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Télécharger PDFMécanique Quantique : Le Rayonnement du Corps Noir et Ses Lois Fondamentales
Ce document traite des propriétés du rayonnement du corps noir à travers des exercices, en explorant les lois fondamentales de Planck, Rayleigh-Jeans, Stefan-Boltzmann et Wien.
Exercice n° 1 : Étude du rayonnement du corps noir
À une température T, le corps noir émet un rayonnement dont la densité d'énergie en fonction de la fréquence d'émission ν suit la loi de Planck :
UT(x) = (8π(kT)³ / (h²c³)) * (x³ / (ex - 1))
avec x = hν / (kT).
1. Déduction des lois
a. La loi d'émission de Rayleigh-Jeans relative au domaine infrarouge (basses fréquences)
La loi de Rayleigh-Jeans décrit le rayonnement du corps noir pour les basses fréquences (grandes longueurs d'onde). Dans ce régime, l'énergie des photons hν est très petite comparée à l'énergie thermique kT, c'est-à-dire que x = hν / (kT) << 1.
Dans cette approximation, le développement en série de Taylor de ex est ex ≈ 1 + x.
La formule de Planck devient alors :
UT(x) ≈ (8π(kT)³ / (h²c³)) * (x³ / ((1 + x) - 1))
UT(x) ≈ (8π(kT)³ / (h²c³)) * (x³ / x)
UT(x) ≈ (8π(kT)³ / (h²c³)) * x²
En substituant x = hν / (kT) :
UT(ν) ≈ (8π(kT)³ / (h²c³)) * (hν / (kT))²
UT(ν) ≈ (8π(kT)³ / (h²c³)) * (h²ν² / (k²T²))
UT(ν) ≈ (8πk T / c³) * ν²
Cette expression est la loi de Rayleigh-Jeans, qui prédit une augmentation infinie de la densité d'énergie avec la fréquence, un problème connu sous le nom de "catastrophe ultraviolette".
b. La loi de Stefan-Boltzmann
La loi de Stefan-Boltzmann décrit l'énergie totale U(T) rayonnée par le corps noir à une température T, qui est obtenue en intégrant la densité d'énergie de Planck sur toutes les fréquences.
U(T) = ∫0∞ UT(ν)dν
Pour simplifier l'intégration, nous utilisons la variable x = hν / (kT), d'où dν = (kT / h)dx. L'intégrale de la fonction réduite de Planck est une constante connue :
∫0∞ (x³ / (ex - 1))dx = π⁴ / 15
L'intégration de la densité d'énergie UT(x) donne :
U(T) = ∫0∞ (8π(kT)³ / (h²c³)) * (x³ / (ex - 1)) * (kT / h)dx
U(T) = (8π(kT)³ * kT / (h²c³ * h)) * ∫0∞ (x³ / (ex - 1))dx
U(T) = (8πk⁴T⁴ / (h³c³)) * (π⁴ / 15)
U(T) = (8π⁵k⁴ / (15h³c³)) * T⁴
Cette énergie totale rayonnée est proportionnelle à T⁴. On définit la constante de rayonnement (ou constante de densité d'énergie de Stefan-Boltzmann) a :
a = 8π⁵k⁴ / (15h³c³)
Donc, U(T) = a T⁴. Il est important de noter que cette constante 'a' est liée à la constante de Stefan-Boltzmann σ (pour la puissance par unité de surface) par la relation a = 4σ/c.
2. Maximum de la densité d'énergie
Pour une température T donnée, la densité d'énergie présente un maximum. Pour le trouver, nous devons dériver la fonction f(x) = x³ / (ex - 1) par rapport à x et annuler la dérivée.
d/dx [x³ / (ex - 1)] = 0
Ce qui mène à l'équation implicite :
3(ex - 1) - xex = 0
La solution numérique de cette équation, après résolution, est x ≈ 2.821. Cela signifie que le maximum d'émission d'un corps noir se produit pour une valeur de x constante, soit xmax = hνmax / (kT) ≈ 2.821.
3. Variation du maximum en fonction de la température
Puisque xmax = hνmax / (kT) est une constante (environ 2.821), nous pouvons en déduire que la fréquence du maximum d'émission (νmax) varie linéairement avec la température T :
νmax = (k * xmax / h) * T
Cela signifie que plus la température du corps noir est élevée, plus la fréquence d'émission maximale est élevée (et donc plus la longueur d'onde est courte).
4. Déduction de la loi de Wien relative au déplacement du maximum
En utilisant la relation entre la fréquence et la longueur d'onde (ν = c / λ), nous pouvons exprimer la loi précédente en termes de longueur d'onde.
c / λmax = (k * xmax / h) * T
Réarrangeant cette équation, nous obtenons la loi de déplacement de Wien :
λmax * T = c * h / (k * xmax) = constante de Wien (b)
La valeur communément admise pour la constante de Wien est b ≈ 0.2898 cm·K ou 2.898 × 10-3 m·K. L'énoncé donne 0.29 cm·K, ce qui est une bonne approximation.
5. Calcul de la température du Soleil
En considérant le Soleil comme un corps noir, et sachant que le maximum de son émission est situé à une longueur d'onde de 0.502 µm, nous pouvons calculer sa température de surface en utilisant la loi de Wien.
Données :
- Longueur d'onde du maximum d'émission du Soleil (λs,max) = 0.502 µm = 0.502 × 10-6 m
- Constante de Wien (b) = 0.29 cm·K = 0.29 × 10-2 m·K
Appliquons la loi de Wien :
Ts = b / λs,max
Ts = (0.29 × 10-2 m·K) / (0.502 × 10-6 m)
Ts ≈ 5776.89 K
La température de surface du Soleil est d'environ 5777 Kelvin.
Exercice n° 2 : Calcul de la température du Soleil à partir de l'irradiance
Nous allons calculer la température du Soleil en utilisant la constante solaire (irradiance moyenne sur la Terre) et la loi de Stefan-Boltzmann pour la puissance totale rayonnée.
1. Calcul de la puissance totale rayonnée par le Soleil
La Terre reçoit une irradiance moyenne de 1.36 kW/m² (constante solaire, ITerre). Cette irradiance se répartit sur une sphère dont le rayon est la distance Terre-Soleil (d).
Données :
- Constante solaire (ITerre) = 1.36 kW/m² = 1.36 × 10³ W/m²
- Distance Terre-Soleil (d) = 1.496 × 1011 m
La puissance totale (PSoleil) émise par le Soleil est la constante solaire multipliée par la surface d'une sphère de rayon d :
PSoleil = ITerre * 4πd²
PSoleil = (1.36 × 10³ W/m²) * 4π * (1.496 × 1011 m)²
PSoleil ≈ 3.828 × 1026 W
2. Calcul de l'irradiance à la surface du Soleil
Cette puissance totale (PSoleil) est émise depuis la surface du Soleil. Pour trouver l'irradiance à la surface du Soleil (IS), nous divisons cette puissance par la surface du Soleil.
Données :
- Rayon du Soleil (RS) = 6.95 × 108 m
IS = PSoleil / (4πRS²)
IS = (3.828 × 1026 W) / (4π * (6.95 × 108 m)²)
IS ≈ 6.315 × 107 W/m²
3. Calcul de la température du Soleil
Enfin, nous utilisons la loi de Stefan-Boltzmann, qui relie l'irradiance d'un corps noir à sa température.
Données :
- Constante de Stefan-Boltzmann (σ) = 5.67 × 10-8 W/(m²·K⁴)
La loi de Stefan-Boltzmann s'écrit :
IS = σTS⁴
D'où la température du Soleil :
TS = (IS / σ)1/4
TS = ( (6.315 × 107 W/m²) / (5.67 × 10-8 W/(m²·K⁴)) )1/4
TS ≈ 5773.5 K
Cette valeur est très proche de celle obtenue avec la loi de Wien, confirmant la cohérence des modèles physiques.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un corps noir et pourquoi est-il important en physique ?
Un corps noir est un objet idéal qui absorbe tout le rayonnement électromagnétique qu'il reçoit, sans en réfléchir ni en transmettre. Il émet un rayonnement thermique dont le spectre dépend uniquement de sa température. En physique, il est crucial car il sert de modèle théorique pour comprendre et décrire le comportement des objets réels qui rayonnent de la chaleur, comme les étoiles, et a joué un rôle clé dans le développement de la mécanique quantique par Max Planck.
Quelle est la principale différence entre la loi de Planck et la loi de Rayleigh-Jeans ?
La loi de Rayleigh-Jeans est une description classique du rayonnement du corps noir qui fonctionne bien pour les basses fréquences (grandes longueurs d'onde). Cependant, elle prédit une densité d'énergie infinie aux hautes fréquences (la "catastrophe ultraviolette"). La loi de Planck, introduisant le concept de quantification de l'énergie (les "quanta"), est une description quantique qui corrige ce problème et décrit correctement le spectre du corps noir sur toutes les fréquences, des basses aux hautes.
Comment la loi de déplacement de Wien nous aide-t-elle à comprendre les étoiles ?
La loi de déplacement de Wien établit une relation inverse entre la température d'un corps noir et la longueur d'onde à laquelle il émet le maximum de son rayonnement (λmax * T = constante). Pour les étoiles, cela signifie que nous pouvons estimer leur température de surface en mesurant la couleur dominante de leur lumière. Par exemple, une étoile plus chaude émettra plus de lumière dans le bleu-blanc (courte longueur d'onde), tandis qu'une étoile plus froide émettra davantage dans le rouge (grande longueur d'onde).