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Année universitaire 2019-2020 : MIP1 M111 Série 3

Exercice 1

1. Montrer que pour tout 0 < ε < 1, et pour x ∈ IR on a : |x − 1| < 4 ⇒ |x² + x − 2| < ε. En déduire, en utilisant la définition de la limite, lim_x→1(x² + x − 1) et lim_x→1(x² + x − 2)cos x.

Exercice 2

Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes :
a) lim_x→0+ xE(x − 1/x)
b) lim_x→+∞ xE(1/x)
c) lim_x→0 (³√(x²+1) − 1)
d) lim_x→0 (sin x − (1/2)sin(2x)) / x³
e) lim_x→1 |x|√(x²−2x+1) / (x−1)
f) lim_x→0 (x sin x) / x²
g) lim_x→0 (1 − cos x) / (x tan x)
h) lim_x→0 (cos² x − 1) / ((tan x − sin x) sin³(x/2))

Exercice 3

1. Trouver les couples (a, b) ∈ IR² tels que la fonction f soit continue sur IR dans les cas suivants :
a) f(x) = sin(ax)/x si x < 0, f(x) = 1 si x = 0, f(x) = e^(bx) − x si x > 0.
b) f(x) = ax + b si x < 0, f(x) = e^x si x ≥ 0.

Exercice 4

Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue. Montrer que l'équation f(x) = x admet une solution α dans [0, 1].

Exercice 5

Étudier la dérivabilité sur IR des fonctions suivantes : f(x) = x|x|, g(x) = x / (1 + |x|), h(x) = 1 / (1 + |x|).

Exercice 6

Prolonger par continuité en 0 et étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : f(x) = √x ln x, g(x) = (e^x − 1) / √x.

Exercice 7

Soit f la fonction réelle définie par f(x) = e^x si x < 0, f(x) = 1 si x = 0, f(x) = −x² + x + 1 si 0 < x ≤ 1, f(x) = (1 − x) / x si x > 1.
1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur IR.
2. Montrer qu'il existe c ∈ ]−1, 1[ tel que f'(c) = (e − 1) / (2e), et déterminer les valeurs possibles de c.

Exercice 8

Soit f : [a, b] → IR une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On pose φ(x) = (f(b) − f(a))x³ − (b³ − a³)f(x). Calculer φ(a) et φ(b) et montrer qu'il existe c ∈ ]a, b[, tel que 3c²(f(b) − f(a)) = (b³ − a³)f'(c).

Exercice 9

Montrer que :
1. ∀x ∈ IR, |sin x| ≤ |x|
2. ∀x ∈ [0, π/2], 1 − cos x ≤ x sin x
3. ∀x ∈ IR, e^x ≥ 1 + x

Exercice 10

1. Soit α ∈ ]0, 1[ :
a) Montrer que pour tout entier naturel n on a (n + 1)^(1−α) ≤ (n + 1)^α − n^α ≤ α n^(1−α).
b) En déduire lim_n→+∞ (somme de p=1 à n de 1/p^α).
2. Par application du théorème des accroissements finis à f(x) = ln x sur [n, n+1], montrer que lim_n→+∞ (somme de k=1 à n de 1/k) = +∞.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le Théorème des Accroissements Finis ?

Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) stipule que pour une fonction f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe au moins un point c dans ]a,b[ tel que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a). Il est fondamental pour l'étude des fonctions en analyse réelle.

Comment étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux ?

Pour étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux, il faut vérifier la continuité sur chaque intervalle de définition (où la fonction est généralement continue) et aux points de raccordement. Aux points de raccordement, on doit s'assurer que la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction au point sont toutes égales.

Quelle est l'importance du calcul de limites en mathématiques ?

Le calcul de limites est essentiel en analyse pour définir la continuité, la dérivabilité des fonctions, les asymptotes, et pour étudier le comportement des fonctions à l'infini ou en des points singuliers. Il est à la base de la construction des dérivées et des intégrales.