S4, p146: mécanique quantique travaux dirigés séric n°7 -Méc
Télécharger PDFExercice 1
Soient |1⟩ et |2⟩ deux états orthogonaux et normalisés d’un système physique. Soit A une observable du système et considérons une valeur propre non dégénérée de A notée aₙ associée à l’état normé |1⟩.
1. Interprétation de P₁(aₙ) et P₂(aₙ)
D’après les postulats de la mécanique quantique, P₁(aₙ) représente la probabilité d’obtenir la valeur propre aₙ lors de la mesure de l’opérateur A lorsque le système se trouve dans l’état |1⟩. P₂(aₙ) est la probabilité d’obtenir la valeur propre aₙ lorsque le système se trouve dans l’état |2⟩.
2. Normalisation de l’état |ψ⟩ = 3|1⟩ - 4i|2⟩
Pour normer l’état |ψ⟩, calculons 〈ψ|ψ⟩ : 〈ψ|ψ⟩ = (3〈1| - 4i〈2|) (3|1⟩ - 4i|2⟩) = 9〈1|1⟩ + 12i〈1|2⟩ - 12i〈2|1⟩ + 16〈2|2⟩. Comme 〈1|2⟩ = 0 et 〈1|1⟩ = 〈2|2⟩ = 1, alors : 〈ψ|ψ⟩ = 9 + 16 = 25. Pour que |ψ⟩ soit normé, on a : |ψ⟩ = √(1/25) (3|1⟩ - 4i|2⟩).
3. Probabilité de trouver aₙ lors de la mesure de A
La probabilité P(aₙ) est donnée par : P(aₙ) = |〈n|ψ⟩|² = |(3〈n|1⟩ - 4i〈n|2⟩)|² = |3〈n|1⟩ - 4i〈n|2⟩|². En utilisant la relation de conjugaison, on obtient : P(aₙ) = (9/25) |〈n|1⟩|² + (16/25) |〈n|2⟩|² + (24/25) Re(〈n|1⟩〈2|n⟩*).
FAQ
Q : Que signifie un état normalisé en mécanique quantique ? R : Un état normalisé est un vecteur d’état tel que sa probabilité totale soit égale à 1, c’est-à-dire que 〈ψ|ψ⟩ = 1. Q : Pourquoi les états |1⟩ et |2⟩ sont-ils orthogonaux ? R : Deux états sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire que 〈1|2⟩ = 0. Q : Comment calculer la probabilité d’une mesure en mécanique quantique ? R : La probabilité d’obtenir une valeur propre aₙ lors de la mesure d’un opérateur A est donnée par |〈n|ψ⟩|², où |ψ⟩ est l’état du système et |n⟩ est l’état propre associé à la valeur propre aₙ.
Exercice 2
Soit un système physique dans l’espace des états à trois dimensions. On choisit dans cet espace une base orthonormée de 3 kets notés |1⟩, |2⟩, |3⟩. Ces kets sont les vecteurs propres de deux opérateurs indépendants du temps A et B. L’action de A et de B sur ces kets est donnée par : A|1⟩ = a|1⟩, A|2⟩ = a|2⟩, A|3⟩ = a|3⟩ B|1⟩ = 2b|1⟩, B|2⟩ = -b|2⟩, B|3⟩ = -b|3⟩.
1. Matrices des opérateurs A et B
Les matrices des opérateurs A et B dans la base {|1⟩, |2⟩, |3⟩} sont : A = ⎡a 0 0⎤ ⎢0 a 0⎥ ⎣0 0 a⎦ B = ⎡2b 0 0⎤ ⎢ 0 -b 0⎥ ⎣ 0 0 -b⎦
2. Normalisation de l’état |ψ(0)⟩ = c|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩
Pour normer l’état |ψ(0)⟩, calculons 〈ψ(0)|ψ(0)⟩ : 〈ψ(0)|ψ(0)⟩ = (c*〈1| + 〈2| - i〈3|)(c|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩) = |c|² + 1 + 1 = |c|² + 2. Pour que |ψ(0)⟩ soit normé, on a : |c|² + 2 = 1 ⇒ |c|² = -1/2 ⇒ c = √(1/3). En choisissant le facteur de phase réel, on obtient : |ψ(0)⟩ = √(1/3) (|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩).
3. Mesure de A à l’instant t = 0
a. Résultats possibles et probabilités
Lors de la mesure de A, on ne peut obtenir qu’une seule valeur propre, qui est a. La probabilité d’obtenir a est donc égale à 1.
b. État du système après la mesure de A
Après la mesure de A, l’état du système devient : |ψ⟩ = |1⟩.
4. Mesure de B immédiatement après la mesure de A
a. Résultats possibles et probabilités
Lors de la mesure de B, on peut obtenir les valeurs propres 2b, -b, et -b. Les probabilités sont : P(2b) = |〈1|ψ⟩|² = 1/3 P(-b) = |〈2|ψ⟩|² + |〈3|ψ⟩|² = 1/3 + 1/3 = 2/3.
b. État du système après la mesure de B
Après la mesure de B, l’état du système devient : - Si on obtient 2b : |ψ⟩ = |1⟩ - Si on obtient -b : |ψ⟩ = √(1/2) (|2⟩ - |3⟩) ou |ψ⟩ = √(1/2) (|2⟩ + |3⟩).
5. Valeur moyenne de A dans l’état |ψ(0)⟩
La valeur moyenne de A est donnée par : 〈A⟩ = 〈ψ(0)|A|ψ(0)⟩ = (1/3)(a + a + a) = a.