T.d. de mécanique quantique smp4 correction série n°4 -Mécan
Télécharger PDFSolution 1 : Système conservatif – Mesure d’une observable
On considère un système physique dont l’espace des états à trois dimensions est rapporté à la base orthonormée {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩}. Soient H l’opérateur hamiltonien du système et A un opérateur hermitique agissant sur l’espace des états. Les deux représentations matricielles de ces opérateurs sont données par :
Hb = ħω 2 0 0 0 2 0 0 0 1
Ab = 0 a 0 a 0 0 0 0 2a
où ω et a sont des réels positifs. À t = 0, le système est décrit par le ket :
|Ψ(t = 0)⟩ = 1/√3|u₁⟩ − i√3/2|u₂⟩ + i√3/2|u₃⟩
1) Les valeurs propres de A
Puisque A est hermitique, on a A = A†, ce qui implique que Aij = Aji*. Ainsi, a = b. Les valeurs propres sont déterminées en calculant le déterminant de Ab − λI3×3 = 0.
On obtient :
det( −λ a 0 a −λ 0 0 0 0 2a −λ ) = 0 ⇒ (λ² − a²)(2a − λ) = 0
Les valeurs propres de Ab sont donc :
λ₁ = +a (simple), λ₂ = −a (simple), λ₃ = +2a (simple aussi)
Vecteurs propres de Ab
Soient |φ₁⟩, |φ₂⟩ et |φ₃⟩ les vecteurs propres associés respectivement aux valeurs propres λ₁, λ₂ et λ₃.
• Vecteur propre associé à λ₁ = +a
On a : Ab|φ₁⟩ = +a|φ₁⟩ ⇒ x₁ + x₂ + x₃ = 0, avec ⟨φ₁|φ₁⟩ = ∑i|xi|² = x₁² + x₂² + x₃² = 1.
Le système d’équations donne :
x₂ = x₁, x₃ = 0, x₁² + x₂² + x₃² = 1 ⇒ x₁ = x₂ = 1/√2 (en prenant θ = 0)
On obtient alors :
|φ₁⟩ = |u₁⟩ + |u₂⟩
• Vecteur propre associé à λ₂ = −a
On a : Ab|φ₂⟩ = −a|φ₂⟩ ⇒ y₁ + y₂ + y₃ = 0, avec ⟨φ₂|φ₂⟩ = y₁² + y₂² + y₃² = 1.
En imposant ⟨φ₁|φ₂⟩ = 0, on obtient :
y₂ = −y₁, y₃ = 0, y₁² + y₂² + y₃² = 1 ⇒ y₁ = −1/√2, y₂ = 1/√2 (en prenant θ = 0)
On obtient alors :
|φ₂⟩ = |u₁⟩ − |u₂⟩
• Vecteur propre associé à λ₃ = +2a
On a : Ab|φ₃⟩ = 2a|φ₃⟩ ⇒ z₁ + z₂ + z₃ = 0, avec ⟨φ₃|φ₃⟩ = z₁² + z₂² + z₃² = 1.
En imposant ⟨φ₁|φ₃⟩ = ⟨φ₂|φ₃⟩ = 0, on obtient :
z₂ = 2z₁, z₃ = z₃, z₁² + z₂² + z₃² = 1 ⇒ z₁ = z₂ = 0, z₃ = 1
On obtient alors :
|φ₃⟩ = |u₃⟩
2) Quelles valeurs peut-on trouver lorsqu’on mesure l’énergie à l’instant t = 0 ?
L’opérateur hamiltonien est décrit par sa représentation matricielle dans une base tridimensionnelle, donc les valeurs propres de Hb sont :
E₁ = E₂ = 2ħω (valeur propre double), E₃ = ħω (valeur propre simple)
3) Probabilités lorsqu’on mesure l’énergie à l’instant t = 0
La fonction d’onde à t = 0 est normée : ⟨Ψ(t = 0)|Ψ(t = 0)⟩ = 1. Les probabilités de mesurer les énergies sont :
P(E₁ = E₂ = 2ħω) = ⟨u₁|Ψ(t = 0)⟩² + ⟨u₂|Ψ(t = 0)⟩² = 1/3 + 1/3 = 2/3
P(E₃ = ħω) = ⟨u₃|Ψ(t = 0)⟩² = 1/3
4) Le ket |Ψ(t)⟩ décrivant l’état du système à un instant t ultérieur
En appliquant le postulat d’évolution, on obtient :
|Ψ(t)⟩ = 1/√3e−2iωt|u₁⟩ − i√3/2e−2iωt|u₂⟩ + i√3/2e−iωt|u₃⟩
On remarque que |Ψ(t)⟩ n’est pas proportionnel à |Ψ(t = 0)⟩, donc les états sont physiquement discernables.
4a) À l’instant t, mesure de l’énergie
Les résultats possibles sont les valeurs propres de Hb : 2ħω ou ħω.
Les probabilités sont :
P(E₁ = E₂ = 2ħω) = |c₁(t)|² + |c₂(t)|² = 1/3 + 1/3 = 2/3
P(E₃ = ħω) = |c₃(t)|² = 1/3
4b) Résultats de mesure de A
Les résultats possibles sont les valeurs propres de Ab : a, −a ou 2a.
Les probabilités sont :
P(λ₁ = a) = ⟨φ₁|Ψ(t)⟩² = 1/2(|c₁(t)|² + |c₂(t)|²) = 1/2(1/3 + 1/3) = 1/3
P(λ₂ = −a) = ⟨φ₂|Ψ(t)⟩² = 1/2(|c₁(t)|² + |c₂(t)|²) = 1/3
P(λ₃ = 2a) = ⟨φ₃|Ψ(t)⟩² = |c₃(t)|² = 1/3
4c) Probabilité de trouver le système dans l’état |u₃⟩ à l’instant t
Cette probabilité est donnée par :
P = ⟨u₃|Ψ(t)⟩² = |c₃(t)|² = 1/3
5) État du système après une mesure de l’énergie à l’instant t
Si le résultat de la mesure de l’énergie à l’instant t = t₁ est 2ħω, l’état du système immédiatement après la mesure est :
|Ψ₀⟩ = e−2iωt/√2|u₁⟩ − i/√2|u₂⟩
6) La grandeur représentée par A est-elle une constante de mouvement ?
Pour qu’une grandeur physique soit une constante de mouvement, il faut que [A, H] = 0 et que ∂A/∂t = 0. Par hypothèse, A ne dépend pas explicitement du temps, donc ∂A/∂t = 0.
On vérifie que [A, H] = 0 en calculant les produits HbAb et AbHb, ce qui montre que A est une constante de mouvement.
Solution 2 : Système conservatif
On considère un système conservatif de masse m dont l’état quantique à l’instant t = 0 est décrit par le ket :
|Ψ(t = 0)⟩ = 1/2|Φ₀⟩ − i/2√2|Φ₁⟩ + i/√2|Φ₂⟩ + 1/2√2|Φ₃⟩
où les kets |Φₙ⟩ sont des états propres de l’hamiltonien H du système associés aux valeurs propres Eₙ = ħω(n + 1/2).
1) Probabilité Pt=0 de trouver E₂ = 5ħω/2
La probabilité est donnée par :
Pt=0(E₂ = 5ħω/2) = ⟨Φ₂|Ψ(t = 0)⟩² = 1/2
2) Valeur moyenne de l’énergie dans l’état |Ψ(t = 0)⟩
La valeur moyenne est :
⟨H⟩₀ = ⟨Ψ(0)|H|Ψ(0)⟩ = ħω(0 + 1/2) × 1/4 + ħω(1 + 1/2) × 1/8 + ħω(2 + 1/2) × 1/2 + ħω(3 + 1/2) × 1/8 = 2ħω
3) Écart quadratique moyen de l’énergie à t = 0
L’écart quadratique moyen est donné par :
(∆H)²₀ = ⟨H²⟩₀ − ⟨H⟩²₀ = (ħω)²
Donc :
(∆H)₀ = ħω
4a) Vecteur d’état |Ψ(t)⟩ à l’instant t
Le vecteur d’état évolue selon :
|Ψ(t)⟩ = 1/2e−iωt/2|Φ₀⟩ − i/2√2e−i3ωt/2|Φ₁⟩ + i/√2e−i5ωt/2|Φ₂⟩ + 1/2√2e−i7ωt/2|Φ₃⟩
4b) Probabilité, valeur moyenne et écart quadratique moyen de l’énergie à l’instant t
Les probabilités, la valeur moyenne et l’écart quadratique moyen restent inchangés car l’énergie est une constante de mouvement.
Pt(E₂ = 5ħω/2) = 1/2
⟨H⟩t = 2ħω
(∆H)t = ħω
5) État du système après une mesure de l’énergie E₃ = 7ħω/2
L’état du système immédiatement après la mesure est :
|χ⟩ = e−i7ωt/2|Φ₃⟩ ≡ |Φ₃⟩
Solution 3 : Particule dans un champ électromagnétique (facultatif)
Partie 1 : L’hamiltonien H de la particule de masse m et de charge q
L’hamiltonien s’écrit :
H(~R, ~P) = 1/2m~P² − q~A(~R)
1) Calcul des commutateurs : Vx, Vy ; Vy, Vz ; Vz, Vx
On a :
[Vx, Vy] = qB/2m² ; [Vy, Vz] = 0 ; [Vz, Vx] = 0