Td 1 mécanique quantique -Mécanique quantique

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TD 1: Mécanique Quantique

Données générales pour les exercices de mécanique quantique :

Charge élémentaire (e) = 1,6 × 10^-19 C
Constante de Planck (h) = 6,626 × 10^-34 J.s
Masse de l'électron (m_e) = 9,1 × 10^-31 kg
Célérité de la lumière dans le vide (c) = 3 × 10⁸ m/s
Énergie (1 eV) = 1,6 × 10^-19 J
Constante de Boltzmann (k_B) = 1,38 × 10^-23 J/K

Exercice 1 : Longueur d'onde de De Broglie

Calculer la longueur d'onde associée aux particules suivantes et préciser leur comportement (ondulatoire ou corpusculaire) :

Un grain de poussière de masse m = 10^-10 kg, de diamètre 1 µm et de vitesse 1 mm/s.
Le même grain mais avec une vitesse de 0,9c où c = 3 × 10⁸ m/s est la vitesse de la lumière dans le vide.
Un électron soumis à une tension de 10 V.
Un être humain de masse m = 70 kg de vitesse 5 km/s.

Explication : La dualité onde-corpuscule, introduite par Louis de Broglie, stipule que toute particule en mouvement possède une longueur d'onde associée, donnée par la relation λ = h/p, où h est la constante de Planck et p est la quantité de mouvement de la particule.

Exercice 2 : Rayonnement du corps noir et lois fondamentales

Selon Planck, la puissance par unité de surface rayonnée par un corps noir à la température T dans l'intervalle de fréquence compris entre ν et ν + dν est :

dI = p(ν,T)dν = (2πh / c²) ν³ / (e^(hν/k_BT) − 1) dν

Calculer la valeur du coefficient σ de la loi de Stefan sachant que p(T) = ∫ p(ν,T)dν = σT⁴.
Établir l'expression de la fonction p(λ,T) à l'aide de la longueur d'onde λ et calculer son maximum.
Quelle est la longueur d'onde du maximum du rayonnement du corps d'un homme (T = 37°C) ?
Calculer la température à la surface du Soleil, sachant que son pic du rayonnement est situé à 0,5 µm environ.
Montrer que la connaissance de λ_m et σ permet de déterminer les constantes universelles k_B et h.

On donne : ∫₀^∞ (e^x - 1)^-1 x³ dx = π⁴/15 et une valeur de x ≈ 4,965 pour la loi de Wien.

Explication : L'étude du rayonnement du corps noir a été fondamentale pour le développement de la mécanique quantique. Elle a conduit à la loi de Planck, la loi de Stefan-Boltzmann (liant la puissance totale rayonnée à la température) et la loi de Wien (précisant la longueur d'onde du pic d'émission).

Exercice 3 : Effet photoélectrique

Une cellule photoélectrique possède une cathode en cuivre, dont le travail d'extraction W_e est égal à 4,7 eV. On envoie sur cette cellule un flux de photons monochromatiques de longueur d'onde λ = 230 nm.

Pour la lumière utilisée, l'effet photoélectrique peut-il avoir lieu ? Justifiez votre réponse.
Calculer l'énergie cinétique des électrons au moment de leur émission.
Quelle est la longueur d'onde maximale λ_max pour que ces photons puissent extraire des électrons de la cathode par effet photoélectrique ?
On collecte les électrons émis en appliquant entre l'anode et la cathode une différence de potentiel U. Donner la définition du potentiel d'arrêt U_p et calculer sa valeur.
On fixe U à 10 Volts. Calculer l'énergie cinétique des électrons lors de leur arrivée sur l'anode.

Explication : L'effet photoélectrique, expliqué par Einstein, met en évidence la nature corpusculaire de la lumière. Il se produit lorsque des photons d'énergie suffisante (supérieure au travail d'extraction du matériau) arrachent des électrons d'une surface métallique.

Exercice 4 : Effet photoélectrique (suite)

On envoie sur une plaque métallique deux radiations électromagnétiques de longueurs d'ondes respectivement égales à λ₁ = 2537 Å et λ₂ = 5890 Å. On constate que l'énergie maximale des photoélectrons éjectés dans chaque cas a pour valeur :

Pour λ₁, E_c1 = 3,14 eV
Pour λ₂, E_c2 = 0,36 eV

Retrouver la valeur de la constante de Planck h. Exprimer h en MeV.s (avec c = 3 × 10⁸ m/s).
Calculer l'énergie d'extraction minimale W₀ des électrons.
Déduire la valeur de la longueur d'onde maximale qui permet de produire l'effet photoélectrique.

Exercice 5 : Effet Compton

En 1923, Arthur H. Compton (1892-1962) découvre que lorsqu'un photon diffuse sur un électron, la longueur d'onde du photon diffusé est modifiée, et que ce changement de longueur d'onde Δλ dépend de l'angle de diffusion θ. Ce phénomène ne peut être compris que dans le cadre relativiste ; la découverte de l'effet Compton établit définitivement l'idée de dualité onde-corpuscule pour le photon.

On considère la collision d'un photon d'énergie E = hν₀ avec un électron libre au repos :

Illustration schématique : Photon incident sur un électron au repos avant le choc, et photon diffusé avec un électron après le choc, présentant un angle de diffusion.

Écrire les équations de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement dans le référentiel du laboratoire.
Exprimer le décalage de longueur d'onde Δλ = λ' - λ du photon diffusé en fonction de l'angle de diffusion θ.
Expérimentalement, A. H. Compton trouve qu'à 90° la longueur d'onde de la raie Kα (λ = 0,0708 nm) du Molybdène est mesurée à λ' = 0,0730 nm. Donner une estimation de la masse de l'électron.

Explication : L'effet Compton est une preuve directe de la nature particulaire de la lumière. Il montre que les photons, en tant que corpuscules, peuvent transférer de l'énergie et de l'impulsion à d'autres particules, entraînant un changement de leur longueur d'onde.

TD 2: Mécanique Quantique

Exercice 1 : Fonction d'onde et probabilité

La fonction d'onde d'une particule ponctuelle est donnée par :

ψ(x) = C e^-x (1 - e^-x) pour x ≥ 0

et ψ(x) = 0 pour x < 0

Où C est une constante.

Déterminer la valeur de C qui permet de normaliser ψ(x).
Donner la valeur de la position de la particule où la densité de probabilité de présence est maximale.
Quelle est la valeur moyenne de la position de la particule ⟨x⟩ ?

Explication : La fonction d'onde ψ(x) contient toutes les informations sur l'état quantique d'une particule. Sa normalisation assure que la probabilité totale de trouver la particule dans l'espace est de 1. La densité de probabilité est |ψ(x)|², et la valeur moyenne ⟨x⟩ représente la position la plus probable de la particule.

Exercice 2 : Quantification d'énergie dans un puits de potentiel infini

Soit une particule quantique de masse m se déplaçant sur un axe (Ox) avec une énergie E = ħω (où ħ est la constante de Planck réduite) piégée dans l'intervalle [-L/2, L/2] par un potentiel V(x) défini par :

V(x) = 0 pour -L/2 < x < L/2
V(x) = +∞ pour x = -L/2 et x = L/2.

Écrire l'équation de Schrödinger dépendante du temps vérifiée par ψ(x, t). Quelle est la valeur de ψ(x, t) à l'extérieur de [-L/2, L/2] ?
L'énergie de la particule ne dépend pas du temps.
1. Déterminer k pour que ψ(x) = A e^ikx + B e^-ikx soit une solution de cette équation.
2. Écrire les conditions aux limites vérifiées par ψ(x) et montrer que E_n = n²h² / (8mL²). L'énergie est-elle quantifiée ? Pourquoi ?
3. Montrer que B = -A(-1)ⁿ et en déduire l'expression des états normés pairs et impairs. Prouver que n ∈ ℕ*.

Explication : Ce problème décrit une particule dans un puits de potentiel infini, un modèle fondamental en mécanique quantique. Il illustre la quantification de l'énergie, où seules certaines valeurs d'énergie sont permises pour la particule confinée. L'équation de Schrödinger est la base de cette description.

Exercice 3 : Évolution d'un paquet d'ondes Gaussien

On considère une particule libre de masse m que l'on décrit par un paquet d'ondes (à une dimension) défini par :

ψ(x, t) = (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) e^{i(kx - ω(k)t)} dk

Montrer que ψ(x, t) est solution de l'équation de Schrödinger.
On suppose que g(k) est une gaussienne centrée sur k₀, et soit :
g(k) = A exp[-a²(k - k₀)² / 4] avec A une constante de normalisation et α est homogène à une distance.
1. Montrer que la probabilité de présence de la particule est indépendante du temps.
2. En utilisant la forme ci-dessus de g(k), on obtient après intégration, l'expression suivante pour ψ(x,t) (à un facteur de phase près) :
  ψ(x,t) = (1 / √(π α(t))) exp[-(p(x,t)² / (2α(t)²))]
  
  Avec α(t) = √(α² + (4ħ²t²) / m²)
  
  p(x,t) = x - (ħk₀t) / m
  
  et une fonction auxiliaire Z(t) = α² + i (ħt/m).
  1. Calculer la densité de probabilité.
  2. En déduire la vitesse du groupe V_g.
Retrouver V_g en considérant la relation de dispersion ω(k). Comparer V_g à la vitesse de phase V_φ et à la vitesse V de la particule. Conclure.

Explication : Un paquet d'ondes gaussien est une superposition d'ondes planes qui se déplace et se disperse. Il est utilisé pour représenter une particule localisée en mécanique quantique, permettant d'étudier les concepts de vitesse de phase et de vitesse de groupe.

Exercice 4 : Diagonalisation d'une matrice d'opérateur

Supposons que l'espace des états physiques accessibles soit de dimension 2. On considère alors un opérateur Ô dont la matrice représentative dans la base orthonormée {|u₁⟩, |u₂⟩} de cet espace s'écrit :

Ô = ((0, -i), (i, 0))

L'opérateur Ô est-il hermitique ?
Calculer les valeurs propres de Ô. Déterminer les vecteurs propres associés en fonction de |u₁⟩ et |u₂⟩.
L'opérateur peut-il être qualifié d'observable ?

Explication : En mécanique quantique, les observables (quantités mesurables) sont représentées par des opérateurs hermitiens. Leurs valeurs propres correspondent aux résultats possibles des mesures, et leurs vecteurs propres aux états dans lesquels le système se trouve après la mesure.

Exercice 5 : Espace d'Hilbert et Opérateurs de Projection

Soit l'espace des états physiques accessibles de dimension 2 muni de la base orthonormée prise dans l'ordre {|u₁⟩, |u₂⟩}, et soit un opérateur A représenté dans cette base par la matrice :

A = ((4, -i), (i, 4))

Cet opérateur est-il hermitique ? Est-ce une observable ? Justifier votre réponse.
Calculer les valeurs propres {a₁, a₂} et les vecteurs propres de A ({|v₁⟩, |v₂⟩}) (les vecteurs propres doivent être normés).
Calculer les opérateurs de projection sur les vecteurs kets |v₁⟩ et |v₂⟩, qu'on note respectivement par P₁ et P₂, dans la base {|u₁⟩, |u₂⟩}. Sachant que : P₁ = |v₁⟩⟨v₁| et P₂ = |v₂⟩⟨v₂|.
On suppose que l'état du système quantique est donné par le ket |ψ⟩ = |u₁⟩. Calculer les quantités définies par :
- P(a₁) = ⟨ψ|P₁|ψ⟩ : c'est la probabilité de trouver la valeur a₁ lors de la mesure de la grandeur physique associée à l'observable A du système pris dans l'état |ψ⟩ = |u₁⟩.
- P(a₂) = ⟨ψ|P₂|ψ⟩ : c'est la probabilité de trouver la valeur a₂ lors de la mesure de la grandeur physique associée à l'observable A du système pris dans l'état |ψ⟩ = |u₁⟩.
Que vaut P(a₁) + P(a₂) ?

Explication : L'espace d'Hilbert est l'espace vectoriel où résident les états quantiques. Les opérateurs de projection permettent de calculer la probabilité d'obtenir un résultat spécifique lors d'une mesure, en projetant l'état du système sur l'état propre correspondant à ce résultat.

TD 3: Mécanique Quantique

Exercice 1 : Système dans un état stationnaire et opérateurs

L'espace des états d'un système physique est à trois dimensions et soit {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩} une base orthonormée de cet espace. On définit un ket |φ⟩ par :

|φ⟩ = √2 |u₁⟩ + i|u₂⟩ + |u₃⟩

1. Montrer que |φ⟩ n'est pas normé à l'unité.
2. Définir, à partir de |φ⟩, un ket |ψ⟩ normé à l'unité.
Calculer dans la base {|u_i⟩} (i = 1,2,3), la matrice représentant l'opérateur projecteur P sur le ket |ψ⟩. P est-il hermitique ? Justifier.
On considère que les |u_i⟩ (i = 1,2,3) sont des vecteurs propres de l'hamiltonien H du système associés tous à la même valeur propre E. Déterminer l'état du système |ψ(t)⟩ à un instant t sachant qu'à t = 0, l'état du système est décrit par le ket |ψ⟩. Les kets |ψ(t)⟩ et |ψ⟩ sont-ils physiquement indiscernables ? Justifier votre réponse.

Explication : Un état stationnaire est un état dont la densité de probabilité ne change pas au cours du temps. La normalisation assure la cohérence des probabilités en mécanique quantique. Les opérateurs de projection sont essentiels pour comprendre les résultats des mesures.

Exercice 2 : Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (E.C.O.C)

On considère un système physique dont l'espace des états à trois dimensions est rapporté à la base orthonormée {|1⟩, |2⟩, |3⟩}. L'hamiltonien H du système est donné par :

H = ε ((1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2))

Où ε est une constante réelle positive.

Et un autre opérateur A est donné par :

A = α ((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0))

Où α est une constante réelle positive.

Déterminer les valeurs propres et les états propres associés à ces deux opérateurs.
Montrer que H et A forment un E.C.O.C.

Explication : Un E.C.O.C. est un ensemble d'observables qui commutent entre elles et dont les valeurs propres permettent d'identifier de manière unique tous les états du système. Cela signifie que l'on peut mesurer simultanément ces grandeurs physiques sans perturber leurs valeurs respectives.

Exercice 3 : Mesures quantiques et évolution temporelle

Soient {|ψ₁⟩, |ψ₂⟩, |ψ₃⟩} des kets propres orthonormés de l'Hamiltonien H d'un système quantique.

Le ket |ψ₁⟩ est associé à la valeur propre E₁, alors que |ψ₂⟩ et |ψ₃⟩ sont associés à la même valeur propre E₂, dégénérée 2 fois avec E₂ = 3E₁ = 6 eV.

À t = 0 le système est dans l'état : |ψ⟩ = 3|ψ₁⟩ - 2|ψ₂⟩ + |ψ₃⟩.

Un opérateur A est défini par : A|ψ₁⟩ = i|ψ₃⟩, A|ψ₂⟩ = |ψ₂⟩ et A|ψ₃⟩ = -i|ψ₁⟩.

Écrire les matrices associées aux opérateurs A et H et montrer qu'ils sont hermétiques.
Déterminer les valeurs et les vecteurs propres normés de A. Écrire les relations de fermeture vérifiées par les kets propres des opérateurs A et H. Exprimer les kets |ψ₁⟩, |ψ₂⟩ et |ψ₃⟩ en fonction des kets propres de A.
Si on mesure H ou si on mesure A, que peut-on trouver comme résultat et avec quelle probabilité ?
Calculer dans l'état |ψ⟩, les valeurs moyennes ⟨H⟩, ⟨A⟩, ⟨H²⟩ et ⟨A²⟩ et en déduire ΔH et ΔA (incertitudes).
Si on trouve E₁ comme résultat de mesure de l'énergie, quel sera l'état |ψ'⟩ du système juste après la mesure ? Si on mesure A juste après cette mesure, que peut-on trouver comme résultat et avec quelle probabilité ?

Explication : Les mesures en mécanique quantique sont probabilistes. Un système peut être dans une superposition d'états, et la mesure "force" le système à s'effondrer dans un des états propres de l'observable mesurée, avec une certaine probabilité.

Exercice 4 : Opérateur parité

On considère un système physique dont l'état quantique est décrit par le ket |ψ⟩ appartenant à l'espace des états E. On appelle opérateur parité, l'opérateur Π dont l'action sur les vecteurs de la base {|r⟩} est définie par : Π|r⟩ = |-r⟩ (où |-r⟩ ne doit pas être confondu avec -|r⟩).

Calculer l'élément de matrice ⟨r|Π|r'⟩, en déduire que ⟨r|Π|ψ⟩ = ψ(-r).
Montrer que :
1. Π² est l'opérateur identité.
2. Π est hermitique et unitaire.
Déterminer les valeurs propres de Π et montrer que les kets propres |ψ⟩ associés à ces valeurs propres correspondent à des fonctions paires (notées ψ₊(r)) ou impaires (notées ψ_-(r)).
Un opérateur A est dit pair s'il coïncide avec son transformé A' par parité où A' est défini par : A' = ΠAΠ.
1. Montrer que A commute avec Π.
2. Déduire que les kets propres de A associés à des valeurs propres simples correspondent à des fonctions paires ou impaires.

NB : Un opérateur B est dit impair s'il anticommute avec Π, soit BΠ + ΠB = 0.

Explication : L'opérateur parité reflète l'état quantique par rapport à l'origine. Ses propriétés d'hermiticité et d'unitarité sont fondamentales. Les fonctions d'onde peuvent être classées comme paires ou impaires selon leur comportement sous cet opérateur.

FAQ sur la Mécanique Quantique

Qu'est-ce que la dualité onde-corpuscule ?

La dualité onde-corpuscule est un concept fondamental de la mécanique quantique qui stipule que les particules (comme les électrons) et le rayonnement électromagnétique (comme les photons) peuvent présenter à la fois des propriétés d'ondes et de particules, selon l'expérience menée. Par exemple, la lumière peut se comporter comme une onde lors de la diffraction, et comme un corpuscule lors de l'effet photoélectrique.

Comment l'effet photoélectrique démontre-t-il la nature quantique de la lumière ?

L'effet photoélectrique, expliqué par Albert Einstein, a montré que l'émission d'électrons par un matériau sous l'action de la lumière ne dépend pas de l'intensité de la lumière, mais de sa fréquence (ou de son énergie par photon). Cela a prouvé que la lumière est composée de "quanta" d'énergie discrets, appelés photons, et a été une preuve cruciale de la quantification de l'énergie lumineuse.

Quel est le rôle de l'équation de Schrödinger ?

L'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale de la mécanique quantique non-relativiste. Elle décrit comment l'état quantique d'un système physique (représenté par sa fonction d'onde) évolue dans le temps. Ses solutions (les fonctions d'onde) contiennent des informations sur les propriétés des particules, comme leur énergie, leur position et leur quantité de mouvement, et permettent de prédire les probabilités de mesure de ces grandeurs.