Série n°3: les paquets d'ondes -Mécanique quantique - Téléch
Télécharger PDFSérie n°3 : Les paquets d'ondes
Exercice n°1 : Superposition de trois ondes (paquet d'ondes)
On associe à une particule se déplaçant suivant l'axe Ox un paquet d'ondes planes d'amplitude F(k). Chacune de ces ondes s'écrit : n(x, t) = F(kn) exp[i(knx - ωnt)]
On s'intéresse à trois ondes particulières du paquet d'ondes de vecteurs d'ondes : - k0 d'amplitude F(k0) - k0 - Δk et k0 + Δk d'amplitudes ½ F(k0)
1) Déterminer la fonction d'onde ψ(x, t) somme des trois ondes précédentes.
2) Calculer la position du maximum de ψ(x, t). En déduire la vitesse de propagation de ce maximum vg, lorsque Δk devient très petit.
Exercice n°2 : Étalement du paquet d'ondes
On considère une particule quantique libre de masse m.
1) Retrouver la relation de dispersion correspondante.
2) On considère que l'état de la particule quantique est représenté par un paquet d'ondes formé d'ondes planes progressives, dont les vecteurs d'ondes sont distribués autour d'une valeur moyenne k0 avec une dispersion Δk, qui détermine l'extension spatiale initiale Δx0 du paquet d'ondes à l'instant t = 0. La pulsation moyenne correspondant à k0 est notée ω0.
a) Rappeler la définition de la vitesse de groupe vg et déterminer son expression.
b) Montrer, en utilisant la relation de dispersion, qu'à la largeur Δk correspond une dispersion de la vitesse de groupe Δvg autour de la valeur moyenne vg. Exprimer Δvg en fonction de h, m et Δx0.
c) En déduire la largeur du paquet d'ondes Δx(t) après un déplacement d'une durée t depuis l'origine. Déterminer l'instant t0 pour lequel la largeur du paquet d'ondes a doublé.
Application numérique : Calculer t0 pour : - Un électron, de masse m = 9,10 × 10-31 kg, initialement confiné dans un atome avec Δx0 = 10-10 m. - Une gouttelette d'eau, de rayon égal à 10 μm et de masse m = 4 × 10-12 kg.
FAQ
1. Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes en mécanique quantique ?
Un paquet d'ondes est une superposition d'ondes planes de différentes longueurs d'onde ou fréquences, permettant de décrire une particule localisée dans l'espace.
2. Comment la vitesse de groupe est-elle définie ?
La vitesse de groupe vg est la vitesse à laquelle se propage l'enveloppe du paquet d'ondes, donnée par vg = dω/dk, où ω est la pulsation et k le vecteur d'onde.
3. Pourquoi la largeur du paquet d'ondes évolue-t-elle avec le temps ?
L'étalement du paquet d'ondes est dû à la dispersion des vitesses de groupe des différentes composantes du paquet, qui dépendent de la relation de dispersion ω(k).