Td 4 corrigés mécanique quantique -Mécanique quantique - Tél
Télécharger PDFCe document présente une série de travaux dirigés de mécanique quantique pour le département de physique de la FST Université Hassan II de Casablanca, Faculté des sciences et techniques de Mohammedia, pour l'année universitaire 2022/2023.
Exercice n° 1 : Paquet d'ondes
Un paquet d'ondes associé à une particule quantique de masse m non relativiste. Ce paquet, noté ψ(x, t), est formé par la superposition de trois ondes planes de nombres d'ondes respectifs k₀, k₀+Δk et k₀-Δk, avec Δk << k₀. Leurs amplitudes sont respectivement f₀, f₀ et f₀. À l'instant t=0, le paquet d'ondes est supposé être parfaitement regroupé autour du nombre d'onde k₀.
1. Détermination de l'amplitude
Montrer que ψ(x,t) = ψ₀(x,t) exp(-i(ω₀t - k₀x)) où ψ₀(x,t) est une amplitude que l'on déterminera.
Le paquet d'ondes est formé de 3 ondes planes d'amplitudes respectives f₀, f₀ et f₀, et ont pour nombres d'ondes respectifs k₀, k₀+Δk et k₀-Δk.
ψ(x, t) = ψ₁(x, t) + ψ₂(x, t) + ψ₃(x, t)
Avec :
- ψ₁(x, t) = f₀ exp(-i(ω₀t - k₀x))
- ψ₂(x, t) = (f₀/2) exp(-i((ω₀+Δω)t - (k₀+Δk)x))
- ψ₃(x, t) = (f₀/2) exp(-i((ω₀-Δω)t - (k₀-Δk)x))
Où Δω est le déplacement fréquentiel associé au déplacement Δk.
ψ(x, t) = f₀ exp(-i(ω₀t - k₀x)) + (f₀/2) exp(-i(ω₀t - k₀x)) exp(-i(Δωt - Δkx)) + (f₀/2) exp(-i(ω₀t - k₀x)) exp(i(Δωt - Δkx))
ψ(x, t) = f₀ exp(-i(ω₀t - k₀x)) [1 + (1/2) exp(-i(Δωt - Δkx)) + (1/2) exp(i(Δωt - Δkx))]
ψ(x, t) = f₀ exp(-i(ω₀t - k₀x)) [1 + (exp(i(Δωt - Δkx)) + exp(-i(Δωt - Δkx)))/2]
En utilisant la relation d'Euler cos(θ) = (exp(iθ) + exp(-iθ))/2 :
ψ(x, t) = f₀ [1 + cos(Δωt - Δkx)] exp(-i(ω₀t - k₀x))
Ainsi, ψ₀(x, t) = f₀ [1 + cos(Δωt - Δkx)]
2. Relation de dispersion ω(k)
Déterminer la relation de dispersion ω(k) pour chaque onde monochromatique faisant partie du paquet d'onde initial, en utilisant l'expression de l'énergie cinétique de la particule.
L'énergie cinétique d'une particule est E_c = ½ mv² = (mv)² / (2m) = p² / (2m).
En mécanique quantique, on a p = ℏk et E = ℏω.
Donc, ℏω = (ℏk)² / (2m) = ℏ²k² / (2m).
La relation de dispersion est ω(k) = ℏk² / (2m).
3. Vitesse de phase et dispersion
Que vaut la vitesse de phase de chacune ? En déduire que le paquet d'ondes se disperse lors de sa propagation.
La vitesse de phase est donnée par Vφ = ω/k.
- Pour k₀ : Vφ₀ = ω(k₀)/k₀ = (ℏk₀²/2m) / k₀ = ℏk₀ / (2m)
- Pour k₀+Δk : Vφ₊ = ω(k₀+Δk)/(k₀+Δk) = (ℏ(k₀+Δk)²/2m) / (k₀+Δk) = ℏ(k₀+Δk) / (2m) = ℏk₀/(2m) + ℏΔk/(2m)
- Pour k₀-Δk : Vφ₋ = ω(k₀-Δk)/(k₀-Δk) = (ℏ(k₀-Δk)²/2m) / (k₀-Δk) = ℏ(k₀-Δk) / (2m) = ℏk₀/(2m) - ℏΔk/(2m)
On remarque que Vφ₋ < Vφ₀ < Vφ₊. Les vitesses de phase des différentes ondes planes constituant le paquet sont différentes. Par conséquent, le paquet d'ondes se disperse lors de sa propagation.
4. Oscillation de l'amplitude
Montrer que l'amplitude du paquet d'ondes oscille beaucoup plus lentement que l'onde plane porteuse.
L'amplitude du paquet d'ondes est ψ₀(x, t) = f₀ [1 + cos(Δωt - Δkx)]. Elle a une fréquence spatiale (nombre d'onde) Δk et une fréquence temporelle Δω.
L'onde plane porteuse est exp(-i(ω₀t - k₀x)). Elle a un nombre d'onde k₀ et une fréquence ω₀.
Or, Δk << k₀ et Δω << ω₀ (car Δk est petit, et la relation de dispersion ω(k) = ℏk²/(2m) implique que Δω est aussi petit lorsque Δk est petit).
Par conséquent, l'amplitude du paquet d'ondes (l'enveloppe) oscille beaucoup plus lentement que l'onde plane porteuse.
5. Vitesse de phase de l'onde porteuse et vitesse de déplacement du maximum de l'amplitude
Quelle est la vitesse de phase de l'onde porteuse ? Calculer la vitesse de déplacement du maximum de l'amplitude.
La vitesse de phase de l'onde porteuse est Vφ₀ = ω₀/k₀ = ℏk₀ / (2m).
La vitesse de déplacement du maximum de l'amplitude est la vitesse de groupe, Vg. Elle est donnée par Vg = dω/dk.
À partir de la relation de dispersion ω(k) = ℏk² / (2m), on a :
Vg = d/dk (ℏk² / (2m)) = ℏ(2k) / (2m) = ℏk / m.
Pour le paquet d'ondes regroupé autour du nombre d'onde central k₀, la vitesse de groupe est Vg = ℏk₀ / m.
On note que Vg = 2 * (ℏk₀ / (2m)) = 2 Vφ₀.
6. Vitesse de phase moyenne et vitesse de groupe
Calculer la vitesse de phase moyenne de la distribution spectrale en fonction de la vitesse de groupe du paquet d'ondes.
La vitesse de phase moyenne est la moyenne des vitesses de phase des trois ondes :
Vφ_moy = (Vφ₀ + Vφ₊ + Vφ₋) / 3
Vφ_moy = [ (ℏk₀/(2m)) + (ℏk₀/(2m) + ℏΔk/(2m)) + (ℏk₀/(2m) - ℏΔk/(2m)) ] / 3
Vφ_moy = [ 3 * (ℏk₀/(2m)) ] / 3 = ℏk₀ / (2m).
La vitesse de groupe est Vg = ℏk₀ / m.
On constate que la vitesse de phase moyenne de la distribution est égale à la vitesse de phase de l'onde porteuse, et que Vg = 2 Vφ_moy.
7. Identification de la vitesse du corpuscule
Justifier pourquoi la vitesse du corpuscule doit être identifiée à la vitesse de groupe du paquet d'ondes. Déterminer cette dernière.
La vitesse du groupe du paquet d'ondes est la vitesse à laquelle l'énergie et l'information sont transportées. En mécanique classique, la vitesse d'une particule est donnée par v = p/m.
En mécanique quantique, la quantité de mouvement est p = ℏk.
Donc, la vitesse de la particule est v = ℏk/m. Cette expression correspond exactement à la vitesse de groupe Vg = ℏk/m, déterminée précédemment.
Ainsi, la vitesse de groupe Vg = ℏk₀/m est identifiée à la vitesse de la particule (corpuscule) en mécanique classique.
Exercice n° 2 : Barrière de Potentiel
Considérons une barrière de potentiel définie par :
V(x) = { V₀ si 0 < x < a ; 0 si x > a ; 0 si x < 0 }
1. Représentation du potentiel
Représenter ce potentiel.
Le potentiel V(x) est nul pour x < 0 et x > a, et égal à une constante V₀ pour 0 < x < a. La représentation graphique montrerait V(x)=0 pour x<0, une montée à V₀ à x=0, un plateau à V₀ jusqu'à x=a, puis une redescente à 0 à x=a et au-delà.
2. Équation de Schrödinger
Écrire l'équation de Schrödinger pour les trois régions de l'espace.
À l'état stationnaire, l'équation de Schrödinger est Hψ(x) = Eψ(x), où H = -ℏ²/ (2m) d²/dx² + V(x).
Donc : -ℏ²/ (2m) d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)
Ce qui peut être réécrit comme : d²ψ(x)/dx² + (2m/ℏ²) (E - V(x))ψ(x) = 0
Dans la région I : x < 0 (V(x) = 0)
d²ψ₁(x)/dx² + (2mE/ℏ²) ψ₁(x) = 0
On pose k₁² = 2mE/ℏ². Donc, d²ψ₁(x)/dx² + k₁² ψ₁(x) = 0.
Dans la région II : 0 < x < a (V(x) = V₀)
d²ψ₂(x)/dx² + (2m/ℏ²) (E - V₀) ψ₂(x) = 0
On pose k₂² = 2m(E - V₀)/ℏ². Donc, d²ψ₂(x)/dx² + k₂² ψ₂(x) = 0.
Dans la région III : x > a (V(x) = 0)
d²ψ₃(x)/dx² + (2mE/ℏ²) ψ₃(x) = 0
On pose k₃² = 2mE/ℏ². Donc, d²ψ₃(x)/dx² + k₃² ψ₃(x) = 0. (Note : k₃ = k₁)
3. Expressions des amplitudes des ondes transmises et réfléchies
Utiliser les conditions de continuité, exprimer les amplitudes des ondes transmises et réfléchies.
Les solutions générales de ces équations sont des ondes planes :
- Région I (x < 0) : ψ₁(x) = A₁ exp(ik₁x) + B₁ exp(-ik₁x) (onde incidente + onde réfléchie)
- Région II (0 < x < a) : ψ₂(x) = A₂ exp(ik₂x) + B₂ exp(-ik₂x) (ondes se propageant dans la barrière)
- Région III (x > a) : ψ₃(x) = A₃ exp(ik₃x) + B₃ exp(-ik₃x) (onde transmise + onde incidente venant de l'infini droit)
Puisqu'il n'y a pas d'onde incidente venant de l'infini droit dans la région III, nous posons B₃ = 0. L'onde transmise est donc ψ₃(x) = A₃ exp(ik₃x).
Conditions de continuité en x = 0 :
La fonction d'onde doit être continue : ψ₁(0) = ψ₂(0) ⇒ A₁ + B₁ = A₂ + B₂
Sa dérivée doit être continue : dψ₁(x)/dx |_(x=0) = dψ₂(x)/dx |_(x=0) ⇒ ik₁(A₁ - B₁) = ik₂(A₂ - B₂)
Ces deux équations permettent de relier (A₁, B₁) à (A₂, B₂).
Conditions de continuité en x = a :
La fonction d'onde doit être continue : ψ₂(a) = ψ₃(a) ⇒ A₂ exp(ik₂a) + B₂ exp(-ik₂a) = A₃ exp(ik₃a)
Sa dérivée doit être continue : dψ₂(x)/dx |_(x=a) = dψ₃(x)/dx |_(x=a) ⇒ ik₂(A₂ exp(ik₂a) - B₂ exp(-ik₂a)) = ik₃ A₃ exp(ik₃a)
Ces deux dernières équations permettent de relier (A₂, B₂) à A₃. En résolvant le système d'équations, on peut exprimer B₁ (amplitude réfléchie) et A₃ (amplitude transmise) en fonction de A₁ (amplitude incidente).
Les calculs mènent à des expressions complexes pour A₁ et B₁ en fonction de A₃. Le résultat final est généralement utilisé pour les coefficients de transmission et de réflexion.
4. Coefficients de transmission et de réflexion
En déduire les coefficients de transmission et de réflexion.
Le coefficient de réflexion R est la probabilité que la particule soit réfléchie par la barrière. Il est donné par R = |B₁|² / |A₁|².
Le coefficient de transmission T est la probabilité que la particule traverse la barrière. Il est donné par T = (k₃/k₁) |A₃|² / |A₁|².
Dans le cas où k₁ = k₃ (ce qui est le cas ici puisque V(x)=0 des deux côtés de la barrière), T = |A₃|² / |A₁|².
Après résolution des équations de continuité, les coefficients sont :
R = [ (k₁² - k₂²)² sin²(k₂a) ] / [ 4k₁²k₂² + (k₁² - k₂²)² sin²(k₂a) ]
T = [ 4k₁²k₂² ] / [ 4k₁²k₂² + (k₁² - k₂²)² sin²(k₂a) ]
Il est important de noter que la somme des coefficients de transmission et de réflexion est égale à 1 (R + T = 1), ce qui traduit la conservation de la probabilité.
Exercice n° 3 : Puits de Potentiel Infini
Une particule de masse m est confinée dans le puits infini décrit sur la figure ci-contre. (Le puits est de largeur 2b, allant de -b à b, avec V(x)=0 pour -b < x < b et V(x)=∞ ailleurs).
1. Équation de Schrödinger dans les différentes régions
Écrire l'équation de Schrödinger dans les différentes régions de l'espace.
Le potentiel V(x) est défini comme :
- V(x) = ∞ pour x < -b (Région I)
- V(x) = 0 pour -b < x < b (Région II)
- V(x) = ∞ pour x > b (Région III)
Régions I et III (x < -b et x > b) :
Dans ces régions, V(x) = ∞. Pour que l'énergie E de la particule reste finie, la fonction d'onde ψ(x) doit être nulle. C'est-à-dire, ψ₁(x) = 0 et ψ₃(x) = 0.
Région II (-b < x < b) :
Dans cette région, V(x) = 0. L'équation de Schrödinger stationnaire est :
-ℏ²/ (2m) d²ψ₂(x)/dx² = Eψ₂(x)
d²ψ₂(x)/dx² + (2mE/ℏ²) ψ₂(x) = 0
On pose k² = 2mE/ℏ². Donc, d²ψ₂(x)/dx² + k² ψ₂(x) = 0.
2. Expressions de l'énergie et de la fonction d'onde
Déterminer les expressions de l'énergie et de la fonction d'onde correspondant à chaque état.
La solution générale de l'équation différentielle pour la Région II est :
ψ₂(x) = A cos(kx) + B sin(kx)
Nous appliquons les conditions aux limites (continuité de la fonction d'onde) :
- ψ₂(-b) = 0 (car ψ₁(x) = 0)
- ψ₂(b) = 0 (car ψ₃(x) = 0)
De ψ₂(-b) = 0 : A cos(-kb) + B sin(-kb) = 0 ⇒ A cos(kb) - B sin(kb) = 0
De ψ₂(b) = 0 : A cos(kb) + B sin(kb) = 0
En additionnant ces deux équations : 2A cos(kb) = 0
En soustrayant ces deux équations : 2B sin(kb) = 0
Deux familles de solutions sont possibles pour avoir des solutions non triviales (A ≠ 0 ou B ≠ 0) :
Cas 1 : Solutions impaires (A = 0)
Si A = 0, alors B sin(kb) = 0. Pour B ≠ 0, il faut que sin(kb) = 0.
Ceci implique kb = nπ, où n = 1, 2, 3, ... (n=0 donnerait ψ=0).
Donc, k_n = nπ/b. Les fonctions d'onde impaires sont ψ_n(x) = B sin(nπx/b).
Cas 2 : Solutions paires (B = 0)
Si B = 0, alors A cos(kb) = 0. Pour A ≠ 0, il faut que cos(kb) = 0.
Ceci implique kb = (n + ½)π, où n = 0, 1, 2, ... ou de manière équivalente kb = (2n+1)π/2, n = 0, 1, 2...
Donc, k_n = (2n+1)π/(2b). Les fonctions d'onde paires sont ψ_n(x) = A cos((2n+1)πx/(2b)).
De manière générale, pour un puits de largeur L=2b centré en x=0, les valeurs de k sont quantifiées par k_n = nπ / (2b), avec n = 1, 2, 3, ...
L'énergie est quantifiée et est donnée par E = ℏ²k² / (2m).
En utilisant k_n = nπ / (2b) :
E_n = ℏ²(nπ/(2b))² / (2m) = n²π²ℏ² / (8mb²).
Les expressions des fonctions d'onde normalisées (après calcul de normalisation) sont :
- Pour n impair : ψ_n(x) = (1/√b) cos(nπx/(2b))
- Pour n pair : ψ_n(x) = (1/√b) sin(nπx/(2b))
où n est un entier positif (n ∈ ℕ*).
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes en mécanique quantique ?
Un paquet d'ondes est une superposition de plusieurs ondes planes avec des fréquences et des nombres d'ondes légèrement différents. Il représente une particule en mécanique quantique, car il est localisé dans l'espace (contrairement à une onde plane infinie) et permet de décrire le mouvement de la particule.
Quelle est la différence entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe ?
La vitesse de phase (Vφ = ω/k) est la vitesse à laquelle les crêtes d'une seule onde monochromatique se déplacent. La vitesse de groupe (Vg = dω/dk) est la vitesse à laquelle l'enveloppe du paquet d'ondes (c'est-à-dire la région où la probabilité de trouver la particule est maximale) se propage. La vitesse de groupe est identifiée à la vitesse de la particule elle-même.
Pourquoi l'énergie d'une particule est-elle quantifiée dans un puits de potentiel infini ?
Dans un puits de potentiel infini, la particule est confinée et ne peut s'échapper. Les conditions aux limites imposent que la fonction d'onde soit nulle aux parois du puits. Ces conditions ne peuvent être satisfaites que pour certaines valeurs discrètes des nombres d'ondes, et par conséquent, pour des niveaux d'énergie discrets. C'est ce qu'on appelle la quantification de l'énergie.