Série n°3 : evolution d’une particule quantique dans un pote

Télécharger PDF

Mécanique Quantique : Évolution d'une Particule dans un Potentiel

Cette page explore des concepts fondamentaux de la mécanique quantique, notamment l'étude du comportement de particules soumises à divers potentiels. Nous aborderons les niveaux d'énergie dans un puits de potentiel infiniment profond, le franchissement d'une barrière de potentiel et les états liés d'une particule.

Niveaux d'énergie d'une particule dans un puits de potentiel infiniment profond

Le puits de potentiel infiniment profond est un modèle simple mais puissant en mécanique quantique, décrivant une particule confinée dans une région de l'espace par des murs de potentiel infinis, l'empêchant de s'échapper. La largeur du puits est notée a.

Allure des fonctions d'onde propres

Pour les trois premiers niveaux d'énergie (n=1, n=2, n=3), les fonctions d'onde propres (ψ_n(x)) d'une particule quantique dans un puits de potentiel infiniment profond, de largeur a, présentent les allures suivantes :

n=1 (état fondamental) : La fonction d'onde a une seule "bosse" positive, ressemblant à une demi-sinusoïde, avec des nœuds (points où ψ(x)=0) aux bords du puits (x=0 et x=a).
n=2 (premier état excité) : La fonction d'onde a deux "bosses" de signes opposés, avec un nœud au centre du puits et aux bords (x=0, x=a/2, x=a).
n=3 (deuxième état excité) : La fonction d'onde a trois "bosses" alternées en signe, avec deux nœuds à l'intérieur du puits et aux bords (x=0, x=a/3, x=2a/3, x=a).

En général, le n-ième état présente (n-1) nœuds à l'intérieur du puits.

Longueurs d'onde de De Broglie et énergies associées

Pour chaque niveau d'énergie, la particule quantique possède une longueur d'onde de De Broglie (λ) liée à son impulsion. Les conditions aux limites du puits imposent que la fonction d'onde s'annule aux bords, ce qui conduit à des longueurs d'onde quantifiées :

Pour n=1, la longueur d'onde est λ₁ = 2a.
Pour n=2, la longueur d'onde est λ₂ = a.
Pour n=3, la longueur d'onde est λ₃ = 2a/3.

En général, pour le n-ième niveau, la longueur d'onde de De Broglie est donnée par λ_n = 2a/n.

L'énergie E de chaque niveau est déduite de la relation de De Broglie (p = h/λ) et de l'énergie cinétique (E = p²/(2m) = ħ²k²/(2m), où k = 2π/λ) :

Pour n=1, l'énergie est E₁ = (π²ħ²)/(2ma²).
Pour n=2, l'énergie est E₂ = (4π²ħ²)/(2ma²) = (2π²ħ²)/(ma²).
Pour n=3, l'énergie est E₃ = (9π²ħ²)/(2ma²).

Expression générale de l'énergie

En généralisant ces résultats, l'énergie E_n du n-ième niveau d'énergie d'une particule de masse m dans un puits de potentiel infiniment profond de largeur a est donnée par :

E_n = (n²π²ħ²)/(2ma²)

où n est un entier positif (n = 1, 2, 3, ...), m est la masse de la particule et ħ est la constante de Planck réduite.

La Barrière de Potentiel en Mécanique Quantique

Une barrière de potentiel est une région de l'espace où le potentiel V(x) est plus élevé qu'à l'extérieur. Ici, nous considérons une barrière de hauteur V₀ et de largeur a, centrée en x=0 :

V(x) = 0 pour x < -a/2 (région I)
V(x) = V₀ pour -a/2 ≤ x ≤ +a/2 (région II)
V(x) = 0 pour x > +a/2 (région III)

Nous nous limitons au cas où l'énergie de la particule E est supérieure à la hauteur de la barrière (E > V₀). Les paramètres k et K sont définis comme :

k = √(2mE) / ħ

K = √(2m(E - V₀)) / ħ

Mouvement classique face à la barrière

Dans le cadre de la mécanique classique, si une particule d'énergie E approche une barrière de potentiel de hauteur V₀ et que E > V₀, la particule ralentit en entrant dans la barrière (car son énergie cinétique diminue), mais elle la traverse toujours et continue son chemin de l'autre côté. Il n'y a pas de réflexion si E > V₀, et la transmission est totale.

Description quantique et équation de Schrödinger

En mécanique quantique, l'état d'une particule est décrit par sa fonction d'onde ψ(x,t) = ψ(x) exp[-iEt/ħ]. La partie spatiale de la fonction d'onde, ψ(x), vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps dans chaque région :

Région I (x < -a/2, V(x) = 0) : d²ψ/dx² + k²ψ = 0
Région II (-a/2 ≤ x ≤ +a/2, V(x) = V₀) : d²ψ/dx² + K²ψ = 0
Région III (x > +a/2, V(x) = 0) : d²ψ/dx² + k²ψ = 0

Formes des fonctions d'onde et conditions de raccordement

En l'absence de source de particules quantiques venant de la droite (x > +a/2), la fonction d'onde ψ(x) prend les formes suivantes :

Région I (x < -a/2) : ψ_I(x) = A e^ikx + B e^-ikx (onde incidente + onde réfléchie)
Région II (-a/2 ≤ x ≤ +a/2) : ψ_II(x) = C e^iKx + D e^-iKx (ondes propagatives à l'intérieur de la barrière)
Région III (x > +a/2) : ψ_III(x) = F e^ikx (onde transmise, pas d'onde revenant de l'infini)

Les fonctions d'onde ψ(x) et leurs dérivées premières dψ/dx doivent être continues aux interfaces entre les régions, c'est-à-dire en x = -a/2 et en x = +a/2. Ces conditions de raccordement sont essentielles pour déterminer les coefficients des ondes.

Coefficients de transmission et de réflexion

Les conditions de raccordement permettent de déduire les expressions des probabilités de transmission (T) au-delà de la barrière, et de réflexion (R) par la barrière. La relation fondamentale est R + T = 1.

Pour le cas E > V₀, le coefficient de transmission T est donné par :

T = 1 / [1 + (V₀² / (4E(E - V₀))) * sin²(aK)]

où K = √(2m(E - V₀)) / ħ. À partir de cette expression, le coefficient de réflexion R est simplement :

R = 1 - T

Transmission totale pour les électrons

Pour qu'il y ait transmission totale du faisceau électronique (T = 1), le terme sin²(aK) doit être égal à zéro. Cela signifie que aK doit être un multiple entier de π :

aK = nπ, où n = 1, 2, 3, ...

Donc, l'épaisseur de la barrière a doit être :

a = nπ / K = nπħ / √(2m(E - V₀))

Dans cette situation de résonance, l'épaisseur de la barrière est un multiple entier de la demi-longueur d'onde de De Broglie des électrons à l'intérieur de la barrière. La longueur d'onde de De Broglie à l'intérieur de la barrière est λ_barrière = h / p_barrière = h / (ħK) = 2π / K. Ainsi, a = n (λ_barrière / 2).

Les États Liés d'une Particule dans un Puits de Potentiel Fini

Nous considérons les états liés d'une particule de masse m, qui sont des états d'énergie E < 0, confinant la particule dans un puits de potentiel fini. Le potentiel est défini comme suit :

V(x) = +∞ pour x < 0 (région I)
V(x) = -V₀ pour 0 ≤ x ≤ +a avec V₀ > 0 (région II)
V(x) = 0 pour x > +a (région III)

La région I agit comme un mur infini, garantissant que ψ(0) = 0. Les fonctions d'onde proposées pour un état lié sont :

ψ(x) = A sin(kx) pour 0 ≤ x ≤ +a

ψ(x) = B exp(-αx) pour x > +a

Justification des formes des fonctions d'onde et expressions de k et α

Justification des formes :

Région II (0 ≤ x ≤ +a) : À l'intérieur du puits (où V(x) = -V₀), si l'énergie totale E est négative mais E + V₀ > 0, l'énergie cinétique est positive. Cela permet des solutions oscillatoires, comme la fonction sin(kx), qui est choisie car elle satisfait la condition aux limites ψ(0)=0 imposée par le mur infini en x<0.
Région III (x > +a) : À l'extérieur du puits (où V(x) = 0) et avec E < 0, l'énergie cinétique est négative. Ceci indique un comportement évanescent (non oscillatoire) de la fonction d'onde, car la particule est classiquement interdite dans cette région. L'exponentielle décroissante exp(-αx) est choisie pour que la fonction d'onde reste finie à l'infini (x → +∞), ce qui est caractéristique des états liés.

Expressions de k et α :

En utilisant l'équation de Schrödinger indépendante du temps (d²ψ/dx² = (2m(V(x) - E))/ħ² ψ) :

Pour la Région II (V(x) = -V₀) : D'où k² = (2m(E + V₀))/ħ², et donc k = √(2m(E + V₀)) / ħ.
Pour la Région III (V(x) = 0) : D'où α² = -(2mE)/ħ² (car E < 0, donc -E > 0), et donc α = √(-2mE) / ħ.

Conditions de quantification des états liés

Les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée première en x = a doivent être vérifiées :

Continuité de ψ(x) en x = a : A sin(ka) = B exp(-αa)
Continuité de dψ/dx en x = a : Ak cos(ka) = -Bα exp(-αa)

En divisant la deuxième équation par la première, nous obtenons une première condition de quantification :

k cotan(ka) = -α

Qui peut être réécrite comme : ak cotan(ak) = -aα

Une seconde condition est obtenue en combinant les expressions de k et α :

a²k² = (2ma²(E + V₀))/ħ²
a²α² = (-2ma²E)/ħ²

En additionnant ces deux expressions :

a²k² + a²α² = (2ma²E + 2ma²V₀ - 2ma²E)/ħ²

Ce qui simplifie à : a²k² + a²α² = (2ma²V₀)/ħ²

FAQ

Qu'est-ce qu'un puits de potentiel infiniment profond en mécanique quantique ?

Un puits de potentiel infiniment profond est un modèle théorique où une particule est confinée dans une région de l'espace par des "murs" de potentiel d'énergie infinie. Ces murs empêchent complètement la particule de s'échapper, la forçant à rester à l'intérieur. Ce modèle est utilisé pour comprendre la quantification de l'énergie et des fonctions d'onde des particules.

Quelle est la différence entre la mécanique classique et la mécanique quantique face à une barrière de potentiel ?

Classiquement, si l'énergie d'une particule est supérieure à la hauteur d'une barrière de potentiel, elle la traverse toujours. Si son énergie est inférieure, elle est toujours réfléchie. En mécanique quantique, même si l'énergie de la particule est inférieure à la hauteur de la barrière, il existe une probabilité non nulle qu'elle la traverse (effet tunnel). Inversement, même si son énergie est supérieure, il y a une probabilité qu'elle soit réfléchie, ce qui est impossible en mécanique classique.

Qu'est-ce qu'un état lié en mécanique quantique ?

Un état lié est un état quantique où une particule est confinée dans une région de l'espace par un potentiel attractif. L'énergie de la particule dans un état lié est négative (E < 0) et est généralement inférieure à l'énergie du potentiel à l'infini (où V=0). Cela signifie que la particule n'a pas assez d'énergie pour s'échapper du puits de potentiel qui la retient, formant ainsi une "liaison" au potentiel.