Travaux dirigés de mécanique quantique série n° -Mécanique q
Télécharger PDFAnnée universitaire 2023-2024 – Travaux dirigés de Mécanique Quantique
Exercice 1
a) Expliquer la différence entre le produit scalaire dans l'espace des fonctions réelles et celui dans l'espace des fonctions complexes.
Dans l'espace des fonctions réelles, le produit scalaire de deux fonctions ψ(x) et φ(x) est défini par : (ψ | φ) = ∫ ψ(x)φ(x) dx où l'intégrale est calculée sur le domaine considéré.
Dans l'espace des fonctions complexes, le produit scalaire est défini par : (ψ | φ) = ∫ ψ*(x)φ(x) dx où ψ*(x) désigne le complexe conjugué de ψ(x).
b) Les états stationnaires dans un puits infini sont donnés par : ψ_n(x) = √(2/a) sin(nπx/a). En utilisant la définition du produit scalaire : (ψ_n | ψ_m) = ∫ ψ_n*(x)ψ_m(x) dx, vérifier que les fonctions ψ_n(x) forment une base orthonormée pour les fonctions continues définies sur l'intervalle [0, a], c'est-à-dire que : ∫ ψ_n(x)ψ_m(x) dx = δ_nm.
Exercice 2
Montrer les propriétés de correspondance (opérateur et opérateur adjoint).
On note que l'action d'un opérateur A sur un ket |ψ⟩ s'écrit : A|ψ⟩ = |Aψ⟩.
L'action d'un opérateur adjoint A† sur un bra ⟨φ| s'écrit : ⟨φ|A† = ⟨Aφ|.
Montrer que :
a) (A†)† = A.
b) (Aⁿ)† = (A†)ⁿ pour n ∈ ℕ.
Exercice 3
Soient X et P les observables de position et d'impulsion d'un système quantique à une dimension. L'action de l'observable X sur une fonction d'onde f(x) donne xf(x), et l'observable P est l'opérateur -iħ d/dx.
1°) Quelle est l'action de l'opérateur "énergie" (l'hamiltonien) H = (P²/2m) + V(x) sur la fonction d'onde ψ(x) ? Quelle forme prend l'équation : iħ ∂ψ(x,t)/∂t = Hψ(x,t) ?
L'action de H sur ψ(x) est donnée par : Hψ(x) = (-ħ²/2m)(d²ψ(x)/dx²) + V(x)ψ(x). L'équation de Schrödinger s'écrit : iħ ∂ψ(x,t)/∂t = (-ħ²/2m)(d²ψ(x,t)/dx²) + V(x)ψ(x,t).
2°) a) Montrer que [X, P] = iħ.
b) Calculer [X, P²] et [X², P].
c) Montrer que [X, Pⁿ] = iħ n Pⁿ⁻¹.
d) Montrer que [P, Xⁿ] = -iħ n Xⁿ⁻¹.
3°) Soient les opérateurs A et Q définis par : A = aX + ibP, Q = A†A = a²X² + b²P², où a et b sont des nombres réels positifs.
a) Déterminer les opérateurs adjoints A† et Q† associés aux opérateurs A et Q.
b) Exprimer les commutateurs [A, A†], [Q, A] et [Q, A†] en fonction de a, b, ħ, X et P.
4°) L'hamiltonien H associé à ce système s'écrit : H = a²X² + b²P². Le spectre de H est discret et non dégénéré. Les valeurs propres et les vecteurs propres normés de H sont notés respectivement Eₙ et |uₙ⟩.
a) Donner la relation entre Q et H.
b) Montrer que Q et H forment un ensemble complet d'opérateurs de commutation (ECOC).
5°) Soit qₙ une valeur propre de Q associée au vecteur propre |uₙ⟩.
a) Donner la relation entre qₙ et Eₙ.
b) En déduire que le spectre de Q est non dégénéré.
6°) Soit |u₀⟩ un vecteur propre de Q associé à la valeur propre q₀ ≈ 0.
a) Quelle est la valeur propre E₀ de H associée à |u₀⟩ ?
b) Montrer que A|u₀⟩ = 0.
7°) Montrer que A|uₙ⟩ et A†|uₙ⟩ sont des vecteurs propres de Q. En déduire les valeurs propres associées à ces vecteurs propres.
Exercice 4
Soit H l'opérateur hamiltonien d'un système physique. On désigne par |uₙ⟩ les vecteurs propres de H, de valeurs propres Eₙ. On suppose que les |uₙ⟩ forment une base orthonormée discrète.
L'opérateur U(m, n) est défini par : U(m, n) = |uₘ⟩⟨uₙ|.
a) Calculer l'adjoint U†(m, n) de U(m, n).
b) Calculer le commutateur [H, U(m, n)].
c) Démontrer la relation : U(m, n)U†(p, q) = δₙq U(m, p).
Exercice 5
On considère dans un problème à une dimension, l'hamiltonien H d'une particule défini par : H = P²/2m + V(x). Les vecteurs propres de H sont désignés par |uₙ⟩ : H|uₙ⟩ = Eₙ|uₙ⟩, où n est un indice discret.
On donne le commutateur : [X, H] = -iħP/m.
1°) Montrer que : ⟨uₙ|P|uₙ'⟩ = αₙₙ'(⟨uₙ|X|uₙ'⟩), où αₙₙ' est un coefficient proportionnel à (Eₙ - Eₙ'). Calculer αₙₙ'.
2°) En déduire, en utilisant la relation de fermeture, l'égalité : ∑ₙ (Eₙ - Eₙ')²|⟨uₙ|X|uₙ'⟩|² = (ħ²/2m)².
FAQ
1. Qu'est-ce qu'un produit scalaire en mécanique quantique ?
Le produit scalaire en mécanique quantique permet de calculer la probabilité de transition entre deux états quantiques ou de mesurer leur orthogonalité. Pour les fonctions complexes, il est défini avec le complexe conjugué.
2. Comment vérifier l'orthonormalité des états stationnaires dans un puits infini ?
En calculant le produit scalaire (ψₙ | ψₘ) = ∫ ψₙ*(x)ψₘ(x) dx et en montrant qu'il vaut δₙₘ, ce qui prouve que les fonctions sont orthonormées.
3. Que signifie un ECOC en mécanique quantique ?
Un ECOC (Ensemble Complet d'Opérateurs de Commutation) désigne un ensemble d'opérateurs qui commutent entre eux et dont les valeurs propres permettent de décrire complètement un système quantique.