Série nº4: evolution d'une particule quantique dans un poten
Télécharger PDFSérie n°4 : Évolution d'une particule quantique dans un potentiel
Exercice n°1 : Niveaux d'énergie du puits de potentiel infiniment profond
Représenter l'allure de la fonction d'onde propre pour les 3 premiers niveaux d'énergie d'une particule quantique dans un puits de potentiel infiniment profond, de largeur a.
En déduire dans chaque cas l'expression de la longueur d'onde de De Broglie en fonction de a, puis la valeur de l'énergie E de chaque niveau en fonction de a, ħ et de la masse de la particule quantique m.
En généralisant, retrouver l'expression de l'énergie En du n-ième niveau en fonction de n, m, ħ et a.
Exercice n°2 : Barrière de potentiel
On cherche à déterminer certains états stationnaires d'une particule quantique de masse m évoluant dans un potentiel suivant (barrière de potentiel) : - V(x) = 0 pour x ≤ a (région I) - V(x) = V0 pour a ≤ x ≤ a + d (région II) - V(x) = 0 pour x ≥ a + d (région III) On pose : - k = √(2mE)/ħ2 - κ = √(2m(V0 - E))/ħ2 On se limite au cas où E > V0.
1) Décrire qualitativement le mouvement de la particule dans le cadre de la mécanique classique.
2) Dans le cadre d'une description quantique, l'état de la particule est décrit par la fonction d'onde ψ(x,t) = ψ(x)e-iEt/ħ. Établir l'équation différentielle vérifiée par ψ(x) dans chacune des 3 régions.
3) En absence de source de particules quantiques du côté x > a + d, proposer une forme adéquate de ψ(x) dans chacune des 3 régions. Préciser les conditions aux limites et les conditions de raccordement qui doivent être vérifiées par ψ(x).
4) Les conditions de raccordement permettent d'en déduire les expressions des probabilités de transmission (T) au-delà de la barrière et de réflexion (R) par la barrière. On donne : T = 1 / (1 + (4E(V0 - E)/ħ2) sin2(κd/2)) Déterminer l'expression de R à partir de l'expression de T.
5) Des électrons d'énergie cinétique égale à 10 eV s'approchent d'une barrière de potentiel de 4 eV de haut. Déterminer l'épaisseur d de la barrière pour laquelle la transmission du faisceau électronique est totale. Comparer, dans cette situation, l'épaisseur de la barrière à la longueur d'onde de De Broglie des électrons dans la barrière.
Exercice n°3 : Les états liés d'une particule
On considère les états liés d'une particule de masse m dans le puits de potentiel défini par : - V(x) = +∞ pour x < 0 (région I) - V(x) = -V0 pour 0 ≤ x ≤ a avec V0 > 0 (région II) - V(x) = 0 pour x > a avec a > 0 (région III) On écrit la fonction d'onde d'un état lié (c'est-à-dire un état d'énergie E < 0) : - ψ(x) = A sin(kx) pour 0 ≤ x ≤ a - ψ(x) = Be-px pour x > a
1°) Justifier ces formes des fonctions d'onde et exprimer k et p en fonction de E et V0.
2°) Étude des conditions de quantification : a) Écrire les conditions de continuité en x = a. b) Montrer qu'un état lié vérifie : ka = k cotg(ka) et a2k2 + a2p2 = 2ma2V0/ħ2.
FAQ
Qu'est-ce qu'un puits de potentiel infiniment profond ?
Un puits de potentiel infiniment profond est une région de l'espace où le potentiel est nul entre deux limites, et infini en dehors. Cela signifie que la particule quantique est confinée dans cette région et ne peut pas s'en échapper.
Comment déterminer les niveaux d'énergie dans un puits de potentiel ?
Les niveaux d'énergie sont déterminés en résolvant l'équation de Schrödinger pour la fonction d'onde dans le puits, puis en appliquant les conditions aux limites. Les solutions sont quantifiées et dépendent de la largeur du puits et de la masse de la particule.
Que signifie une probabilité de transmission totale ?
Une probabilité de transmission totale signifie que toutes les particules incidentes traversent la barrière de potentiel sans être réfléchies. Cela dépend de l'énergie des particules et de la hauteur et de l'épaisseur de la barrière.