Série n°2 : les paquets d’onde -Mécanique quantique - Téléch
Télécharger PDFCe document présente une série d'exercices de mécanique quantique axés sur l'étude des paquets d'ondes. Ces exercices visent à renforcer la compréhension de la superposition d'ondes, de la relation de dispersion et de l'étalement des paquets d'ondes pour des particules quantiques libres.
Exercice n°1 : Superposition de trois ondes (paquet d'ondes)
On associe à une particule se déplaçant suivant l'axe Ox, un paquet d'ondes planes d'amplitude F(k). Chacune de ces ondes s'écrit :
ψn(x,t) = F(kn) exp[i(knx - ωnt)]
On s'intéresse à trois ondes particulières du paquet d'ondes, avec les vecteurs d'ondes : k0, k0 - Δk/2, k0 + Δk/2.
L'onde de vecteur d'onde k0 est d'amplitude F(k0), et les deux autres ondes sont d'amplitudes F(k0)/2.
- Déterminer la fonction d'onde ψ(x,t) somme des trois ondes précédentes.
- Calculer la position du maximum de ψ(x,t). En déduire la vitesse de propagation de ce maximum vg lorsque Δk devient très petit.
Clarification :
Un paquet d'ondes résulte de la superposition cohérente de plusieurs ondes planes. Il permet de localiser une particule quantique dans l'espace. Le concept de vitesse de groupe est crucial pour décrire la propagation de cette localisation.
Exercice n°2 : Étalement du paquet d'ondes
On considère une particule quantique libre de masse m.
- Retrouver la relation de dispersion correspondante (relation entre la pulsation ω et le vecteur d'onde k pour une particule libre).
- On considère que l'état de la particule quantique est représenté par un paquet d'ondes formé d'ondes planes progressives, dont les vecteurs d'ondes sont distribués autour d'une valeur moyenne k0 avec une dispersion Δk. Cette dispersion détermine l'extension spatiale initiale Δx0 du paquet d'ondes à l'instant t=0. La pulsation moyenne correspondant à k0 est notée ω0.
- Rappeler la définition de la vitesse de groupe (vg0), et déterminer son expression.
- Montrer, en utilisant la relation de dispersion, qu'à la largeur Δk correspond une dispersion de la vitesse de groupe Δvg, autour de la valeur moyenne (vg0). Exprimer Δvg en fonction de ħ (constante de Planck réduite), m et Δx0.
- En déduire la largeur du paquet d'ondes Δx(t) après un déplacement d'une durée t depuis l'origine. Déterminer l'instant t0 pour lequel la largeur du paquet d'ondes a doublé.
- Application numérique : Calculer t0 pour :
- Un électron, de masse m = 10-30 Kg, initialement confiné dans un atome Δx0 = 10-10 m.
- Une gouttelette d'eau, de rayon égal à 10 µm et de masse m = 4 x 10-12 Kg.
Commenter les valeurs numériques obtenues, en soulignant l'impact de la masse sur l'étalement du paquet d'ondes.
Explication :
L'étalement du paquet d'ondes est un phénomène fondamental en mécanique quantique, directement lié au principe d'incertitude. Il signifie qu'une particule quantique, même si elle est initialement bien localisée, verra sa position devenir de plus en plus incertaine au fil du temps si elle n'est soumise à aucun potentiel.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes en physique quantique ?
Un paquet d'ondes est une superposition de plusieurs ondes planes ayant des fréquences et des vecteurs d'ondes légèrement différents. Cette superposition crée une enveloppe localisée qui se propage, représentant la probabilité de trouver une particule quantique dans une région spécifique de l'espace.
Quelle est la différence entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe ?
La vitesse de phase est la vitesse à laquelle se propagent les crêtes individuelles d'une onde plane. La vitesse de groupe, quant à elle, est la vitesse à laquelle se propage l'enveloppe du paquet d'ondes, c'est-à-dire la vitesse de l'information ou de la particule. Pour une particule quantique libre, la vitesse de groupe correspond à la vitesse classique de la particule.
Pourquoi les paquets d'ondes s'étalent-ils au cours du temps ?
Les paquets d'ondes s'étalent en raison de la relation de dispersion non linéaire entre la pulsation (énergie) et le vecteur d'onde (impulsion) des ondes constitutives. Cela signifie que les différentes composantes monochromatiques du paquet se propagent à des vitesses légèrement différentes. Avec le temps, ces composantes se désynchronisent, ce qui entraîne un élargissement progressif du paquet d'ondes dans l'espace, rendant la localisation de la particule moins précise.