P146 examen mécanique quantique -Mécanique quantique - Téléc
Télécharger PDFExamen de Mécanique Quantique – Module P146
Exercice 1
Soient deux opérateurs hermitiques A et B, et un troisième opérateur C tel que [A, B] = iC, où i est le nombre complexe pur.
a) Montrer que C est hermitique. Soit |an> les vecteurs propres de A et an les valeurs propres correspondantes. Exprimer les éléments de matrice de B sur la base propre de A en fonction de an et des éléments de matrice C.
Exercice 2
On considère deux kets |w> et |y'> tels que : |y'> = ey|w>.
1) Montrer que si |y> est normé, alors |y'> est aussi normé.
2) Montrer que la probabilité d'obtenir une mesure arbitraire est la même pour |y> et |y'>. (Tenir compte de la dégénérescence gn)
Exercice 3
Une particule quantique de masse m se trouve enfermée dans un puits de potentiel de largeur a et de murs infinis.
V = 0 pour 0 ≤ x ≤ a et V = +∞ ailleurs.
À l'instant t = 0, la particule occupe l'état décrit par la fonction d'onde : y(x, 0) = C sin(3x).
1) Déterminer les états stationnaires φn(x) et le spectre des énergies En de la particule.
2) Calculer la constante de normalisation C en utilisant les résultats de 1). On utilisera la transformation : sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x).
3) Développer y(x, 0) sur la base des fonctions stationnaires de la particule.
4) En déduire la fonction d'onde y(x, t) à l'instant t quelconque décrivant son évolution temporelle.
5) À l'instant t, quelle est la probabilité, lorsqu'on mesure l'énergie de la particule, de trouver une valeur inférieure à (3h²/2ma²) ?
Exercice 4
Soient X et Px les opérateurs de position et d'impulsion d'une particule libre de masse m.
a) Montrer en appliquant le théorème d'Ehrenfest (particule libre) que <X> est une fonction linéaire du temps, sachant que [X, Px] = ih.
b) Montrer aussi que la valeur moyenne de <P> reste constante.
c) Que peut-on dire de <P²> ?
Exercice 1 (Rattrapage)
On considère un système physique dont l'espace des états est rapporté à une base orthonormée discrète {|u1>, |u2>}. L'opérateur Hamiltonien H est défini par :
H|u1> = a|u1> + 2a|u2>,
H|u2> = 2a|u1> + a|u2>, où a est un réel positif.
1) Déterminer la matrice qui représente l'Hamiltonien H dans la base {|u1>, |u2>}.
2) Déterminer les énergies E1 et E2, ainsi que les vecteurs propres associés.
3) À l'instant t = 0, le système physique est décrit par le ket : |Y(0)> = |u2>.
a) Déterminer la valeur moyenne et l'écart quadratique moyen de l'énergie.
b) Quelle est la probabilité de trouver l'énergie E1 ?
c) Si la mesure de l'énergie à l'instant t = 0 donne la valeur E1, exprimer |Y(t)> à l'instant t en fonction de |u1>, |u2>, E1 et E2.
Exercice 2 (Rattrapage)
On étudie les niveaux d'énergie d'une particule placée dans un puits de potentiel V(x) asymétrique défini par :
V(x) = ∞ pour x ≤ 0,
V(x) = 0 si 0 < x < L,
V(x) = Vo si x ≥ L.
1) Donner l'expression de la fonction d'onde dans les régions I et II pour un état propre du Hamiltonien d'énergie E > 0.
2) Quelles sont les conditions que doit vérifier la fonction d'onde en x = 0 et x → +∞ ? Simplifier alors les expressions de la question 1.
Exercice 1 (Partie A)
Une particule libre de masse m est piégée dans un puits infini de potentiel suivant :
V(x) = 0 si 0 ≤ x ≤ a,
V(x) = ∞ si x < 0 ou x > a.
A-1) La fonction d'onde à l'extérieur du puits est nulle, expliquer pourquoi ?
A-2) Déterminer la fonction d'onde normée de la particule à l'intérieur du puits.
A-3) Montrer que l'énergie de cette particule s'écrit : En = Eo n², où n est un entier positif non nul. Donner la valeur de Eo.
Partie B
On appelle |φn> les états propres de l'Hamiltonien H du système, de valeurs propres En.
L'état de la particule à l'instant t = 0 est : |Y(0)> = a1|φ1> + a2|φ2> + a3|φ3> + a4|φ4>.
1) Quelle est la probabilité, lorsque l'on mesure l'énergie de la particule dans l'état |Y(0)>, de trouver une valeur inférieure à (3h²/2ma²) ?
2) Déterminer la valeur moyenne de l'énergie de la particule dans l'état |Y(0)>.
3) Lors d'une mesure de l'énergie, on trouve le résultat (8h²/ma²), quel est le vecteur d'état immédiatement après cette mesure ?
Exercice II (Partie A)
Dans un espace vectoriel à 2 dimensions, on considère un opérateur dont la matrice, dans une base orthonormée {|u1>, |u2>}, s'écrit :
0 1 1 0
1) Cet opérateur est-il hermitique ?
2) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés.
3) Calculer les matrices représentant les projecteurs sur ces vecteurs propres.
4) Vérifier que ces projecteurs satisfont à des relations d'orthogonalité et de fermeture.
Exercice III (Partie A)
Une particule de masse m, se déplace à la vitesse v uniforme par rapport à un référentiel R fixe.
Son énergie totale E, son énergie cinétique T = 350 MeV et son impulsion p = 700 MeV/c.
1) Établir la relation : p²c² + m²c⁴ = E².
2) Calculer la vitesse de la particule dans R.
3) Calculer la masse de la particule.
Exercice I (Relativité Restreinte)
Un faisceau cosmique (référentiel R'), quitte la Terre (référentiel R) pour se diriger vers l'étoile la plus proche située à 4 années-lumière de la Terre à la vitesse v = 0,8c.
Les horloges des référentiels R et R' sont synchronisées de telle sorte qu'à t = t' = 0, on a x = x' = 0.
1) Quelle sera la durée du voyage pour un observateur terrestre et pour un voyageur à bord de ce faisceau ?
2) Quelle sera la distance parcourue vue du référentiel R' ?
3) Deux événements se produisent dans R : l'événement 1 à x1 = 3 m, à ct1 = 6 m et l'événement 2 à x2 = 5 m, à ct2 = 7 m.
a) Quelle est leur équivalent dans R' ?
b) Quelle est la distance qui sépare les deux endroits où se sont produits ces événements dans R et dans R' ?
Exercice II (Mécanique Quantique)
Les kets |v+> et |v-> forment une base orthonormée de l'espace des états.
Les opérateurs Sx et Sy associés aux composantes du moment cinétique de spin d'une particule quantique sont définis par :
Sx|v+> = i|v->, Sx|v-> = -i|v+>,
Sy|v+> = |v+>, Sy|v-> = -|v->.
L'Hamiltonien H est défini par : H = ω(4Sx + 3Sy), où ω est une constante positive non nulle.
1) Écrire les matrices associées à Sx, Sy et H et montrer que ces opérateurs sont des observables.
2) Peut-on mesurer simultanément Sx et Sy ? Sx et H ? Sy et H ? Justifier.
3) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres normés des observables Sx, Sy et H.
4) En utilisant la relation de fermeture, décomposer |v+> et |v-> dans la base B1 = {|y1>, |y2>}. En déduire la représentation matricielle des opérateurs H et A dans la base B1.
5) Vérifier pour chacun des ensembles suivants s'il s'agit d'un ensemble complet d'observables compatibles (ECOC) : {Sx, Sy}, {Sx, H}, {Sy, H} et {Sx, Sy, H}. Justifier.
6) À l'instant t = 0, le système est dans l'état : |Y(0)> = -2i|v+>.
a) Décomposer le ket |Y(0)> sur la base des kets propres de H et calculer sa norme.
b) Si on mesure l'énergie à t = 0, que peut-on trouver comme résultat et avec quelle probabilité ?
c) Déterminer à t = 0 les expressions de <H>, <H²> et ΔH en fonction de ħω.
FAQ
1. Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique en mécanique quantique ?
Un opérateur hermitique (ou auto-adjoint) est un opérateur linéaire dont la matrice dans une base orthonormée est égale à sa transposée conjuguée. Cela signifie que ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres sont orthogonaux.
2. Comment normaliser un ket en mécanique quantique ?
Pour normaliser un ket |ψ>, on calcule la constante C telle que <ψ|ψ> = 1. Si |ψ> = Σa_n|φ_n>, alors C = 1/√(Σ|a_n|²).
3. Que signifie le théorème d'Ehrenfest en mécanique quantique ?
Le théorème d'Ehrenfest relie l'évolution temporelle des valeurs moyennes des observables quantiques à leur commutateur avec l'Hamiltonien. Il stipule que la dérivée temporelle de la valeur moyenne d'un opérateur A est donnée par : d<A>/dt = <[A, H]/iħ>.