Série n°3 (3) -Analyse 1 - Télécharger pdf

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Université Hassan II de Casablanca

Faculté des Sciences et Techniques Mohammedia

Parcours MIP

Module M111: Analyse 1

Département de Mathématiques

Année 2020 - 2021

Série 3: Fonctions d'une variable réelle: Continuité et dérivabilité

Exercice 1

Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes:

a) lim_x→1 (|x|√(x²-2x+1)) / (x-1)

b) lim_x→0 (∛(x²+1) - 1)

c) lim_x→0+ (1 + x)ln(x)

d) lim_x→+∞ (1+x)^1/x

e) lim_x→0 (x tan x) / (cos²x - 1)

f) lim_x→0 (tan x - sin x) / sin³(x/2)

Exercice 2

Trouver les couples (a, b) ∈ ℝ² tels que la fonction f soit continue sur ℝ dans les cas suivants:

1) f(x) = { ax + b si x ≤ 0 ; 1 + x si x > 0 }

2) f(x) = { (sin(ax))/x si x < 0 ; 1 si x = 0 ; e^bx - x si x > 0 }

Exercice 3

Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur ℝ?

f(x) = 1/(1-x)

g(x) = -2 ln(|x|)

h(x) = (x²-1) / (1-x²)

k(x) = 1/x ln((e^x + e^-x) / 2)

Note: L'expression originale de cet exercice semblait mal formée. Les fonctions ont été interprétées pour clarifier l'énoncé.

Exercice 4

Soit f : [0, 1] → ℝ une fonction continue telle que f(0) = f(1). Montrer qu'il existe un réel c ∈ [0, 1/2] qui vérifie: f(c) = f(c + 1/2).

Indice: On peut considérer la fonction g(x) = f(x + 1/2) - f(x).

Exercice 5

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = -3x³ + 4x + 1. Montrer que l'équation f(x) = 1/2 admet exactement 3 solutions réelles.

Exercice 6

(Extrait du partiel 2015-2016)

1. Soit f la fonction définie sur [-2, 2] par: f(x) = e^x - x - 2. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement 2 solutions α₁ et α₂ telles que: -2 < α₁ < 0 < α₂ < 2.

2. Soit (u_n)_n∈ℕ la suite réelle définie par u₀ = 0, u_n+1 = e^u_n - 2, ∀n ∈ ℕ.

(a) Calculer u₁ et montrer que la suite (u_n)_n∈ℕ est décroissante.

(b) Montrer que ∀n ∈ ℕ, α₁ ≤ u_n ≤ 0. Que peut-on en déduire?

Exercice 7

Étudier la dérivabilité sur ℝ des fonctions suivantes:

f(x) = x|x|

g(x) = x / (1 + |x|)

h(x) = 1 / (1 + |x|)

Exercice 8

1. Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur ℝ?

f(x) = √x ln(x)

g(x) = (e^x - 1) / √x

h(x) = x² sin(1/x)

2. En cas d'existence du prolongement, étudier sa dérivabilité et s'il est de classe C¹ sur ℝ.

Exercice 9

Soient f, g : [a, b] → ℝ, continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que f(a) ≠ f(b) et g(a) ≠ g(b). Montrer qu'il existe c ∈ ]a, b[ tel que (f(a) − f(b)) / (g(a) − g(b)) = f'(c) / g'(c).

On peut considérer la fonction F définie sur [a, b] par F(x) = [f(a)−f(b)]g(x)−[g(a)−g(b)]f(x).

Exercice 10

Soit f : [a, b] → ℝ*₊ une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Montrer qu'il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b)/f(a) = exp( (f'(c)/f(c)) (b − a) ).

Exercice 11

En utilisant le théorème des accroissements finis, calculer la limite suivante:

lim_x→+∞ x² (e^1/(x+1) - e^1/x)

Exercice 12

1. Soit n ∈ ℕ*, par application du théorème des accroissements finis, à la fonction ln sur l'intervalle [n, n + 1], montrer que 1/(n + 1) < ln(n + 1) - ln(n) < 1/n.

2. Soit (u_n)_n∈ℕ* la suite de terme général: u_n = 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n). Montrer que la suite (u_n)_n∈ℕ* est convergente en déterminant sa limite.

Exercice 13

(Extrait du partiel 2014-2015)

On considère (u_n)_n∈ℕ la suite de nombres réels définie par u₀ ∈ [0, 1] et u_n+1 = e^u_n / (1 + e^u_n), ∀n ∈ ℕ.

1. On pose f(x) = e^x / (1 + e^x), pour tout x ∈ [0, 1].

(a) Calculer f'(x) puis montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a 0 < f'(x) ≤ e/4.

(b) En utilisant un théorème du cours, montrer que | f(x) - f(y) | ≤ (e/4)| x - y |, ∀x, y ∈ [0, 1].

2. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 0 ≤ u_n ≤ 1.

3. Montrer qu'il existe un α ∈ ℝ tel que α = e^α / (1 + e^α), puis que α ∈ ]0, 1[.

4. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, | u_n+1 - α | < (e/4)| u_n - α |.

5. En déduire que pour tout n ∈ ℕ, | u_n+1 - α | ≤ (e/4)ⁿ⁺¹ | u₀ - α |, puis que la suite (u_n)_n∈ℕ converge vers α.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une fonction prolongeable par continuité?

Une fonction est dite prolongeable par continuité en un point si elle n'est pas définie en ce point, mais que sa limite existe et est finie en ce point. On peut alors "prolonger" la fonction en définissant sa valeur en ce point égale à sa limite, rendant ainsi la nouvelle fonction continue.

Quand utilise-t-on le Théorème des Accroissements Finis (TAF)?

Le Théorème des Accroissements Finis, aussi appelé Théorème de la Valeur Moyenne, est utilisé pour relier la pente d'une sécante entre deux points d'une courbe à la pente de la tangente en un certain point intermédiaire. Il est très utile pour encadrer des fonctions, démontrer des inégalités ou étudier la convergence de suites, notamment quand une fonction est continue sur un intervalle fermé et dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant.

Que signifie qu'une fonction est de classe C¹ sur ℝ?

Une fonction est de classe C¹ sur un intervalle si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée première est elle-même continue sur cet intervalle. Cela implique une "douceur" de la courbe, sans angles vifs dans la dérivée. Les fonctions de classe C¹ sont courantes en analyse car leurs propriétés de régularité sont très utiles.