Oz) du cylindre et repéré par ses coordonnées cylindriques (r, φ, z) (voir figure 2).
1. Par des considérations de symétrie et d’invariances, déterminer la direction de ⃗E(M) et les variables dont il dépend.
2. a. Définir précisément la surface de Gauss que vous utilisez (en justifiant votre choix). b. Déterminer le champ ⃗E(M) en tout point de l’espace.
3. En déduire le potentiel V(M) pour tous les points M de l’espace (on prendra comme origine des potentiels V(R) = 0).
4. Tracer les courbes de variations ‖⃗E(r)‖ et V(r) en fonction de r. Conclure.
5. Quelles sont les lignes de champ et les surfaces équipotentielles pour cette distribution de charges ?
Corrigé du Contrôle N° 1 d'Électricité 1 (Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM)
Question de cours :
Les propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique sont :
- Le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre ; ⃗E(M) = ⃗0
- La densité volumique de charges à l’intérieur du conducteur est nulle ; ρ = 0
- Le potentiel est constant en tout point du conducteur. V = constante
Exercice 1 :
1. Détermination de ⃗E et V au centre O dans les cas suivants :
-
1er cas : Système de quatre charges +q
Soient ⃗E1(O), ⃗E2(O), ⃗E3(O), ⃗E4(O) les champs créés en O respectivement par les charges. Par symétrie, les champs s'annulent deux à deux.
Le champ résultant ⃗E(O) est donc ⃗E(O) = ⃗E1(O) + ⃗E2(O) + ⃗E3(O) + ⃗E4(O) = ⃗0.
Le potentiel électrostatique V(O) est défini par : V(O) = V1(O) + V2(O) + V3(O) + V4(O).
Avec r = a (distance du centre aux sommets), on a V(O) = q/(4πε₀a) + q/(4πε₀a) + q/(4πε₀a) + q/(4πε₀a).
D'où V(O) = 4q/(4πε₀a) = q/(πε₀a).
-
2ème cas : Système de charges +q, -q, +q, -q
Le champ ⃗E(O) est défini par : ⃗E(O) = ⃗E1(O) + ⃗E2(O) + ⃗E3(O) + ⃗E4(O).
Si les charges sont disposées comme indiqué dans la Figure 1 (Cas 2), les champs dus aux charges opposées sur une même diagonale s'ajoutent vectoriellement. Par symétrie, la somme des champs peut être obtenue en additionnant les contributions.
En considérant la disposition habituelle des charges aux sommets d'un carré, on obtient ⃗E(O) = (q/(4πε₀a²)) [ (⃗u_1 - ⃗u_2) + (⃗u_3 - ⃗u_4) ] où ⃗u_i sont des vecteurs unitaires vers les charges. La figure 3 illustre les composantes.
Le potentiel V(O) : V(O) = V1(O) + V2(O) + V3(O) + V4(O) = (q - q + q - q)/(4πε₀a) = 0.
-
3ème cas : Système de charges -q, +q, +q, +q
Le champ résultant ⃗E(O) est ⃗E(O) = ⃗E1(O) + ⃗E2(O) + ⃗E3(O) + ⃗E4(O).
Avec, par exemple, la charge en haut à gauche étant -q et les trois autres +q (selon la Figure 1, Cas 3), le champ résultant sera orienté vers cette charge négative, avec les composantes des autres champs s'ajoutant ou s'annulant partiellement.
Le calcul détaillé mène à ⃗E(O) = (2√2 q / (4πε₀a²)) ⃗j (si les axes sont orientés comme dans la figure et la charge -q est en haut à gauche).
Le potentiel V(O) : V(O) = (-q + q + q + q)/(4πε₀a) = 2q/(4πε₀a) = q/(2πε₀a).
-
4ème cas : Système de charges +q, +q, -q, -q
Le champ résultant ⃗E(O) est ⃗E(O) = ⃗E1(O) + ⃗E2(O) + ⃗E3(O) + ⃗E4(O).
Si les charges sont +q en haut à droite et en haut à gauche, et -q en bas à gauche et en bas à droite (selon la Figure 1, Cas 4), alors les composantes des champs s'annulent ou s'additionnent selon les axes de symétrie.
Le calcul détaillé mène à ⃗E(O) = (√2 q / (4πε₀a²)) ⃗j.
Le potentiel V(O) : V(O) = (q + q - q - q)/(4πε₀a) = 0.
Exercice 2 : Distribution cylindrique de charges
1. La direction et le sens du champ électrostatique ⃗E(M) :
- La distribution admet comme plans de symétrie, un plan passant par le point M et contenant l’axe (Oz), et un autre plan perpendiculaire à l’axe (Oz) passant par M. On en déduit alors que le champ ⃗E(M) est porté par l’intersection de ces plans, c'est-à-dire l’axe radial. Donc ⃗E(M) = E(M) ⃗u_r.
- La distribution est invariante par toute rotation autour de l’axe (Oz). Donc ⃗E(M) ne dépend pas de φ (angle azimutal). ⃗E(M) = E(r, z) ⃗u_r.
- La distribution est invariante par toute translation selon l’axe (Oz). Donc ⃗E(M) ne dépend pas de z. ⃗E(M) = E(r) ⃗u_r.
2. a) Choix de la surface de Gauss :
Le champ ⃗E(M) est radial et constant sur un cylindre d’axe (Oz) et de rayon r. La surface de Gauss convenable sera un cylindre de rayon r et de hauteur h, coaxial avec le cylindre chargé (Figure 4).
b) Le champ ⃗E(M) en tout point de l’espace :
Le théorème de Gauss : Φ = Q_int / ε₀ ; Φ étant le flux de ⃗E(M) à travers la surface de Gauss S.
Φ = ∬_S ⃗E ⋅ d⃗S = ∬_Base1 ⃗E ⋅ d⃗S1 + ∬_Base2 ⃗E ⋅ d⃗S2 + ∬_Latérale ⃗E ⋅ d⃗SL.
Comme ⃗E(M) est radial et que d⃗S pour les bases est parallèle à ⃗u_z (donc perpendiculaire à ⃗u_r), les flux à travers les bases sont nuls : ∬_Base1 ⃗E ⋅ d⃗S1 = 0 et ∬_Base2 ⃗E ⋅ d⃗S2 = 0.
D'où Φ = ∬_Latérale E(r) ⃗u_r ⋅ d⃗SL = E(r) ∬_Latérale dSL = E(r) ⋅ (2πrh).
-
1er cas : r < R (M à l'intérieur de la surface de Gauss)
Le cylindre est chargé uniformément en surface. Donc, à l'intérieur (r < R), la charge interne Q_int est nulle. (Voir Figure 5).
D'où E(r) ⋅ (2πrh) = 0 / ε₀ ⇒ E(r) = 0. Ainsi ⃗E(M) = ⃗0 pour r < R.
-
2ème cas : r > R (M à l'extérieur de la surface de Gauss)
Les charges sont uniformément réparties sur la surface du cylindre de rayon R. La charge interne Q_int contenue dans la surface de Gauss (cylindre de rayon r et hauteur h) est celle présente sur une section de hauteur h du cylindre chargé, soit Q_int = σ ⋅ (2πRh). (Voir Figure 5).
D'où E(r) ⋅ (2πrh) = (σ ⋅ 2πRh) / ε₀ ⇒ E(r) = σR / (ε₀r).
Finalement, le champ électrostatique est :
⃗E(M) = { ⃗0 si r < R
(σR / (ε₀r)) ⃗u_r si r > R
3. Le potentiel V(M) pour tous les points M de l’espace :
On a ⃗E(M) = -⃗∇V(M). Le gradient en coordonnées cylindriques est : ⃗∇V = (∂V/∂r)⃗u_r + (1/r)(∂V/∂φ)⃗u_φ + (∂V/∂z)⃗u_z.
Puisque ⃗E(M) ne dépend que de r et est dirigé selon ⃗u_r, on a E(r) = -∂V/∂r. Donc V(M) = V(r).
-
1er cas : r < R
On a E(r) = 0. Donc -∂V/∂r = 0, ce qui implique V(r) = C1 (constante) dans l’intervalle [0, R[.
D'après les conditions aux limites pour le potentiel, on prend V(R) = 0 (comme origine des potentiels sur la surface du cylindre).
Donc V(r) = 0 pour r ≤ R.
-
2ème cas : r > R
On a E(r) = σR / (ε₀r). Donc -∂V/∂r = σR / (ε₀r).
En intégrant, V(r) = ∫ (-σR / (ε₀r)) dr = -(σR/ε₀) ∫ (1/r) dr = -(σR/ε₀) ln(r) + C2.
Pour déterminer la constante C2, en utilisant la continuité du potentiel pour r = R : V(R) = 0.
0 = -(σR/ε₀) ln(R) + C2 ⇒ C2 = (σR/ε₀) ln(R).
D'où V(r) = -(σR/ε₀) ln(r) + (σR/ε₀) ln(R) = (σR/ε₀) (ln(R) - ln(r)) = (σR/ε₀) ln(R/r) pour r > R.
4. Représentation des variations de ‖⃗E(r)‖ et V(r) :
Pour r < R, ‖⃗E(r)‖ = 0 et V(r) = 0.
Pour r > R, ‖⃗E(r)‖ diminue en 1/r et V(r) diminue logarithmiquement (en ln(R/r)).
Les courbes montrent une discontinuité de ‖⃗E(r)‖ à r=R (saut de 0 à σ/(ε₀R)) et V(r) est continu mais sa dérivée est discontinue.
(Les figures illustrant les variations de E(r) et V(r) en fonction de r ne sont pas incluses ici mais seraient essentielles pour une compréhension graphique.)
5. Lignes de champ et surfaces équipotentielles :
Les lignes de champ sont radiales, perpendiculaires à la surface du cylindre et dirigées vers l'extérieur si σ > 0. Elles sont concentriques à l'axe du cylindre.
Les surfaces équipotentielles sont des cylindres coaxiaux avec le cylindre chargé.
Contrôle N° 1 d'Électricité 1 (Filière SMPC/SMA 2005-2006 FSSM)
Exercice 1
Exercice 2
Corrigé du Contrôle N° 1 d'Électricité 1 (Filière SMPC/SMA 2005-2006 FSSM)
Exercice 1
Exercice 2
Contrôle N° 1 d'Électricité 1 (Semestre 2 - Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM)
Exercice I
Exercice II
Exercice III
Exercice IV
Corrigé d'Électricité 1 (Semestre 2 - Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM)
Exercice IV
Exercice II
Exercice III
Exercice IV
Optique 1
Contrôle N° 1 d'Optique 1 (Filière SMPC/SMA 2004-2005 FSSM)
Questions de cours
Exercice I
Exercice II
Exercice III
Corrigé du Contrôle N° 1 d'Optique 1 (Filière SMPC/SMA 2004-2005 FSSM)
Questions de cours
Exercice I
Exercice II
Exercice 3
Contrôle N° 1 d'Optique 1 (Filière SMPC/SMA 2009-2008 FSSM)
Question de cours :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Corrigé du Contrôle N° 1 d'Optique 1 (Filière SMPC/SMA 2009-2008 FSSM)
Question de cours :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Contrôle N° 1 d'Optique 1 (Filière SMPC/SMA 2008-2007 FSSM)
Exercice I
Exercice II
Exercice III
Correction du Contrôle N° 1 d'Optique 1 (Filière SMPC/SMA 2008-2007 FSSM)
Exercice I
Exercice II
Contrôle N° 1 d'Optique 1 (Filière SMPC/SMA 2004-2005 FSSM)
Question de cours
Exercice 1
Corrigé du Contrôle N° 1 d'Optique 1 (Filière SMPC/SMA 2004-2005 FSSM)
Question de cours
Exercice I
Exercice II
Algèbre
Contrôle N° 1 d'Algèbre I (Filière SMPC- FSSM)
Exercice I
Exercice II
Exercice III
Corrigé du Contrôle N° 1 d'Algèbre I (Filière SMPC- FSSM)
Exercice I
Exercice II
Exercice III
Algèbre I (Filière SMPC- FSSM)
Contrôle de rattrapage
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Corrigé du Contrôle de rattrapage d'Algèbre
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Analyse
Exercice
Corrigé :
Exercices :
Exercice 1 :
Chimie générale
Extrait de l’examen juin 1979 FSSM
Extrait de l’examen 1980
Extrait de l’examen juin 1981 FSSM
Extrait de l’examen juin 1982 FSSM
Extrait de l’examen Mai 1984 FSSM
Extrait de l’examen juin 1984 FSSM
Corrigés de Chimie générale
Exercice 1 : (extrait du contrôle juin 1979 - Faculté des sciences Semlalia)
Exercice 2 : (extrait du contrôle septembre 1980 - Faculté des sciences Semlalia)
Exercice 3 : (extrait du contrôle juin 1981 - Faculté des sciences Semlalia)
Exercice 4 : (extrait du contrôle juin 1982 - Faculté des sciences Semlalia)
Exercice 5 : (extrait du contrôle mai 1984 - Faculté des sciences Semlalia)
Exercice 6 : (extrait du contrôle juin 1984 - Faculté des sciences Semlalia)
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un conducteur en équilibre électrostatique ?
Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsque toutes les charges à l'intérieur du conducteur sont immobiles. Dans cet état, le champ électrique à l'intérieur est nul, la densité volumique de charges est nulle, et le potentiel électrostatique est constant sur tout le volume du conducteur.
Comment le théorème de Gauss est-il appliqué pour les distributions de charges ?
Le théorème de Gauss est un outil fondamental pour calculer le champ électrique. Il stipule que le flux électrique total à travers une surface fermée (dite surface de Gauss) est proportionnel à la charge électrique totale enfermée par cette surface. L'application du théorème est simplifiée par la considération de symétries de la distribution de charges pour choisir une surface de Gauss adéquate, ce qui permet de simplifier le calcul du flux.
Pourquoi est-il important de pratiquer les examens des années précédentes ?
La pratique des examens des années précédentes est cruciale pour plusieurs raisons : elle permet de se familiariser avec le format des questions, d'évaluer son niveau de compréhension des concepts, de gérer son temps de manière efficace et de repérer les types d'exercices récurrents. Cela aide à mieux se préparer et à aborder les évaluations avec plus de confiance.