M111 td 5 -Analyse 1 - Télécharger pdf

Télécharger PDF

Série d'Exercices sur les Développements Limités, Limites et Asymptotes

Cette série d'exercices, issue de l'année universitaire 2019-2020 (MIP1 M111, Série 5), aborde des concepts fondamentaux de l'analyse mathématique. Elle couvre les développements limités (DL), le calcul de limites de fonctions et l'étude du comportement asymptotique des courbes. Ces notions sont essentielles pour comprendre le comportement des fonctions au voisinage d'un point ou à l'infini.

Exercice 1: Calcul de Développements Limités (DL) en 0

En utilisant la formule de Taylor, calculer le développement limité d'ordre 3 en 0 de `arctan(x)`. Puis calculer le développement limité d'ordre n en 0 de la fonction `f` dans les cas ci-dessous :

`f(x) = (1 + 2arctan(x))(2e^x - sin(x))`, pour `n = 3`
`f(x) = (1 + 2x)^(1/x)`, pour `n = 2`
`f(x) = (2 + arctan(x)) / cosh(x)`, pour `n = 4`
`f(x) = x / (e^x - 1)`, pour `n = 3`
`f(x) = e^(sqrt(2) + cos(x))`, pour `n = 2`
`f(x) = ln(ln((1 + x) / x))`, pour `n = 2`

Exercice 2: Calcul de Développements Limités (DLn(x0))

Calculer le développement limité d'ordre n en `x0` de la fonction `f` dans les cas suivants :

`f(x) = cos(x)`, avec `x0 = π/2` et `n = 3`
`f(x) = ln(x)`, avec `x0 = 3` et `n = 2`
`f(x) = sqrt(2) - e^x`, avec `x0 = 1` et `n = 2`
`f(x) = (2 - ln(x))^(1/4)` (racine quatrième de `(2 - ln(x))`), avec `x0 = 1` et `n = 2`

Exercice 3: Calcul de Limites

Calculer la limite en `x0` de la fonction `f` dans les cas suivants :

`f(x) = sin^3(x) / (x - arcsin(x))`, avec `x0 = 0`
`f(x) = (1 + x)^(1/x)`, avec `x0 = 0`
`f(x) = (sinh(x) / sin(x))^(1/x^2)`, avec `x0 = 0`

Exercice 4: Étude Asymptotique des Fonctions

Étudier à l'infini (comportement asymptotique) : déterminer l'asymptote à la courbe représentative de `f`, ainsi que la position de la courbe par rapport à son asymptote pour les fonctions suivantes :

`f(x) = x(sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1))`
`f(x) = (x - 1)e^(1/(x + 1))`
`f(x) = ln(e^(2x) - e^x + 3e^(-3x) + 1)`

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un Développement Limité (DL) ?

Un développement limité est une approximation polynomiale d'une fonction au voisinage d'un point donné. Il permet d'étudier le comportement local d'une fonction et de simplifier des calculs complexes, notamment pour les limites indéterminées. C'est un outil puissant en analyse mathématique.

Pourquoi les Développements Limités sont-ils si utiles ?

Les DL sont essentiels en analyse car ils facilitent grandement le calcul de limites de formes indéterminées (comme 0/0 ou infini/infini), l'étude de la continuité et de la dérivabilité des fonctions, la détermination des équations de tangentes et des asymptotes, ainsi que l'analyse des propriétés locales des fonctions.

Comment détermine-t-on une asymptote à une courbe à l'infini ?

Pour déterminer une asymptote à l'infini, on analyse le comportement de la fonction lorsque la variable x tend vers l'infini (positif ou négatif). Une asymptote peut être horizontale si la limite de f(x) est une constante, verticale si f(x) tend vers l'infini pour une valeur finie de x, ou oblique si f(x)/x tend vers une constante non nulle a et f(x) - ax tend vers une constante b.