Série exercices corrigés n°7 : postulats de la mécanique qua
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Postulats de la mécanique quantique
Ces exercices abordent les concepts fondamentaux des postulats de la mécanique quantique, couvrant l'équation de Schrödinger, les vecteurs d'état, les bases orthonormées, les valeurs propres de l'énergie et la dégénérescence des niveaux d'énergie.
Exercice 1
L’évolution du vecteur d’état d’un système quantique est régie par l’équation de Schrödinger : iħ (d/dt) |Ψ(t)> = H |Ψ(t)>. Où l’hamiltonien H ne dépend pas du temps et possède une base d'états propres { |ϕn> }, H |ϕn> = En |ϕn>. On suppose que les énergies propres En sont non dégénérées.
1°) On décompose le vecteur d’état dans cette base : |Ψ(t)> = ∑n cn(t) |ϕn>. Trouver l’équation différentielle que doit vérifier chaque coefficient cn(t) et la résoudre.
2°) Dans une base orthonormée { |u1>, |u2>, |u3> }, l’hamiltonien a pour matrice représentative :
H = ħω
( 0 0 0
0 0 1
0 1 0 )
a) On suppose que le système est initialement dans l’état : |Ψ(0)> = |u3>. Déterminer l’expression de |Ψ(t)> dans la base { |ϕ0>, |ϕ+>, |ϕ-> } des états propres de H, puis dans la base initiale { |u1>, |u2>, |u3> }.
b) Quelle est la probabilité P2(t) pour que le système soit dans l’état |u2> au temps t ?
3°) On suppose maintenant que le système est initialement dans l’état : |Ψ(0)> = (1/√2) (|u1> - |u2>)
a) Calculer |Ψ(t)> dans la base { |u1>, |u2>, |u3> }.
b) À t = t0, on mesure l’énergie et l’on trouve la valeur -ħω. Avec quelle probabilité ?
Exercice 2
On considère l’espace des états, dont une base orthonormée est constituée par les vecteurs |uk,j> qui dépendent de deux indices entiers non négatifs, k et j. Les vecteurs sont des vecteurs propres de H, ils satisfont la relation : H |uk,j> = (k + j) ħω |uk,j>.
1°) a) Expliquer pourquoi le résultat de la mesure de l'énergie est nécessairement En = nħω où n ∈ ℕ.
b) Déterminer la dégénérescence du niveau d’énergie En en fonction de n.
2°) À un instant t=t0, l'état du système est décrit par le vecteur d’état |Ψ(t0)> :
|Ψ(t0)> = |u0,0> + (1 + i) |u0,1> + i |u1,0> + (1 - i) (|u0,2> + |u1,1>) + |u2,0>
a) Déterminer l’état du système physique à l’instant t quelconque.
b) Calculer la norme du vecteur |Ψ(t)>.
3°) On mesure l’énergie à l’instant t, quels sont les résultats de mesure possibles et leurs probabilités associées.
FAQ
Qu'est-ce que l'équation de Schrödinger ?
L'équation de Schrödinger est une équation fondamentale en mécanique quantique qui décrit comment l'état quantique d'un système physique évolue dans le temps. Elle est l'analogue quantique de la deuxième loi de Newton en mécanique classique.
Que représente un vecteur d'état en mécanique quantique ?
Un vecteur d'état, souvent noté |Ψ>, est une représentation mathématique complète de l'état d'un système quantique à un instant donné. Il contient toutes les informations mesurables du système.
Qu'est-ce que la dégénérescence d'un niveau d'énergie ?
La dégénérescence d'un niveau d'énergie se produit lorsque plusieurs états quantiques distincts (vecteurs propres différents) correspondent à la même valeur propre d'énergie. En d'autres termes, des états différents ont la même énergie.