Td corrigés mécanique quantique -Mécanique quantique

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Introduction à la Mécanique Quantique : Exercices Résolus

Ces exercices abordent les principes fondamentaux du modèle de l'atome de Bohr et de la mécanique quantique. Ils incluent le calcul des forces, des énergies, des rayons d'orbites et l'analyse des fonctions d'onde pour des systèmes atomiques simples.

Constantes physiques

Constante de Planck (h) : 6,626 x 10^-34 J·s
Masse de l'électron (m) : 9,109 x 10^-31 kg
Charge élémentaire (e) : 1,602 x 10^-19 C
Permittivité diélectrique du vide (ε₀) : 8,854 x 10^-12 F/m
Rayon de Bohr (a₀) : 0,529 x 10^-10 m
Équivalence énergétique : 1 eV = 1,602 x 10^-19 J
Constante de Planck réduite (ℏ) : h / (2π)

Exercice n° 1 : Modèle de l'atome

On considère un modèle d'atome composé d'un noyau ponctuel de masse M et de charge positive Ze, autour duquel gravite un électron de masse m et de charge -e. On admet que le noyau est fixe, tandis que l'électron décrit une orbite circulaire de centre N et de rayon r.

Questions de l'Exercice 1

Donner l'expression de la force de Coulomb que subit l'électron.
Donner l'expression de la force centripète due au mouvement de l'électron sur une orbite circulaire.
Écrire l'équation d'équilibre de ce mouvement selon la mécanique classique.
Établir les expressions de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de l'électron en fonction de Z, e, r et de la permittivité électrique du vide ε₀.
Déduire l'expression de l'énergie totale E du système noyau-électron.
Pour interpréter le spectre de raies de la série de Balmer, Bohr introduit la condition de quantification du moment cinétique de l'électron L = nℏ. Quelles sont les vitesses possibles de l'électron ?
Déduire alors les rayons r_n des orbites possibles.
Calculer alors la valeur a₀ du rayon de la 1^ère orbite de l'atome d'hydrogène.
Établir l'expression des énergies E_n permises et retrouver ainsi la série de Balmer.
Quelles sont les énergies d'ionisation de l'atome d'hydrogène et de l'hélium ionisé He⁺ (Z=2) et du lithium ionisé Li⁺⁺ (Z=3) ?

Solutions de l'Exercice 1

Solution de l'Exercice 1 - Question 1 : Force de Coulomb

La force de Coulomb entre le noyau de charge Ze et l'électron de charge -e est :

F_c = (1 / (4πε₀)) * (Z e² / r²)

Solution de l'Exercice 1 - Question 2 : Force centripète

La force centripète nécessaire au mouvement circulaire de l'électron est :

F_cp = m v² / r

Solution de l'Exercice 1 - Question 3 : Équation d'équilibre

À l'équilibre, la force de Coulomb est égale à la force centripète :

F_c = F_cp

(1 / (4πε₀)) * (Z e² / r²) = m v² / r

Solution de l'Exercice 1 - Question 4 : Énergie cinétique et potentielle

L'énergie potentielle électrostatique est :

E_p = - (1 / (4πε₀)) * (Z e² / r)

L'énergie cinétique est :

E_c = (1/2) m v²

En utilisant l'équation d'équilibre (m v² = (1 / (4πε₀)) * (Z e² / r)), on obtient :

E_c = (1/2) * (1 / (4πε₀)) * (Z e² / r)

Solution de l'Exercice 1 - Question 5 : Énergie totale du système

L'énergie totale E est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :

E = E_c + E_p

E = (1/2) * (1 / (4πε₀)) * (Z e² / r) - (1 / (4πε₀)) * (Z e² / r)

E = - (1/2) * (1 / (4πε₀)) * (Z e² / r)

Solution de l'Exercice 1 - Question 6 : Vitesses possibles de l'électron (Modèle de Bohr)

Selon le modèle de Bohr, le moment cinétique est quantifié : L = m v_n r_n = nℏ

De l'équation d'équilibre classique et de la quantification du moment cinétique, on déduit la vitesse possible de l'électron :

v_n = (Z e²) / (2 ε₀ n h)

Solution de l'Exercice 1 - Question 7 : Rayons des orbites possibles

En combinant l'expression de v_n avec la quantification du moment cinétique, on trouve les rayons des orbites possibles :

r_n = (ε₀ h² n²) / (π m Z e²)

Solution de l'Exercice 1 - Question 8 : Calcul du rayon de Bohr (a₀)

Pour l'atome d'hydrogène (Z=1) sur la 1^ère orbite (n=1), le rayon est le rayon de Bohr, a₀ :

a₀ = (ε₀ h²) / (π m e²)

En utilisant les constantes physiques :

a₀ ≈ 0,529 × 10^-10 m

Solution de l'Exercice 1 - Question 9 : Énergies permises et série de Balmer

En remplaçant r dans l'expression de l'énergie totale par r_n, on obtient les énergies E_n permises :

E_n = - (m Z² e⁴) / (8 ε₀² h² n²)

La série de Balmer décrit les transitions électroniques où l'électron retourne au niveau d'énergie p = 2 (n > 2). L'énergie d'un photon émis lors d'une transition du niveau n au niveau p est ΔE = E_n - E_p = hν = hc/λ.

Le nombre d'onde (1/λ) est donné par la formule de Rydberg :

1/λ = R_∞ Z² (1/p² - 1/n²)

où R_∞ est la constante de Rydberg. Pour la série de Balmer, p=2 et Z=1 (pour l'hydrogène).

Solution de l'Exercice 1 - Question 10 : Énergies d'ionisation

L'énergie d'ionisation est l'énergie requise pour arracher un électron de l'atome, le faisant passer du niveau fondamental (n=1) à l'infini (E=0). Elle correspond à l'opposé de l'énergie du niveau fondamental.

E_ionisation = -E₁ = (m Z² e⁴) / (8 ε₀² h²)

Pour l'atome d'hydrogène (Z=1) : E_ionisation ≈ 13,6 eV.

Pour He⁺ (Z=2) : E_ionisation = 13,6 × 2² = 54,4 eV.
Pour Li⁺⁺ (Z=3) : E_ionisation = 13,6 × 3² = 122,4 eV.

Exercice n° 2 : Modèle de Bohr et fonction d'onde

Dans le modèle de l'atome de Bohr, un électron tourne autour du proton selon une trajectoire circulaire de rayon a₀ = 0,529 × 10^-10 m.

Questions de l'Exercice 2

Exprimer les vitesses possibles de l'électron en fonction de h, e, Z, n et ε₀.
Calculer la vitesse de l'électron pour le niveau fondamental.
Exprimer la longueur d'onde associée à l'électron du modèle de Bohr en fonction de h, m, e, Z, n et ε₀.
Calculer la longueur d'onde de l'électron pour le niveau fondamental.
Dans l'état fondamental (n=1) de l'atome d'hydrogène, la fonction d'onde est de la forme ψ(r) = C e^-r/a₀. Déterminer :
- a. La constante C
- b. La valeur moyenne de la distance noyau-électron
- c. La valeur moyenne de l'énergie potentielle V(r)

Solutions de l'Exercice 2

Solution de l'Exercice 2 - Question 1 : Vitesses possibles de l'électron

D'après l'exercice n°1, la vitesse de l'électron sur l'orbite n est :

v_n = (Z e²) / (2 ε₀ n h)

Solution de l'Exercice 2 - Question 2 : Vitesse au niveau fondamental

Pour le niveau fondamental de l'hydrogène (n=1, Z=1) :

v₁ = (e²) / (2 ε₀ h)

v₁ ≈ (1,602 × 10^-19)² / (2 × 8,854 × 10^-12 × 6,626 × 10^-34)

v₁ ≈ 2,187 × 10⁶ m/s

Solution de l'Exercice 2 - Question 3 : Longueur d'onde de De Broglie

La longueur d'onde de De Broglie est λ = h / (m v). En remplaçant v par v_n :

λ_n = h / (m v_n) = h / (m * (Z e²) / (2 ε₀ n h))

λ_n = (2 ε₀ n h²) / (m Z e²)

Solution de l'Exercice 2 - Question 4 : Longueur d'onde au niveau fondamental

Pour le niveau fondamental de l'hydrogène (n=1, Z=1) :

λ₁ = (2 ε₀ h²) / (m e²)

λ₁ ≈ (2 × 8,854 × 10^-12 × (6,626 × 10^-34)²) / (9,109 × 10^-31 × (1,602 × 10^-19)²)

λ₁ ≈ 3,32 × 10^-10 m (ou 3,32 Å)

Solution de l'Exercice 2 - Question 5 : Analyse de la fonction d'onde de l'hydrogène (état fondamental)

L'intégrale utile pour ces calculs est : ∫₀^∞ xⁿ e^-px dx = n! / pⁿ⁺¹

a. La constante C

La fonction d'onde doit être normalisée, ce qui signifie que la probabilité totale de trouver l'électron dans tout l'espace est de 1 :

∫₀^∞ |ψ(r)|² dV = 1

Avec dV = 4πr² dr pour une symétrie sphérique.

4π ∫₀^∞ C² e^-2r/a₀ r² dr = 1

4π C² × (2! / (2/a₀)³) = 1

4π C² × (2 / (8/a₀³)) = 1

4π C² × (a₀³ / 4) = 1

π C² a₀³ = 1

Donc, C = 1 / √(π a₀³)

b. La valeur moyenne de la distance noyau-électron (<r>)

<r> = ∫₀^∞ r |ψ(r)|² dV = 4π C² ∫₀^∞ r³ e^-2r/a₀ dr

<r> = 4π (1 / (π a₀³)) × (3! / (2/a₀)⁴)

<r> = (4 / a₀³) × (6 / (16/a₀⁴))

<r> = (4 / a₀³) × (6 a₀⁴ / 16)

<r> = (24 a₀ / 16) = 3 a₀ / 2

c. La valeur moyenne de l'énergie potentielle V(r) (<V(r)>)

L'énergie potentielle pour l'atome d'hydrogène (Z=1) est V(r) = - e² / (4πε₀ r).

<V(r)> = ∫₀^∞ ψ*(r) V(r) ψ(r) dV = 4π C² ∫₀^∞ (- e² / (4πε₀ r)) e^-2r/a₀ r² dr

<V(r)> = - (C² e² / ε₀) ∫₀^∞ r e^-2r/a₀ dr

<V(r)> = - (C² e² / ε₀) × (1! / (2/a₀)²)

<V(r)> = - (1 / (π a₀³)) × (e² / ε₀) × (a₀² / 4)

<V(r)> = - e² / (4πε₀ a₀)

Sachant que l'énergie totale de l'état fondamental de l'hydrogène est E₁ = - e² / (8πε₀ a₀), on peut voir que <V(r)> = 2 E₁.

Foire aux questions (FAQ)

Qu'est-ce que le modèle de Bohr ?: Le modèle de Bohr est une théorie semi-classique de l'atome qui postule que les électrons gravitent autour du noyau sur des orbites stables et quantifiées, ne rayonnant de l'énergie que lors des transitions entre ces orbites. Il a été introduit pour expliquer la stabilité des atomes et le spectre discret de la lumière émise et absorbée.
Pourquoi le moment cinétique est-il quantifié dans le modèle de Bohr ?: La quantification du moment cinétique (L = nℏ) a été introduite par Bohr comme une condition ad hoc pour expliquer les spectres atomiques discrets et la stabilité des orbites. Cela signifie que l'électron ne peut posséder que certaines valeurs discrètes de moment cinétique, et par extension, seulement certaines orbites et énergies sont permises.
Quelle est la signification de la fonction d'onde ψ(r) ?: Dans la mécanique quantique, la fonction d'onde ψ(r) (ou ψ(r,t)) ne représente pas une trajectoire physique mais décrit l'état quantique d'une particule, comme un électron. Le carré de sa valeur absolue, |ψ(r)|², donne la densité de probabilité de trouver la particule à une position donnée dans l'espace. Elle contient toute l'information mesurable sur le système.