Série n°4 : opérateurs, valeurs propres et vecteurs propres

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FST Mohammedia Année universitaire 2020-2021

Département de Physique Pr. HABBOU

Travaux dirigés de Mécanique Quantique Série n°4 : Opérateurs, valeurs propres et vecteurs propres

Exercice n°1

On considère un système physique dont l'espace des états, qui est à 3 dimensions, est rapporté à la base de ces trois vecteurs { |u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩ }, pris dans cet ordre. Les 2 opérateurs L et S sont définis par :

L |u₁⟩ = |u₁⟩ ; L |u₂⟩ = 0 ; L |u₃⟩ = - |u₃⟩

S |u₁⟩ = |u₃⟩ ; S |u₂⟩ = |u₂⟩ ; S |u₃⟩ = |u₁⟩

1°) Écrire les matrices représentant, dans la base { |u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩ }, les opérateurs L, L², S et S². Ces opérateurs sont-ils hermitiques ?

2°) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de L et S.

3°) L² et S forment-ils un ECOC ? Donnez une base de vecteurs propres communs.

Exercice n°2

Dans un espace vectoriel à 2 dimensions, on considère l'opérateur dont la matrice, dans une base orthonormée { |u₁⟩, |u₂⟩ }, s'écrit :

M =

0	iħ
-iħ	0

1°) M est-il hermitique ?

2°) Calculer ses valeurs propres.

3°) Trouver les vecteurs propres associés.

4°) Calculer les matrices représentant les projecteurs sur ces vecteurs propres.

5°) Vérifier alors que ces projecteurs satisfont à des relations d'orthogonalité et de fermeture.

Exercice n°3

Soit un opérateur A ayant une base propre orthonormée complète, mais dont les valeurs propres sont complexes : A |ψ_k⟩ = a_k|ψ_k⟩ avec ⟨ψ_k|ψ_j⟩ = δ_kj

1°) Montrer que |ψ_k⟩ est un vecteur propre de A⁺ avec la valeur propre a_k*.

2°) Montrer que A et A⁺ commutent.

3°) Si on décompose A en parties hermitique et anti-hermitique, P+iQ, montrer que P et Q commutent.

FAQ sur les Opérateurs en Mécanique Quantique

Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique ?

Un opérateur hermitique, ou auto-adjoint, est un type d'opérateur en mécanique quantique dont la valeur moyenne est toujours réelle. Les observables physiques (comme l'énergie, la position ou l'impulsion) sont représentées par des opérateurs hermitiques. Leurs valeurs propres sont toujours réelles, ce qui correspond aux résultats mesurables de ces observables.

Comment trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d'un opérateur ?

Pour un opérateur A et un vecteur d'état |ψ⟩, l'équation aux valeurs propres est A|ψ⟩ = λ|ψ⟩, où λ est la valeur propre et |ψ⟩ est le vecteur propre associé. En représentation matricielle, cela se traduit par la résolution de l'équation caractéristique det(A - λI) = 0, où I est la matrice identité. Les solutions de cette équation donnent les valeurs propres, et en les substituant dans l'équation originale, on peut trouver les vecteurs propres correspondants.

Qu'est-ce qu'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC) ?

Un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC) est un ensemble d'opérateurs hermitiques qui commutent mutuellement et qui permettent de caractériser de manière unique un état quantique. Si deux opérateurs commutent, ils peuvent être mesurés simultanément sans que la mesure de l'un n'affecte la valeur de l'autre. Une base de vecteurs propres communs à tous les opérateurs d'un ECOC peut être construite, et chaque vecteur de cette base est caractérisé par un ensemble unique de valeurs propres pour tous les opérateurs de l'ECOC.